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Hallo,
Ich habe die Funktion:
[mm] f(x)=\bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1-x}}{2x} [/mm] für [mm] -1\le [/mm] x < 0
a für x=0
[mm] \bruch{e^x-x-1}{x^2} [/mm] für 0<x [mm] \le [/mm] 1
Für welche a aus R ist die Funktion stetig in x=0?
Ich habe schon ähnliche Aufgaben gehabt, aber immer nur mit einer Funktion für x ungleich 0 und a für x=0.
Dann habe ich den Grenzwert für die Funktion gegen 0 gesucht und der Wert war dann das a.
Aber wie muss ich nun hier vorgehen? Mache ich das gleiche für beide Funktionen? Also [mm] \limes_{x\rightarrow\0}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Berechne $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}f(x) [/mm] $ und $ [mm] \limes_{x\rightarrow 0-}f(x) [/mm] $
Stimmen diese Grenzwerte überein ? Wenn ja, wie mußt Du a wählen ?
FRED
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Für 0^- nehme ich aber die erste Funktion, oder?
Dann habe ich nämlich für den Limes von 0- für [mm] \bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1-x}}{2x} [/mm] etwas von dem Ausdruck 0:0, also kann ich Hospital anwenden?
Dann bekomme ich aber, wenn ich die Wurzelfunktionen schreibe als [mm] (1+x)^{1/2}:
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{1}{2\wurzel{1+x}}-\bruch{1}{2\wurzel{1-x}}{2}} [/mm] (Die 2 soll in den Nenner, aber ich kriege das irgendwie nicht hin)
Und das scheint nicht richtig zu sein, denn auch hier habe ich dann etwas von der Form 0:2. Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Englein89 |
Ich habe gerade noch meine Umformung hingeschrieben. Kannst du sie dir mal ansehen, bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Kennst Du den folgenden Trick nicht ? Wenn nein, dann merk ihn Dir gut
Erweitere $ [mm] \bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1-x}}{2x} [/mm] $ mit [mm] \wurzel{1+x}+\wurzel{1-x}
[/mm]
Mach das mal
Zur Kontrolle: [mm] \bruch{\wurzel{1+x}-\wurzel{1-x}}{2x} [/mm] --> 1/2 für x--> 0
FRED
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Den kannte ich nicht. Worauf beruht dies?
Ich muss doch dann im Nenner auch damit erweitern oder?
Ich Zähler habe ich dann (1+x)-(1-x) also 2x, im Nenner habe ich dann 2x multipliziert mit dem Ausdruck, durch den ich erweitert habe. Aber dann habe ich doch im Zähler trotzdem wieder 2*0-, also 0.
Was mache ich falsch?
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> Den kannte ich nicht. Worauf beruht dies?
Dritte binomische Formel: [mm] (a+b)*(a-b)=a^2-b^2
[/mm]
Immer hilfreich bei Summen von Wurzeln...
> Ich muss doch dann im Nenner auch damit erweitern oder?
Klar. Das heißt ja "erweitern"
> Ich Zähler habe ich dann (1+x)-(1-x) also 2x, im Nenner
> habe ich dann 2x multipliziert mit dem Ausdruck, durch den
> ich erweitert habe.
Ja.
> Aber dann habe ich doch im Zähler
> trotzdem wieder 2*0-, also 0.
Du hast Doch gerade geschrieben, was Du im Zähler hast!
Du kannst die 2x kürzen. Dann hast Du im Zähler eine 1 und im Nenner...
Was heißt das nun für die Stetigkeit?
> Was mache ich falsch?
Du lernst zu viele Sachen gleichzeitig, sonst nichts.
Grüße,
reverend
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Und im Nenner habe ich den Ausdruck 0-, oder etwa nicht? Und für 1:0- habe wir mal gesagt ist der Ausdruck -unendlich. ABer a kann doch nicht -unendlich sein?
Edit: Ach, Wurzel 1 + Wurzel 1 steht dann da ja, also 2, also 1/2. Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 19.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Bingo !!
Schwere Geburt, aber vergiss den Trick nie !!!
Zur Übung: zeige, dass die Folge [mm] (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] eine Nullfolge ist.
FRED
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Hallo,
da habe ich gleich noch ein Beispiel, wo ich vermute, dass ich diese Regel anwenden muss:
Ich habe eine Folge, die ich auf Konvergenz untersuchen soll:
[mm] \bruch{3n^2-\wurzel{n^4+1}}{(n-2)^2}
[/mm]
Führt dieser Trick hier auch zum Ziel?
Denn irgendwann habe ich
[mm] \bruch{8n^4-1}{3n^2(n-2)^2+(\wurzel{n^4+1}(n-2)^2}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 19.01.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Englein!
Im Nenner würde ich gar nicht erst ausmultiplizieren. Klammere in Zähler und Nenner nun jeweils [mm] $n^4$ [/mm] aus und kürze. Anschließend die Grenzwertbetrachtung ...
Gruß
Loddar
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Wie ziehe ich denn hier nur [mm] n^4 [/mm] raus? Ich hab zwar im Zähler [mm] n^4, [/mm] aber im Nenner habe ich einmal [mm] n^4 [/mm] unter einer Wurzel und einmal [mm] 3n^2.
[/mm]
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Hallo Englein,
von deinem richtigen Ausdruck $ [mm] \bruch{8n^4-1}{3n^2(n-2)^2+(\wurzel{n^4+1}(n-2)^2}$ [/mm] ausgehend, klammere unter der Wurzel [mm] $n^4$ [/mm] aus, und in den Quadratklammern $n$ ausklammern und rausziehen, bedenke [mm] $(a\cdot{}b)^2=a^2\cdot{}b^2$
[/mm]
Also $...= [mm] \bruch{8n^4-1}{3n^2\cdot{}\left[n\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)\right]^2+\wurzel{n^4\cdot{}\left(1+\frac{1}{n^4}\right)}\cdot{}\left[n\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)\right]^2}$
[/mm]
$...= [mm] \bruch{8n^4-1}{3n^2\cdot{}n^2\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2+n^2\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n^4}}\cdot{}n^2\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2}$
[/mm]
$...= [mm] \bruch{8n^4-1}{3n^4\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2+n^4\cdot{}\wurzel{1+\frac{1}{n^4}}\cdot{}\left(1-\frac{2}{n}\right)^2}$
[/mm]
Nun in Zähler und Nenner [mm] n^4 [/mm] ausklammen ...
Dann [mm] $n\to\infty$ [/mm] betrachten
LG
schachuzipus
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