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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit
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Stetigkeit: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:48 Mi 06.01.2010
Autor: favourite

Aufgabe
Seien f, g [mm] \in [/mm] C([0,1], R). Zeigen sie die folgende Aussage:
Gilt g(0) [mm] \le [/mm] f(0) und f(1) [mm] \le [/mm] g(1), so existiert ein x [mm] \in [/mm] [0,1] mit f(x)=g(x)

Wie kann ich diese Aussage zeigen? Auf Lösungshinweise wäre ich sehr dankbar.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gruß, favourite

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 Mi 06.01.2010
Autor: max3000

Betrachte die Funktion f-g.
Dann bemerke, dass

[mm] (f-g)(0)\ge0 [/mm]
und
[mm] (f-g)(1)\le0 [/mm]

Außerdem ist (f-g) auch stetig.
Dann kannst du den Zwischenwertsatz anwenden.
Dieser besagt dass ein [mm] c\in(0,1) [/mm] existiert, so dass $(f-g)(c)=0$ gilt.
Wenn ihr den noch nicht bewiesen habt solltest du den eigentlich in jedem Lehrbuch der Analysis finden.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Do 07.01.2010
Autor: favourite

Hallo Max!

Soweit habe ich deine Hinweise verstanden. Nun, wie soll ich fortfahren mit dem Zwischenwertsatz? ich bin ein wenig verwirrt, hoffe, Du kannst mit auf die Sprünge helfen.


Grüße

favourite

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Do 07.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo favourite,

> Hallo Max!
>  
> Soweit habe ich deine Hinweise verstanden. Nun, wie soll
> ich fortfahren mit dem Zwischenwertsatz? ich bin ein wenig
> verwirrt, hoffe, Du kannst mit auf die Sprünge helfen.

Na, Max hat's dir doch oben bis 1 Zeile vor Schluss vorgerechnet.

Hast du verstanden, dass es ein [mm] $c\in(0,1)$ [/mm] gibt mit $(f-g)(c)=0$ ?

Soweit hast du's vorgemacht bekommen.

Wie ist denn nun $(f-g)(c)$ definiert?

Doch als $f(c)-g(c)$

Du hast also

$(f-g)(c)=0$

[mm] $\gdw [/mm] f(c)-g(c)=0$

[mm] $\gdw [/mm] f(c)=g(c)$ mit einem gew. [mm] $c\in [/mm] (0,1)$


>  
>
> Grüße
>  
> favourite

Gruß

schachuzipus

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