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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:07 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig sind! Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktionen
stetig auf ganz R bzw. auf [−1, 1] fortsetzbar sind!
a) [mm] f(x)=\bruch{x^6-1}{x^4-1}, x\in\IR [/mm] / {-1,1} |
Hallo Leute.
Ich weiss nicht wie ich prüfen kann,ob stetigkeit vorliegt.
Ich weiss nurr wie man die Polstelle bestimmt: [mm] x^4-1=0 x_1=1 x_2=-1, [/mm] aber das ist nicht die Frage.
Kann mir jedmand helfen?
Vielen Dank im Voraus,
lg
Ilya
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Hallo Random,
ob da tatsächlich Polstellen sind, hängt auch vom Zähler ab. Jedenfalls hat die Funktion sicher eine Definitionslücke dort, wo der Nenner Null wird. Die Frage ist hier aber, ob man sie schließen kann.
Das ist sicher nicht möglich, wenn bei einer Nullstelle des Nenners der Zähler keine Nullstelle hat. Fallen die Nullstellen aber zusammen, muss man weitere Überprüfungen anstellen.
Bei Polynomen ist es meistens sinnvoll, sie sinnvoll zu faktorisieren - und das heißt nicht immer, so weit wie möglich. Hier ist
[mm] \bruch{x^6-1}{x^4-1}=\bruch{(x^3+1)(x^3-1)}{(x^2+1)(x^2-1)}=\bruch{(x+1)(x^2-x+1)(x-1)(x^2+x+1)}{(x^2+1)(x+1)(x-1)}
[/mm]
Tja, und was weißt Du jetzt über das Kürzen von Faktoren? Ist es erlaubt? Gibt es Einschränkungen oder Bedingungen?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Fr 26.11.2010 | | Autor: | Random |
Also meiner Meinung nach ist das Erlaubt. =)
Dann hätte ich folgendes da stehen: [mm] \bruch{(x^2-x+1)*(x^2+x+1)}{x^2+1}
[/mm]
Was genau ist mein Ziel? Wie zeigt man Stetigkeit?
Ich habe versucht die Erläuterung im Skript zu verstehen, aber irgendwie klappt das nicht so ganz. XD
Lg Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Fr 26.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Also meiner Meinung nach ist das Erlaubt. =)
>
> Dann hätte ich folgendes da stehen:
> [mm]\bruch{(x^2-x+1)*(x^2+x+1)}{x^2+1}[/mm]
>
> Was genau ist mein Ziel? Wie zeigt man Stetigkeit?
>
> Ich habe versucht die Erläuterung im Skript zu verstehen,
> aber irgendwie klappt das nicht so ganz. XD
>
> Lg Ilya
Deine Funktion kann stetig fortgesetzt werden, wenn an den kritischen Stellen der Grenzwert existiert.
D.h. die stetige Forsetzung, so sie denn existiert, ist wie folgt definiert:
[mm] f(x)=\begin{cases} \br{x^6-1}{x^4-1}, & \mbox{für } x \in \IR \setminus \{-1,+1\} \\ \limes_{x\rightarrow -1}f(x), & \mbox{für } x=-1 \\ \limes_{x\rightarrow +1}f(x), & \mbox{für } x=+1 \end{cases}
[/mm]
D.h. Du musst jetzt die beiden Grenzwerte bestimmen. Existieren sie, ist die Funktion stetig, ansonsten nicht.
Für den restlichen Definitionsbereich ist die Funktion eine Verkettung von stetigen Funktionen und somit stetig.
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