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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen. :)
Ich habe mal ne Frage wegen Stetigkeit. Das verwirrt mich noch etwas. Es heißt ja, dass eine Funktion in einem Punkt a stetig ist, wenn zu jeder Zahl [mm] \varepsilon [/mm] > 0 eine Zahl [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass für alle x mit |x-a| < [mm] \delta [/mm] die Ungelichung |f(x) - f(a)| < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Soweit so gut, aber:
Ich habe ne Funktion f: D := [mm] \IR [/mm] \ {0, 3} [mm] \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 2e^{1/x-1} & \mbox{für } x \in ] -\infty, 1[ \backslash {0} \\ \bruch{x² - 2x -3}{x-3} & \mbox{für } x \in [1,3[ \\ (x² - 9)log_{e} (x-3) + log_{e}(e(x-2)), & \mbox{für } x \in ]3, +\infty[ \end{cases}
[/mm]
a) In welchem Punkt von D ist stetig?
b) In welchen Punkte von [mm] \IR \backslash [/mm] D ist f stetig fortsetzbar? Wie lautet ggf. die Fortsetzung?
Hmm ich kann doch nicht jeden Wert durchrechnen. Wie kann ich denn diese Punkte finden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 13.06.2005 | | Autor: | subito |
Hallo,
man soll ja nicht alle Punkte einzeln prüfen. Man geht wie folgt vor
ad a)
Die Funktion ist in 3 Abschnitte unterteilt. Für jeden dieser Abschnitte prüft man, ob die zu diesem Abschnitt gehörigen Funktionen stetig ist. Hierzu ist es i.d.R. hilfreich, wenn man einen passenden beliebig klein werdenen Ausdruck für [mm] \varepsilon [/mm] wählt, etwa [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (mit natürlicher zahl n) und prüft ob man dazu ein (von n abhängiges) [mm] \delta [/mm] für diese Funktion finden kann.
Besonderes Augenmerk muss dann noch auf die Punkte geworfen werden, wo die Abschnitte zusammengesetzt sind.
Hinweis: Deine Funktion f ist bis auf ganz wenige Punkte auf D stetig.
ad b)
Hier sind ja nur zwei Punkte zu prüfen, nämlich 0 und 3
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
Also ist es egal, welchen Wert ich im Intervall nehme?
Ich glaube ich blicke da noch nicht so ganz durch. Da kann ich doch dann immer noch nichts über die Allgemeinheit sagen oder?
hmm :-/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Di 14.06.2005 | | Autor: | Becks |
hallo,
kann mir denn keiner einen kleinen Ansatz geben, wie ich das in einem Intervall mache? Ich sitze davor und weiß nicht, wie ich es angehen soll.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Bitte, ich verzweifel hier noch.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Becks!
Die Stetigkeit in den Intervallen selbst ist klar, dazu brauchst du nichts weiter zu schreiben.
Um die Stetigkeit in [mm] $x_0=1$ [/mm] zu überprüfen, musst du schauen, ob
[mm] $\lim\limits_{x \to 1} \left( 2e^{\frac{1}{x} -1} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)$
[/mm]
gilt.
Um zu schauen, ob die Funktion in $0$ und $1$ hinein stetig fortsetzbar ist, musst du schauen, ob
[mm] $\lim\limits_{x \to 0} \left(2e^{\frac{1}{x} -1} \right)$
[/mm]
existiert und ob
[mm] $\lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right]$
[/mm]
gilt.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:29 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Becks |
Vielen Dank für deine Antwort.
[mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( 2e^{\frac{1}{x} -1} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 1} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right)
[/mm]
da habe kommt auf alle Seiten das Gleiche raus. (2 = 2)
[mm] \lim\limits_{x \to 0} \left(2e^{\frac{1}{x} -1} \right)
[/mm]
wenn x gegen 0 geht, geht ja der Bruch gegen unendlich, somit der Exponent und der ganze Ausdruck auch.
[mm] \lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right]
[/mm]
[mm] \lim\limits_{x \to 3} \left( \frac{x^2-2x-3}{x-3} \right) [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \to 3} \left[ (x^2-9) \log_e(x-3) + \log_e(e(x-2))\right]
[/mm]
Dort komme ich dann auf [mm] \bruch{0}{0}=1 [/mm] Also gilt es nicht.
Nun sage ich einfach bei der a)
Die Funktion f ist in allen Punkten von D stetig. Denn der einzige "kritische" Punkt war ja bei x=1 und das wurde ja gezeigt.
bei der b)
Dann ist die Funktion nur im Punkt x = 0 stetig fortsetzbar. Denn der Grenzwert würde gegen unendlich gehen. Und im Punkt x =3 gilt die Voraussetzung nicht und somit wäre die Funktion nicht stetig fortsetzbar.
Kann man das so sagen?
Du hast mir schon sehr geholfen, danke.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Richtig!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier mußt Du mal zwei Betrachtungen durchführen: nämlich den rechtsseitigen und den linksseitigen Grenzwert.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Bei einem unbestimmten Ausdruck wie [mm]\bruch{0}{0}[/mm] darfst Du nicht kürzen !!
Grenzwertsatz nach de l'Hospital