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Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 Mi 26.01.2011
Autor: yuppi

Hallo Zusammen und zwar versuche ich zu zeigen das die Funktion in (0,0) stetig ist.


f(x,y)= [mm] \bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} [/mm]

Außerhalb von  also  ungleich (0,0) ist das ja klar. Eine Kompisition stetiger Abildungen ist stetig. Und der Nenner wird ebenfalls nicht 0 da ungleich (0,0) nur betrachtet wird. Wäre super nett wenn ich das hier mit jemanden machen könnte. Habe gar kein plan wie man da rangeht.

Gruß
yuppi

        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:48 Mi 26.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo yuppi,


> Hallo Zusammen und zwar versuche ich zu zeigen das die
> Funktion in (0,0) stetig ist.
>  
>
> f(x,y)= [mm]\bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> Außerhalb von  also  ungleich (0,0) ist das ja klar. Eine
> Kompisition stetiger Abildungen ist stetig. [ok] Und der Nenner
> wird ebenfalls nicht 0 da ungleich (0,0) nur betrachtet
> wird. Wäre super nett wenn ich das hier mit jemanden
> machen könnte. Habe gar kein plan wie man da rangeht.

Probier's mit Polarkoordinaten:

[mm]x=r\cdot{}\cos(\varphi)[/mm]

[mm]y=r\cdot{}\sin(\varphi)[/mm] ...

Also [mm]f(r,\varphi)=...[/mm]

Lasse dann [mm]r\to 0[/mm] gehen und schaue, ob sich unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] ein (und derselbe) Grenzwert ergibt.

>  
> Gruß
>  yuppi

LG

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Mi 26.01.2011
Autor: yuppi

Polarkoordinaten sind mir leider fremd... hast du vielleicht einen anderen Tipp, wie man das noch machen  könnte ?

Gruß

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Mi 26.01.2011
Autor: Marcel

Hallo,

> Polarkoordinaten sind mir leider fremd... hast du
> vielleicht einen anderen Tipp, wie man das noch machen  
> könnte ?

der Ausdruck

$$f(x,y)= [mm] \bruch{x^4+y^4}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}$$ [/mm]
ist für [mm] $x=y=0\,$ [/mm] nicht definiert. Aber was man sich fragen kann, ist, ob man diese (z.B. auf [mm] $\IR^2\setminus\{(0,0)\}$ [/mm] definierte) Funktion stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ergänzen könnte. Ich behaupte, dass das mit [mm] $f(0,0):=0\,$ [/mm] geht.

Wegen
[mm] $$x^4+y^4 \le (x^2)^2+2x^2y^2+(y^2)^2=(x^2+y^2)^2$$ [/mm]
für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] folgt nämlich
[mm] $$(\star)\;\;|f(x,y)| \le \sqrt{x^2+y^2}\,,$$ [/mm]
woraus wegen der Stetigkeit der Wurzelfunktion, der Addition, der Betragsfunktion und [mm] $\sqrt{0}=0=|0|$ [/mm] die Behauptung folgt.

P.S.:
Die Stetigkeit der Betragsfunktion kann man auch weglassen, wenn man [mm] $(\star)$ [/mm] im Sinne von
$$|f(x,y)|=|f(x,y)-0| [mm] \le \sqrt{x^2+y^2}\,,$$ [/mm]
liest.

Ich selber folgere aber aus [mm] $(\star)$ [/mm] einfach
[mm] $$\lim_{(0,0) \not=(x,y) \to (0,0)}|f(x,y)|=0\,,$$ [/mm]
und die Stetigkeit der Betragsfunktion erlaubt's mir, den Limes unter den Betrag zu ziehen, woraus sich dann
[mm] $$\lim_{(0,0) \not=(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0$$ [/mm]
ergibt (weil glücklicherweise [mm] $|r|=0\,$ [/mm] auch $r=0$ nach sich zieht; also die Betragsfunktion nur die einzige Nullstelle in der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] hat).

Gruß,
Marcel

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