Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 03.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo zusammen.
Ich habe leider mal wieder ein kleines Problem mit folgender Aufgabe und hoffe nun auf eure Hilfe.
Bestimme für folgende Funktion die Menge aller Punkte, in denen sie stetig ist.
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{falls} \ x \not= \mbox{y} \\ 0, & \mbox{falls } \ x = \mbox{y} \end{cases}
[/mm]
Der Ausdruck [mm] (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}) [/mm] ist stetig.
Polynome wie z.B. [mm] (x^2+y^2) [/mm] sind immer stetig.
Und da x [mm] \not=y [/mm] ist der Ausdruck [mm] arctan(\bruch{1}{x-y}) [/mm] ebenfalls stetig, da der Nenner (x-y) von Null verschieden ist.
Mein Gadanke zu x=y ist nun folgender:
Ich wähle die Folge [mm] (x_k,y_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k}) [/mm] und untersuche die Funktionswerte auf diesen Folgen [mm] f(x_k,y_k)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})
[/mm]
Es gilt nun:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2}=0
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} arctan(\bruch{k}{2})=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Somit wäre die Funktion ja stetig, da [mm] f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})=0 \cdot \bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
Ich bin mir nur leider nicht ganz sicher, ob das vom Beweis her reicht. So wie ich meine Fähigkeiten einschätze wahrscheinlich nicht :-(
Hoffe ihr könnt mir helfen. Mit freundlichen Grüßen thadod
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 03.05.2011 | | Autor: | Damasus |
Hi.
Deine Vorüberlegungen waren schon richtig.
Du hast zwei Folgen gefunden für die das Ganze klappt. Dies reicht aber leider nicht aus.
Du hast nun zwei Möglichkeiten:
1. Du findest zwei Folgen, bei denen der Funktionswert nicht 0 ist.
2. Du zeigst, dass du für beliebige Folgen, der Grenzwert null ist.
Vielleicht kommst du damit weiter. Wenn nicht, dann schreib nochmal ;)
Grüße,
Damasus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:32 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen.
> Ich habe leider mal wieder ein kleines Problem mit
> folgender Aufgabe und hoffe nun auf eure Hilfe.
>
> Bestimme für folgende Funktion die Menge aller Punkte, in
> denen sie stetig ist.
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{falls} \ x \not= \mbox{y} \\ 0, & \mbox{falls } \ x = \mbox{y} \end{cases}[/mm]
>
> Der Ausdruck [mm](x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm] ist
> stetig.
> Polynome wie z.B. [mm](x^2+y^2)[/mm] sind immer stetig.
> Und da x [mm]\not=y[/mm] ist der Ausdruck [mm]arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm]
> ebenfalls stetig, da der Nenner (x-y) von Null verschieden
> ist.
>
> Mein Gadanke zu x=y ist nun folgender:
> Ich wähle die Folge [mm](x_k,y_k)=(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})[/mm]
> und untersuche die Funktionswerte auf diesen Folgen
> [mm]f(x_k,y_k)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})[/mm]
Das ist doch Quatsch ! Für x=y ist doch f(x,y)=0, also auch [mm] f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=0
[/mm]
Also: das ganze nochmal von vorne.
FRED
>
> Es gilt nun:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2}=0[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} arctan(\bruch{k}{2})=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Somit wäre die Funktion ja stetig, da
> [mm]f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})=0 \cdot \bruch{\pi}{2}=0[/mm]
>
> Ich bin mir nur leider nicht ganz sicher, ob das vom Beweis
> her reicht. So wie ich meine Fähigkeiten einschätze
> wahrscheinlich nicht :-(
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen. Mit freundlichen Grüßen
> thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:04 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Hallo.
Was ist Quatsch???
Ich zeige doch mit
[mm] f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})=0 \cdot \bruch{\pi}{2}=0
[/mm]
da f(x,y)=0 ist oder nicht
Was soll ich da jetzt nochmal von vorne machen?
Verstehe nicht ganz was ich jetzt falsch gemacht haben soll...
mfg thadod
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
>
> Was ist Quatsch???
>
> Ich zeige doch mit
>
> [mm]f(x_k,y_k)=f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2})=0 \cdot \bruch{\pi}{2}=0[/mm]
>
> da f(x,y)=0 ist oder nicht
>
> Was soll ich da jetzt nochmal von vorne machen?
>
> Verstehe nicht ganz was ich jetzt falsch gemacht haben
> soll...
Du schreibst:
[mm] $f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=\bruch{2}{k^2} \cdot arctan(\bruch{k}{2}) [/mm] $
Das ist aber nicht richtig, denn nach Def. von f ist [mm] $f(\bruch{1}{k},\bruch{1}{k})=0$
[/mm]
FRED
>
> mfg thadod
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 04.05.2011 | | Autor: | thadod |
Okay ich denke mal, dass ich es dann verstanden habe.
Versuch da jetzt mal anders ranzugehen...
Also die Funktion lautet:
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{falls} \ x \not= \mbox{y} \\ 0, & \mbox{falls } \ x = \mbox{y} \end{cases}
[/mm]
Und die Aufgabe ist es für die Funktion die Menge aller Punkte, in denen sie stetig ist, zu bestimmen...
Wir hatten bereits geklärt, dass der Ausdruck [mm] (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}) [/mm] stetig ist.
Denn:
Polynome wie z.B. $ [mm] (x^2+y^2) [/mm] $ sind immer stetig.
Und da x $ [mm] \not=y [/mm] $ ist der Ausdruck $ [mm] arctan(\bruch{1}{x-y}) [/mm] $ ebenfalls stetig, da der Nenner (x-y) von Null verschieden ist.
Ich komme dann zu dem Punkt, wo x=y.
Der arctan ist ja eine beschränkte Funktion zwischen [mm] -(\bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2}
[/mm]
Der Punkt ist ja nun x=y
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \Rightarrow |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2} \le 2x^2 \bruch{\pi}{2}=x^2\pi
[/mm]
Wegen [mm] x^2\pi \not= [/mm] 0 somit unstetig
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Moin thadod,
> Okay ich denke mal, dass ich es dann verstanden habe.
>
> Versuch da jetzt mal anders ranzugehen...
>
> Also die Funktion lautet:
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{falls} \ x \not= \mbox{y} \\ 0, & \mbox{falls } \ x = \mbox{y} \end{cases}[/mm]
>
> Und die Aufgabe ist es für die Funktion die Menge aller
> Punkte, in denen sie stetig ist, zu bestimmen...
>
> Wir hatten bereits geklärt, dass der Ausdruck [mm](x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm]
> stetig ist.
>
> Denn:
> Polynome wie z.B. [mm](x^2+y^2)[/mm] sind immer stetig.
> Und da x [mm]\not=y[/mm] ist der Ausdruck [mm]arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm]
> ebenfalls stetig, da der Nenner (x-y) von Null verschieden
> ist.
>
> Ich komme dann zu dem Punkt, wo x=y.
> Der arctan ist ja eine beschränkte Funktion zwischen
> [mm]-(\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2}[/mm]
Du solltest für Stetigkeit schon den Grenzwert [mm] x\to [/mm] y betrachten. Dann gilt sogar Gleichheit:
[mm] \qquad $\lim_{x\to y}\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=\frac{\pi}{2}$.
[/mm]
Also:
[mm] \qquad $\lim_{x\to y}(x^2+y^2)\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=2x^2\frac{\pi}{2}=\pi x^2$
[/mm]
> Wegen [mm]x^2\pi \not=[/mm] 0 somit unstetig
Unstetig für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] mit x=y?
Was ist wenn x=y=0? Im Nullpunkt ist die Funktion schon stetig.
>
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin thadod,
> > Okay ich denke mal, dass ich es dann verstanden habe.
> >
> > Versuch da jetzt mal anders ranzugehen...
> >
> > Also die Funktion lautet:
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y}), & \mbox{falls} \ x \not= \mbox{y} \\ 0, & \mbox{falls } \ x = \mbox{y} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Und die Aufgabe ist es für die Funktion die Menge aller
> > Punkte, in denen sie stetig ist, zu bestimmen...
> >
> > Wir hatten bereits geklärt, dass der Ausdruck [mm](x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm]
> > stetig ist.
> >
> > Denn:
> > Polynome wie z.B. [mm](x^2+y^2)[/mm] sind immer stetig.
> > Und da x [mm]\not=y[/mm] ist der Ausdruck [mm]arctan(\bruch{1}{x-y})[/mm]
> > ebenfalls stetig, da der Nenner (x-y) von Null verschieden
> > ist.
> >
> > Ich komme dann zu dem Punkt, wo x=y.
> > Der arctan ist ja eine beschränkte Funktion zwischen
> > [mm]-(\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> Du solltest für Stetigkeit schon den Grenzwert [mm]x\to[/mm] y
> betrachten.
Das stimmt aber nicht. Wir fixieren [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit [mm] x_0=y_0. [/mm] Jetzt ist die Frage, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (x_0,x_0)}f(x,y) [/mm] existiert und = f(0,0) =0 ist.
Wenn ja, so ist f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] stetig, anderenfalls nicht.
FRED
> Dann gilt sogar Gleichheit:
> [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{x\to y}\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=\frac{\pi}{2}[/mm].
>
> Also:
> [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{x\to y}(x^2+y^2)\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=2x^2\frac{\pi}{2}=\pi x^2[/mm]
>
> > Wegen [mm]x^2\pi \not=[/mm] 0 somit unstetig
> Unstetig für alle [mm]x,y\in\IR[/mm] mit x=y?
> Was ist wenn x=y=0? Im Nullpunkt ist die Funktion schon
> stetig.
> >
> LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 Mi 04.05.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo fred,
> > >
> > > Ich komme dann zu dem Punkt, wo x=y.
> > > Der arctan ist ja eine beschränkte Funktion
> zwischen
> > > [mm]-(\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> >
> > Du solltest für Stetigkeit schon den Grenzwert [mm]x\to[/mm] y
> > betrachten.
>
>
> Das stimmt aber nicht. Wir fixieren [mm](x_0,y_0)[/mm] mit [mm]x_0=y_0.[/mm]
> Jetzt ist die Frage, ob der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (x_0,x_0)}f(x,y)[/mm] existiert und =
> f(0,0) =0 ist.
>
> Wenn ja, so ist f in [mm](x_0,y_0)[/mm] stetig, anderenfalls nicht.
Es ist mir schon klar, dass der Funktionswert [mm] f(x_0,y_0) [/mm] für Stetigkeit mit dem Grenzwert [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (x_0,x_0)}f(x,y) [/mm] übereinstimmen muss.
Meine Aussage war darauf bezogen, dass man erst einmal untersuchen muss, ob dieser Grenzwert existiert. Erst wenn man einen Wert für den Grenzwert ermittelt hat, kann man überprüfen, ob dieser mit dem Funktionswert übereinstimmt.
>
> FRED
>
>
> > Dann gilt sogar Gleichheit:
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{x\to y}\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=\frac{\pi}{2}[/mm].
>
> >
> > Also:
> > [mm]\qquad[/mm] [mm]\lim_{x\to y}(x^2+y^2)\arctan\left(\frac{1}{x-y}\right)=2x^2\frac{\pi}{2}=\pi x^2[/mm]
>
> >
> > > Wegen [mm]x^2\pi \not=[/mm] 0 somit unstetig
> > Unstetig für alle [mm]x,y\in\IR[/mm] mit x=y?
> > Was ist wenn x=y=0? Im Nullpunkt ist die Funktion schon
> > stetig.
> > >
> > LG
>
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir machen die Sache jetzt mal "rund". Es bleibt noch die Frage, in welchen Punkten der 1. Winkelhalbierenden die Fkt. f stetig ist.
Wegen $ [mm] |(x^2+y^2) \cdot arctan(\bruch{1}{x-y})| \le |(x^2+y^2)| \cdot \bruch{\pi}{2}$, [/mm] ist f stetig in (0,0)
Sei [mm] x_0 \ne [/mm] 0.
Setze [mm] x_n= x_0+1/n [/mm] und [mm] y_n=x_0-1/n. [/mm] Dann gilt:
[mm] $f(x_n,y_n)= (x_n^2+y_n^2)arctan(n/2) \to [/mm] 2* [mm] \pi [/mm] * [mm] x_0^2 \ne 0=f(x_0,x_0)$
[/mm]
f ist also in [mm] (x_0,x_0) [/mm] nicht stetig.
FRED
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