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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Nun mal eine Aufgabe zur Stetigkeit:
Die Funktionen [mm] g_n:\Ir\to\IR, n\in\IN, [/mm] seien definiert durch
[mm] g_n(x):= \bruch{nx}{1+|nx|}.
[/mm]
Man zeige, dass alle Funktionen [mm] g_n [/mm] stetig sind. Für welche [mm] x\in\IR [/mm] ist die Funktion
[mm] g(x):=\lim_{n\to\infty}g_n(x)
[/mm]
definiert bzw. stetig?
Also, dass die [mm] g_n [/mm] alle stetig sind folgt doch einfach daraus, dass |x| stetig ist, und n|x| auch, die Summe stetiger Funktionen und der Quotient für [mm] Nenner\not=0 [/mm] auch wieder stetig sind, oder muss man da sonst noch was zeigen?
Aber die zweite Frage verstehe ich nicht so ganz. Ich nehme an, ich muss eine Fallunterscheidung machen: x<0, x=0, x>0, oder? Aber das wäre doch für jedes x definiert, oder wo gibt's da dann ein Problem mit der Definition?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
> Also, dass die $ [mm] g_n [/mm] $ alle stetig sind folgt doch einfach daraus, dass |x| stetig ist, und n|x| auch, die Summe stetiger Funktionen und der Quotient für $ [mm] Nenner\not=0 [/mm] $ auch wieder stetig sind, oder muss man da sonst noch was zeigen?
Nein, deine Argumentation ist korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun zu Aufgabe 2 (eine sehr schöne Übung, wie ich finde!):
Zu Untersuchen ist die Stetigkeit von $g$ auf ganz [mm] $\IR$. [/mm] Dazu greifen wir uns bestimmte $x$ raus, lassen sie fest und betrachten nur noch die Folge [mm] $\frac{nx}{1+\vert nx\vert}$. [/mm]
Hier ein Tip: wir können die Folgenglieder auch als [mm] $\frac{x}{\frac{1}{n}+\vert x\vert}$ [/mm] schreiben. Wie könnte jetzt der Grenzwert für [mm] $n\to\infty$ [/mm] aussehen, wie begründet er sich? Dabei solltest du, wie du schon richtig sagtest () zwischen $x>0, 0>x$ und $x=0$ unterscheiden. Es ist nicht schwierig, versuch' das bitte mal. Wenn du die richtigen Grenzwert heraushast, wirst du die Frage der Stetigkeit auch sofort beantworten können.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hanno!
Danke für deine Tipps. 
> Nun zu Aufgabe 2 (eine sehr schöne Übung, wie ich finde!):
Aber definiert ist g(x) doch überall, oder? Schließlich kann der Nenner nicht 0 werden und einen Grenzwert kann ich doch quasi auch immer berechnen, oder nicht?
> Zu Untersuchen ist die Stetigkeit von [mm]g[/mm] auf ganz [mm]\IR[/mm]. Dazu
> greifen wir uns bestimmte [mm]x[/mm] raus, lassen sie fest und
> betrachten nur noch die Folge [mm]\frac{nx}{1+\vert nx\vert}[/mm].
> Hier ein Tip: wir können die Folgenglieder auch als
> [mm]\frac{x}{\frac{1}{n}+\vert x\vert}[/mm] schreiben. Wie könnte
> jetzt der Grenzwert für [mm]n\to\infty[/mm] aussehen, wie begründet
> er sich? Dabei solltest du, wie du schon richtig sagtest
> () zwischen [mm]x>0, 0>x[/mm] und [mm]x=0[/mm] unterscheiden. Es ist
> nicht schwierig, versuch' das bitte mal. Wenn du die
> richtigen Grenzwert heraushast, wirst du die Frage der
> Stetigkeit auch sofort beantworten können.
Also, es gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}\frac{x}{\frac{1}{n}+\vert x\vert}= \begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ -1, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
und für x=0 lassen wir doch lieber die Ausgangsdarstellung, da es sonst nicht definiert ist, also [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+\vert nx\vert} [/mm] = 0
So, und nun muss für die Stetigkeit gelten: [mm] \lim_{x\to a}g(x)=g(a)
[/mm]
Nun ist [mm] \lim_{x\to a}g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } a>0 \\ -1, & \mbox{für } a<0 \end{cases}
[/mm]
und [mm] g(a)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } a>0 \\ -1, & \mbox{für } a<0 \end{cases}
[/mm]
Also ist die Funktion dort überall stetig. ?
Bleibt noch der Fall x=0:
[mm] \lim_{x\to 0}g(x)=0
[/mm]
und g(0)=0
aber irgendwie glaube ich, dass ich hier was durcheinandergewürfelt habe mit der Definition oder so...
Viele Grüße
Christiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mi 03.08.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Christiane!
> Aber definiert ist g(x) doch überall, oder? Schließlich kann der Nenner nicht 0 werden und einen Grenzwert kann ich doch quasi auch immer berechnen, oder nicht?
Ganu pauschal würde ich darüber keine Aussage treffen; aber das Problem wird ja dadurch gelöst, dass wir die Stetigkeit untersuchen, und das müssen wir ja sowieso. Dort muss zwangsläufig geschaut werden, ob die Funktion definiert ist. Die Argumentation mit dem Zähler und Nenner kannst du hier nicht anwenden; schließlich könnte im Zähler ja auch einfach [mm] $n^2$ [/mm] stehen - dann wäre $g$ nur für $x=0$ definiert.
Nun zur Untersuchung der Stetigkeit:
> Also, es gilt:
> $ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{x}{\frac{1}{n}+\vert x\vert}= \begin{cases} 1, & \mbox{für } x>0 \\ -1, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
> und für x=0 lassen wir doch lieber die Ausgangsdarstellung, da es sonst nicht definiert ist, also $ [mm] \lim_{n\to\infty}\frac{nx}{1+\vert nx\vert} [/mm] $ = 0
Das ist richtig!
> So, und nun muss für die Stetigkeit gelten: $ [mm] \lim_{x\to a}g(x)=g(a) [/mm] $
> Nun ist $ [mm] \lim_{x\to a}g(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } a>0 \\ -1, & \mbox{für } a<0 \end{cases} [/mm] $
> und $ [mm] g(a)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } a>0 \\ -1, & \mbox{für } a<0 \end{cases} [/mm] $
> Also ist die Funktion dort überall stetig. ?
Das ist auch richtig! Die Funktion $g$ ist auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] und [mm] $(\infty,0)$ [/mm] eingeschränkt linear, insbesondere also stetig.
> Bleibt noch der Fall x=0:
> $ [mm] \lim_{x\to 0}g(x)=0 [/mm] $
Nein, das ist nicht richtig ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") . Wie ich als Antwort auf deine andere Frage schrieb, bedeutet [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] g(x)=c$ folgendes (beide äquivalenten Aussagen seien nochmal aufgeführt):
(1) Für alle [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert ein [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] mit [mm] $\vert g(x)-c\vert [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $x\in (-\delta,\delta)$.
[/mm]
(2) Für alle [mm] $(x_n)_{n\in \IN}$, $x_n\to [/mm] 0$ ist [mm] $\lim_{n\to\infty} g(x_n)=c$, [/mm] d.h. für alle [mm] $\epsilon\in\IR^+$ [/mm] existiert ein [mm] $n_\epsilon$ [/mm] mit [mm] $\vert f(x_n)-c\vert [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_\epsilon$.
[/mm]
Die Aussagen gelten hier aber definitiv nicht. Um z.B. (1) zu widerlegen, brauchen wir nur ein [mm] "Ausnahme"-$\epsilon$, [/mm] für dass kein [mm] $\delta$ [/mm] mit der genannten Eigenschaft existiert. Dies ist aber leicht gefunden, wähle [mm] $\epsilon\in [/mm] (0,1)$. Für beliebiges [mm] $\delta\in\IR^+$ [/mm] wähle [mm] $x\in(-\delta,\delta), x\neq [/mm] 0$; dann ist [mm] $\vert f(x)-f(0)\vert [/mm] = 1 [mm] \not [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Damit kann $g$ im Ursprung nicht stetig sein.
Ein Beweis der Unstetigkeit über Kriterium (2) wäre durch die Betrachtung der Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in \IN}$ [/mm] möglich. Es ist [mm] $g\left(\frac{1}{n}\right)=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in \IN$, [/mm] folglich [mm] $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=1$, [/mm] aber [mm] $g(0)=0\not= [/mm] 1$. Damit kann $f$ nicht stetig sein.
Weiter noch kannst du Unstetigkeit sofort über die Ungleichheit von links- und rechtsseitigen Grenzwerten beweisen. Die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen $0$, [mm] $g\left(\frac{1}{n}\right)$ [/mm] konvergiert [konstant] gegen 1, die Folge [mm] $\left(-\frac{1}{n}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert ebenfalls gegen 0, jedoch konvergiert [mm] $g\left(-\frac{1}{n}\right)$ [/mm] [konstant] gegen -1; $g$ kann damit im Ursprung nicht stetig sein.
Auch wenn wir $g$ nur für [mm] $x\geq [/mm] 0$ definieren würde, wäre $g$ unstetig; dann würden immernoch die ersten beiden Beweise der Unstetigkeit gültig bleiben.
Liebe Grüße,
Hanno
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