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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Fuechsin |
Hallo ihr lieben!
Ich hab da mal wieder eine Frage.Und zwar geht es dieses Mal um Stetigkeit. Die Funktion
f(x) = |x| + |x-1|
soll auf Stetigkeit untersucht werden. wenn eine Funktion stetig ist, muss ja der Grenzwert an der stelle [mm] x_{0} [/mm] mit dem Funktionswert von [mm] x_{0} [/mm] übereinstimmen.
ich denke die funktion müsste man an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] =0 auf stetigkeit untersuchen, da sich da ja wegen der betragszeichen warhscheinlich besonderheiten ereignen
also der funktionswert für [mm] x_{0} [/mm] = 0 ist 1
f(0) = 1
jetzt zum links-und rechtseitigen Grenzwert:
für x [mm] \le [/mm] 0 würde ich die Funktion f(x) = -x-x+1 betrachen (also ohne die Betragsstriche) also f(x) = -2*x +1
jetzt davon der Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] -2*x +1 = 1
da stimmen also funktions-und grenzwert überein.
jetzt kommt aber das problem, wenn ich mich von rechts näher, also den rechtsseitigen grenzwert bestimmen will, dann tritt ein problem auf:
für x > 0 kann ich ohne betragszeichen schreiben
f(x) = x+x-1
f(x) = 2*x-1
ok, davon der Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] 2*x -1 = -1
der rechtseitige Grenzwert wäre dann -1! Nach dieser Rechnung wäre die Funktion also nciht stetig. aber wenn ich den Graphen der Funktion zeichne, dann ist sie stetig und x-->0 müsste den Grenzwert 1 haben ( in den negativen Bereich kommen wir ja gar nicht) die Funktion hat lediglich die besonderheit, dass alle werte zwischen 0 und +1 den Funktionswert 1 annehmen. (links und recht davon geht wie bei Betragsfunktionen üblich jeweils eine Gerade nach oben)
aber wie komme ich auf den grenzwert 1 (rechnerisch) ????
habe ich etwas falsch gemacht beim umformen der Funktion, wenn ich sie ohne Betragszeichen schreibe?
Oder muss man die noch anders aufteilen?
Wer einen Tipp hat, oder die Lösung weiß, ich bin für jede Idee offen ... bedanke mich jetzt schon für eure antworten!
bis dann, und Danke!
fuechsin...=)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mo 05.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Füchsin!
Da du dich ja von rechts der $0$ näherst, kann du ohne Einschränung [mm] $0\le x\le [/mm] 1$ annehmen. Dann aber ist: [mm] $x-1\le [/mm] 0$ und daher:
$f(x) = |x| + |x-1| = x -(x-1) = x-x+1 = 1$,
insbesondere also:
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 0} [/mm] f(x)=1$.
So, jetzt musst du noch die Stetigkeit in $x=1$ überprüfen. Wenn wir uns von links nähern, erhalten wir wie oben [mm] $\lim\limits_{x \uparrow 1}f(x)=1$.
[/mm]
Ist nun $x [mm] \ge [/mm] 1$, dann gilt $x-1 [mm] \ge [/mm] 0$, also:
$f(x) = |x| + |x-1| = x + x-1 = 2x-1$,
also:
[mm] $\lim\limits_{x \downarrow 1} [/mm] f(x) = 2 [mm] \cdot [/mm] 1 - 1= 1$.
Liebe Grüße
Julius
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