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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle [mm] k\in\IR, [/mm] sodass die Funktion [mm] f:(-\bruch{1}{2},\infty)\to\IR [/mm] stetig ist, und begründen Sie ihre Antwort:
[mm] f(x)=\begin{cases}\bruch{x*cos(x)}{ln(2x+1)} , & x\not=0 \\ k, & x=0 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
mein Ansatz war es zuerst den Grenzwert zu bilden:
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] = [mm] \bruch{x*cos(x)}{ln(2x+1)}\overbrace{=}^{L'Hopital}\bruch{cos(x)-sin(x)*x}{\bruch{2}{2x+1}}= \bruch{1}{2}
[/mm]
und damit die Funktion stetig ist muss doch jetzt gelten [mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] k = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] oder?
Vielen Dank im Voraus.
LG Bubbles
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Hallo,
vorneweg: im Prinzip ist das alles richtig, was du da machst, aber es ist - verzeih bitte - katatstrophal notiert.
> Bestimmen Sie alle [mm]k\in\IR,[/mm] sodass die Funktion
> [mm]f:(-\bruch{1}{2},\infty)\to\IR[/mm] stetig ist, und begründen
> Sie ihre Antwort:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}\bruch{x*cos(x)}{ln(2x+1)} , & x\not=0 \\ k, & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Hallo,
>
> mein Ansatz war es zuerst den Grenzwert zu bilden:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] =
> [mm]\bruch{x*cos(x)}{ln(2x+1)}\overbrace{=}^{L'Hopital}\bruch{cos(x)-sin(x)*x}{\bruch{2}{2x+1}}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
Was soll das mit dem n? Was soll ein Gleichheitszeichen direkt hinter dem Limes-Symbol? Weshalb taucht nach dem zweiten Gleichheitszeichen das Limes-Sysmbol nicht mehr auf, obwohl der Grenzwert noch gar nicht ausgewertet ist?
> und damit die Funktion stetig ist muss doch jetzt gelten
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0}[/mm] k = [mm]\bruch{1}{2},[/mm] oder?
>
Nein, es ist
[mm] \lim_{x\rightarrow{0}}f(x)= \frac{1}{2} [/mm]
und zwar beidseitig. Da beisst die Maus keinen Faden ab, und man benötigt keinen Konjunktiv.
Wenn also k=1/2 ist, dann wird die zunächst auf [mm] D\backslash\left \{ 0 \right \} [/mm] definierte Funktion f* an der Stelle x=0 durch f(0)=k=1/2 stetig fortgesetzt.
Weshalb die Funktion überall sonst stetig ist, kann man ja auch noch begründen...
Gruß, Diophant
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Danke:)
Ich hab die Fehler jetzt noch mal verbessert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x\cdot{}cos(x)}{ln(2x+1)}\overbrace{=}^{L'Hopital}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)-sin(x)\cdot{}x}{\bruch{2}{2x+1}}= \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] \lim_{x\rightarrow{0}}f(x)= \frac{1}{2} [/mm]
Und dann gilt:
[mm] f(x)=\begin{cases}\bruch{x\cdot{}cos(x)}{ln(2x+1)} , & x\not=0 \\ \bruch{1}{2}, & x=0 \end{cases} [/mm]
Muss ich noch was machen, oder bin ich jetzt fertig mit der Aufgabe?
LG Bubbles
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Sa 14.09.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke:)
>
> Ich hab die Fehler jetzt noch mal verbessert:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x\cdot{}cos(x)}{ln(2x+1)}\overbrace{=}^{L'Hopital}\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{cos(x)-sin(x)\cdot{}x}{\bruch{2}{2x+1}}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow{0}}f(x)= \frac{1}{2}[/mm]
>
> Und dann gilt:
Wie meinst Du das ????
Wir hatten:
$ [mm] f(x)=\begin{cases}\bruch{x\cdot{}cos(x)}{ln(2x+1)} , & x\not=0 \\ k, & x=0 \end{cases} [/mm] $
Ich würde schreiben: f ist stetig [mm] \gdw [/mm] k=1/2.
FRED
>
> [mm]f(x)=\begin{cases}\bruch{x\cdot{}cos(x)}{ln(2x+1)} , & x\not=0 \\ \bruch{1}{2}, & x=0 \end{cases}[/mm]
>
> Muss ich noch was machen, oder bin ich jetzt fertig mit der
> Aufgabe?
>
> LG Bubbles
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