Stetigkeit - Differenzieren < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Sa 10.03.2012 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | | http://www.myimg.de/?img=Unbenannt9ae45.jpg |
Hallo Leute,
und zwar habe ich vor einem Monat meine Klausur in Analysis geschrieben und habe, da ich mich zu knapp vorbereitet habe, leider nicht bestanden und werde in 3 Wochen in die Nachklausur gehen. Oben habe ich die Aufgaben, bei denen ich Probleme hatte, gepostet.
Jetzt meine Frage, als ich in der Klausur saß, hatte ich überhaupt keine Ahnung, wie ich daran gehen könnte, sollte man da am besten an Funktionen denken, die Abschnittsweise definiert sind oder wie geht man da vor? Also ich bräuchte Tipps, wie ich beim nächsten mal daran gehe und es wäre echt klasse, wenn mir jemand die Lösungen dazu nennen könnte, denn ich weiß es immernoch nicht.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> http://www.myimg.de/?img=Unbenannt9ae45.jpg
> Hallo Leute,
>
> und zwar habe ich vor einem Monat meine Klausur in Analysis
> geschrieben und habe, da ich mich zu knapp vorbereitet
> habe, leider nicht bestanden und werde in 3 Wochen in die
> Nachklausur gehen. Oben habe ich die Aufgaben, bei denen
> ich Probleme hatte, gepostet.
>
> Jetzt meine Frage, als ich in der Klausur saß, hatte ich
> überhaupt keine Ahnung, wie ich daran gehen könnte,
> sollte man da am besten an Funktionen denken, die
> Abschnittsweise definiert sind oder wie geht man da vor?
> Also ich bräuchte Tipps, wie ich beim nächsten mal daran
> gehe und es wäre echt klasse, wenn mir jemand die
> Lösungen dazu nennen könnte, denn ich weiß es immernoch
> nicht.
bei i):
Verschiebe mal die Betragsfunktion "ein bisschen" nach rechts (etwa $f(x):=|x-0.5|$). Warum ist die stetig, aber nicht diff'bar auf $[0,1]$?
(Beachte: Nicht diff'bar heißt, dass es mindestens eine Stelle gibt, an der die Funktion nicht diff'bar ist!)
bei ii):
Was ist mit [mm] $1_{\IQ}\,,$ [/mm] also der Funktion, die nur auf den rationalen Zahlen den Wert 1, sonst aber den Wert 0 annimmt? Schränke die halt auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] ein!
bei iii):
Standardbeispiel: [mm] $f_n(x)=x^n$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,.$ [/mm] Diese [mm] $f_n$ [/mm] konvergieren punktweise gegen [mm] $f\,$ [/mm] mit $f(x):=0$ auf $[0,1)$ und [mm] $f(1):=1\,,$ [/mm] aber nicht glm. gegen [mm] $f\,.$
[/mm]
bei iv):
Da gibt's sehr viele einfache Beispiele. Schau' doch einfach mal nach, wann eine Funktion Riemann-intbar ist. Da gibt's auch Charakterisierungen. Denk' hier mal an die Vorzeichenfunktion, also [mm] $\text{sign}$ [/mm] mit [mm] $\text{sign}(x):=x/|x|$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und [mm] $\text{sign}(0)=0\,.$
[/mm]
(Anders gesagt: [mm] $\text{sign}(x)=-1$ [/mm] für $x < [mm] 0\,,$ $\text{sign}(0)=0$ [/mm] und [mm] $\text{sign}(x)=1\,$ [/mm] für $x > [mm] 0\,.$)
[/mm]
P.S.
Meine Antworten zu ii) und iii) sind Standardbeispiele, welche man eigentlich mal in den Übungen behandelt haben sollte, und wenn man das verstanden hat, fallen die einem hier sofort ein. Ich könnte Dir noch kompliziertere hinschreiben und auch begründen, wie ich die konstruiert habe. Aber oft sind gerade die Klausuren in Analysis I so gestrickt, dass, wenn man alle Übungsaufgaben behandelt und verstanden hat, wenigstens mal versuchen kann, ob entsprechende Funktionen, die man da zum ersten Mal gesehen hat, vll. diese geforderten Eigenschaften haben. Denn in der Klausur hast Du ja eh weniger Zeit, mal "schnell" etwas zu konstruieren, oder einen Existenzbeweis zu führen (bei "kleineren" Aufgaben geht das auch schonmal).
P.P.S.
Wenn Du so wenig Zeit zum Lernen hast, dann mache folgendes:
Erstmal die Definitionen und Sätze nochmal für Dich aufschreiben. Die Beweise kannst Du erstmal aussen vor lassen (der ein oder andere wird Dir sicher klar sein, aber gerade kompliziertere, wo Du weißt, siehst, dass das ein längeres Unterfangen wird, wenn Du den komplett verstehen willst: Investiere dann lieber weniger Zeit auf solche Beweise).
Wichtig ist, dass Dir alle Begriffe/Definitionen ganz klar sind, und Du quasi auch zu jeder Definition am besten ein Beispiel parat hast. Und die Sätze musst Du inhaltlich komplett verstehen, und das geht nunmal nicht anders - daher musst Du Definitionen lernen und verstehen!!
Alleine mit diesem Wissen alle Übungsaufgaben durchgehen und schauen, wann die da was gemacht haben und welchen Satz die angewendet haben.So lernst Du zwar erstmal nur, das Werkzeug zu benutzen, ohne Dir absolut sicher zu sein, dass das Werkzeug auch "keinen Konstruktionsfehler" hat, aber meist wird auch nicht viel mehr in den Klausuren von Dir erwartet.
Und da Du die Klausur bestehen willst, ist das sicher die beste Methode, jedenfalls überhaupt mal so vorbereitet zu sein, dass man nicht einfach nur ratlos vor den Aufgaben sitzt - schlimmstenfalls erinnert man sich mal nur an eine Aufgabe, die doch so ähnlich war, und bekommt wenigstens eine Idee.
Wenn Du so quasi alleine alle Übungsaufgaben lösen könntest (das MUSS aber auch nicht sein - anhand der Klausur, die Du aber schon geschrieben hast, weißt Du aber sicher, welche davon sehr relevant und welche eher weniger relevant für die Klausur waren), dann bist Du schon fast optimal für die nächste Klausur vorbereitet, und DANN könntest Du Dich dranmachen, nun auch endlich mal alle Beweise durchzugehen. Wenn Du die dann auch noch alle verstehen und selbst führen könntest, dann wärst Du schon sowas wie optimal für eine mündliche Prüfung vorbereitet!
Nebenbei:
Bzgl. der Aufgaben von "den Lösungen" zu sprechen, ist eher unsinnig. Bei jeder der vier Aufgaben oben kannst Du Dir sehr viele [mm] $f\,$'s [/mm] ausdenken, die die Aufgabe jeweils lösen!
Und für die nächste Klausur mal eine
Beispielsfrage:
In der Klausur könnte man fragen:
"Können Sie eine differenzierbare Funktion $f:[-10,1001] [mm] \to \IR$ [/mm] angeben, die nicht stetig ist?"
Da müßtest Du antworten: "Weil differenzierbare Funktionen notwendigerweise stetig sind, ist die Existenz solch' einer Funktion ausgeschlossen!"
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 10.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Erstmal danke für deine sehr ausführliche Antwort. Ich bin was das Wissen angeht eigentlich immernoch auf einem guten Stand, Konvergenz, Integrale, Reihe etc. damit kann ich größtenteils "rechnen". Die Definitionen haben mir eher Probleme bereitet, da ich mich gleichzeitig für 2 Klausuren vorbereitet habe und somit nicht perfekt die Definitionen lernen konnte, dies wird mir nicht noch einmal passieren, vorallem, da ich die Klausur knapp nicht bestanden habe. Anscheinend bin ich das ganze aber bis jetzt richtig angegangen, eben so wie du beschrieben hast.
Zu erstmal zur (i):
f(x)=|x-0,5|
Die Funktion ist ja um 0,5 nach unten verschoben, warum ist sie nicht differenzierbar? In der Klausur bin ich auch von der Betragsfunktion ausgegangen, habe damit argumentiert, dass f(x)=|x| stetig ist, aber im Punkt x=0 nicht differenzierbar ist, warum ist ganze Funktion nicht diffbar, wenn ich sie um 0,5 verschiebe?
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Hiho,
> Zu erstmal zur (i):
>
> f(x)=|x-0,5|
>
> Die Funktion ist ja um 0,5 nach unten verschoben, warum ist
> sie nicht differenzierbar? In der Klausur bin ich auch von
> der Betragsfunktion ausgegangen, habe damit argumentiert,
> dass f(x)=|x| stetig ist, aber im Punkt x=0 nicht
> differenzierbar ist, warum ist ganze Funktion nicht
> diffbar, wenn ich sie um 0,5 verschiebe?
in welchem Punkt (also welchem Funktionswert!) ist die Betragsfunktion $f(x) = |x|$ nicht differenzierbar?
In welchem Punkt ist dann die Funktion (wo wird obiger Funktionswert angenommen) $f(x) = |x - 0.5|$ nicht differenzierbar?
Warum ist die Funktion da nicht differenzierbar?
Das erklärt dann auch, warum dein Beispiel in der Klausur falsch war: Die Betragsfunktion ist eingeschränkt auf [0,1] nämlich überall differenzierbar.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:22 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > Zu erstmal zur (i):
> >
> > f(x)=|x-0,5|
> >
> > Die Funktion ist ja um 0,5 nach unten verschoben, warum ist
> > sie nicht differenzierbar? In der Klausur bin ich auch von
> > der Betragsfunktion ausgegangen, habe damit argumentiert,
> > dass f(x)=|x| stetig ist, aber im Punkt x=0 nicht
> > differenzierbar ist, warum ist ganze Funktion nicht
> > diffbar, wenn ich sie um 0,5 verschiebe?
>
> in welchem Punkt (also welchem Funktionswert!) ist die Betragsfunktion
> $ f(x) = |x| $ nicht differenzierbar?
hä? Wieso Funktionswert? Interessant ist DIE STELLE!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal danke für deine sehr ausführliche Antwort. Ich
> bin was das Wissen angeht eigentlich immernoch auf einem
> guten Stand, Konvergenz, Integrale, Reihe etc. damit kann
> ich größtenteils "rechnen". Die Definitionen haben mir
> eher Probleme bereitet, da ich mich gleichzeitig für 2
> Klausuren vorbereitet habe und somit nicht perfekt die
> Definitionen lernen konnte, dies wird mir nicht noch einmal
> passieren, vorallem, da ich die Klausur knapp nicht
> bestanden habe. Anscheinend bin ich das ganze aber bis
> jetzt richtig angegangen, eben so wie du beschrieben hast.
>
> Zu erstmal zur (i):
>
> f(x)=|x-0,5|
>
> Die Funktion ist ja um 0,5 nach unten verschoben, warum ist
> sie nicht differenzierbar?
sie ist nicht um [mm] $0.5\,$ [/mm] nach unten, sondern um [mm] $0.5\,$ [/mm] NACH RECHTS verschoben. ($x [mm] \mapsto [/mm] |x| [mm] \red{-0.5}$ [/mm] wäre um [mm] $0.5\,$ [/mm] nach unten verschoben!).
(Nebenbei: Wenn man die Betragsfunktion um [mm] $0.5\,$ [/mm] nach unten verschiebt, muss sie auch negative Werte annehmen. Aber [mm] $|x-0.5|\,$ [/mm] ist stets [mm] $\ge 0\,.$) [/mm]
Der "Knick" ist an der Stelle $x=0.5 [mm] \in (0,1)=\{r \in \IR: 0 < r < 1\}\,.$
[/mm]
> In der Klausur bin ich auch von
> der Betragsfunktion ausgegangen, habe damit argumentiert,
> dass f(x)=|x| stetig ist, aber im Punkt x=0 nicht
> differenzierbar ist, warum ist ganze Funktion nicht
> diffbar, wenn ich sie um 0,5 verschiebe?
Naja, die Funktion $f: D [mm] \to \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto [/mm] f(x):=|x|$ ($x [mm] \in [/mm] D$) ist halt z.B. nicht differenzierbar in [mm] $0\,,$ [/mm] sofern es ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so gibt, dass [mm] $(-\epsilon,\epsilon) \subseteq D\,.$
[/mm]
Mit [mm] $D:=[0,1]\,$ [/mm] ist sie halt differenzierbar - insbesondere in [mm] $0\,$, [/mm] denn:
1.) Für alle $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ ist [mm] $f(x)=x\;\;\;(=\text{id}(x))\,$ [/mm] und es ist [mm] $f'(x)=1\,.$
[/mm]
2.) Für [mm] $x=1\,$ [/mm] existiert auch $f'(1)$ und es ist [mm] $f'(1)=1\,,$ [/mm] da
[mm] $$\lim_{h \to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{\substack{0 \not=h \to 0\\h\text{ immer so, dass }1+h \in D=[0,1]}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=1\,.$$
[/mm]
(Mach' Dir klar, dass die Differenzierbarkeit von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle 1 hier per Definitionem äquivalent ist zur linksseitigen Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $1\,$! [/mm] (Vgl. etwa ![[]](/images/popup.gif) Definition 13.1, und beachte dabei ganz streng Definition 10.4, insbesondere den Teil "Wir schreiben dann ... oder [mm] $\lim_{\substack{x \to x_0\\x \red{\in M}}}f(x)$...").)
[/mm]
3.) Analog ist die Differenzierbarkeit von obigem [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] dann äquivalent zur rechtsseitigen Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $0\,,$ [/mm] und dass [mm] $|x|\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] die rechtsseitige Ableitung [mm] $1\,$ [/mm] hat, ist quasi trivial. (Ebenso ist die linksseitige Diff'barkeit an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] trivial).
Wenn man eine "triviale" Begründung hernehmen will: Es folgt etwa "fast direkt" aus [mm] $|.|_{|[0,1]}=\text{id}_[0,1]\,.$
[/mm]
Das ist übrigens eine Standardsache, die viele Studenten falsch verstehen oder sich meist gar nicht klar machen: Was bedeutet (charakterisiert) etwa die Differenzierbarkeit einer Funktion auf
1.) einem Intervall [mm] $[a,b)\,$?
[/mm]
2.) einem Intervall [mm] $(a,b]\,$?
[/mm]
3.) einem Intervall [mm] $[a,b]\,$?
[/mm]
Was bei allen gilt, ist, dass sie diff'bar an allen Stellen $x [mm] \in (a,b)\,$ [/mm] sein müssen. Es gilt aber zusätzlich
nur bei 1.):
Die Funktion muss auch rechtsseitig diff'bar sein an der Stelle [mm] $a\,.$
[/mm]
nur bei 2.)
Die Funktion muss linksseitig diff'bar an [mm] $b\,$ [/mm] sein.
nur bei 3.)
Die Funktion muss sowohl rechtsseitig diff'bar an [mm] $a\,$ [/mm] ALS AUCH linksseitig diff'bar an [mm] $b\,$ [/mm] sein.
Das folgt direkt aus obiger Definition 13.1 unter strenger Beachtung der Definition 10.4!!
Und alleine daher ist $x [mm] \mapsto |x|\,,$ [/mm] wenn man sie auf $[0,1]$ einschränkt, differenzierbar, während $x [mm] \mapsto [/mm] |x-p|$ - eingeschränkt auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] - mit einem einmal fest gewählten $p [mm] \in (0,1)\,$ [/mm] nicht differenzierbar ist, weil diese Funktion eben an der Stelle [mm] $p\,$ [/mm] nicht diff'bar ist (etwa, weil dort die rechtsseitige Ableitung nicht mit der linksseitigen übereinstimmt).
P.S.
Bei 2. kannst Du auch konkreter anstatt dieses $0 [mm] \not=h \to [/mm] 0$ mit [mm] $h\,$ [/mm] immer so, dass $1+h [mm] \in [/mm] [0,1]$ auch direkt schreiben:
$$[-1,0) [mm] \ni [/mm] h [mm] \to 0\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 11.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich muss ehrlich sagen, dass ich gerade etwas im Dunkeln tappe. Deine Antwort ist sehr ausführlich, weswegen ich gerne doch mal den Beweis antreten würde. Erstmal jetzt die Frage, wenn die Funktion nicht differenzierbar ist, heißt es dann, dass sie in keinem Punkt diffbar ist oder reicht da einer aus?
Da Antwort bräuchte ich erstmal, dann würde ich mich gerne mal am Beweis versuchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich muss ehrlich sagen, dass ich gerade etwas im Dunkeln
> tappe. Deine Antwort ist sehr ausführlich, weswegen ich
> gerne doch mal den Beweis antreten würde. Erstmal jetzt
> die Frage, wenn die Funktion nicht differenzierbar ist,
> heißt es dann, dass sie in keinem Punkt diffbar ist oder
> reicht da einer aus?
das ist das, was ich meinte: Du musst die Definitionen lernen. Wenn Du in das Skript schaust, wirst Du feststellen (das ganze nun auf's Wesentliche bzgl. Deiner Frage reduziert, also ohne Häufungspunkte etc. nochmal explizit zu erwähnen):
Eine Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] heißt (genau dann) differenzierbar in [mm] $x_0 \in M\,,$ [/mm] falls der Grenzwert [mm] $\lim_{(x_0 \not=)\,\;x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ [/mm] exisiert.
Die Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] heißt (genau dann) differenzierbar (oder differenzierbar auf [mm] $M\,$), [/mm] wenn sie differenzierbar in allen [mm] $x_0 \in [/mm] M$ ist.
Folglich:
Eine Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] ist (genau dann) nicht differenzierbar, wenn sie nicht in allen [mm] $x_0 \in [/mm] M$ differenzierbar ist. Anders gesagt:
Ist $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion, so gilt:
[mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann nicht diff'bar, wenn es (mindestens!) ein [mm] $x_0 \in [/mm] M$ so gibt, dass [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle nicht differenzierbar ist.
> Daie Antwort bräuchte ich erstmal, dann würde ich mich
> gerne mal am Beweis versuchen.
Jetzt klar(er)?
P.S.
Auch, wenn Du das nicht brauchst, aber (sowas findest Du auch in dem Skript):
Es gibt eine auf einem nichtleeren Intervall stetige Funktion, die an keiner Stelle differenzierbar ist. Aber "sowas kompliziertes" brauchst Du für die Aufgabe hier nicht.
Denn, nochmal kurz zusammengefasst: Wenn [mm] $f\,$ [/mm] an einer Stelle schon nicht diff'bar ist, wird [mm] $f\,$ [/mm] nicht diff'bar sein!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 11.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Genau diese Definition habe ich heute gelernt gehabt durch das Skript, aber bin anscheinend noch nicht ganz sicher damit.
Jetzt nochmal zu der Funktion:
f(x)=|x-0,5|
Die Funktion wäre im Punkt x=0,5 nicht differenzierbar, somit wäre die Funktion nicht diffbar. Aber stetig. Ich verstehe nicht, warum dies nicht auch für f(x)=|x| gilt, denn diese Funktion ist ja in 0 nicht diffbar und 0 ist ja enthalten in [0,1].
Dies hast du mir wohl schon im obigen Post versucht zu erklären, aber ich steige da immernoch nicht ganz durch. Danke für deine Geduld.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Genau diese Definition habe ich heute gelernt gehabt durch
> das Skript, aber bin anscheinend noch nicht ganz sicher
> damit.
>
> Jetzt nochmal zu der Funktion:
>
> f(x)=|x-0,5|
>
> Die Funktion wäre im Punkt x=0,5 nicht differenzierbar,
> somit wäre die Funktion nicht diffbar.
genau! Damit ist schonmal eine erste kleine Lücke geschlossen! 
> Aber stetig. Ich
> verstehe nicht, warum dies nicht auch für f(x)=|x| gilt,
> denn diese Funktion ist ja in 0 nicht diffbar und 0 ist ja
> enthalten in [0,1].
Schau' genau in die Definitionen und den Text, den ich Dir geschrieben habe. Wenn Du zeigen willst, dass $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=|x|\,$ [/mm] nicht differenzierbar in [mm] $0\,$ [/mm] ist, so wird Dir das nicht gelingen. Ich beweise Dir, dass [mm] $f'(0)=1\,$ [/mm] ist. Es gilt nämlich per Definition 13.1, dass wir zu prüfen haben, ob folgender Grenzwert existiert bzw. ihn dann im Falle der Existenz hier auch berechnen wollen:
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\,.$$
[/mm]
Wegen Definition 10.4 gilt:
[mm] $$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{\substack{x \to 0,\\x \in [0,1]\\x \not=0=:x_0}}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\,.$$
[/mm]
Und jetzt schau' genau hin: Da steht nun nichts anderes als die rechtsseitige Ableitung von der Funktion [mm] $|.|\,$ [/mm] (meinetwegen auch eingeschränkt auf [mm] $[0,1]\,$, [/mm] also kurz: [mm] $f=|.|_{|[0,1]}$) [/mm] an der Stelle [mm] $0\,.$ [/mm] Kannst Du die berechnen oder nicht?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 So 11.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Wir hätten doch dann:
[mm] \lim_{\substack{x \to 0,\\x \in [0,1]\\x \not=0=:x_0}}\frac{|x|-0}{x}\,. [/mm] =1
Das stimmt so, oder?
Ich glaube ich habe etwas vermischt und zwar hatten wir mal besprochen, dass die Betragsfunktion in der 0 nicht diffbar ist, da wenn man von rechts kommt das ganze gleich 1 ist und wenn mand von links kommt -1. Und deswegen wäre sie in der 0 nicht diffbar, da wir aber hier nur den Bereich [0,1] haben, ist f(x)=|x| diffbar, stimmt das so oder habe ich damals irgendwas falsch verstanden?
Ich hab aber immernoch Probleme mit dem f(x)=|x-0,5|, wieso ist das nun bei 0,5 nicht diffbar? Wie beweise ich das? Mit dem rechtseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert? Kann man das auch erklären?
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Hiho,
> Wir hätten doch dann:
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> [mm]\lim_{\substack{x \to 0,\\x \in [0,1]\\x \not=0=:x_0}}\frac{|x|-0}{x}\,.[/mm]
> =1
>
> Das stimmt so, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich glaube ich habe etwas vermischt und zwar hatten wir mal
> besprochen, dass die Betragsfunktion in der 0 nicht diffbar
> ist, da wenn man von rechts kommt das ganze gleich 1 ist
> und wenn mand von links kommt -1. Und deswegen wäre sie in
> der 0 nicht diffbar, da wir aber hier nur den Bereich [0,1]
> haben, ist f(x)=|x| diffbar, stimmt das so oder habe ich
> damals irgendwas falsch verstanden?
Nein, dass ist richtig. Oder in anderen Worten: Die Betragsfunktion ist normalerweise in Null ja nicht differenzierbar, weil der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert für sich zwar existiert, diese aber verschieden sind.
Im Intervall [0,1] betrachten wir in Null aber per Definition nur den rechtsseitigen Grenzwert als "Grenzwert" und dieser existiert ja und ist eindeutig, d.h. [mm] $|x|_{[0,1]}$ [/mm] ist differenzierbar.
> Ich hab aber immernoch Probleme mit dem f(x)=|x-0,5|, wieso
> ist das nun bei 0,5 nicht diffbar? Wie beweise ich das? Mit
> dem rechtseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert?
Genau. Berechne doch mal den link- und rechtsseitigen Grenzwert oder mach dir klar, dass da genau das gleiche herauskommt, wie bei der "normalen" Betragsfunktion in 0
> Kann man das auch erklären?
Als kurze "Erklärung" wäre hier halt nur zu sagen, dass $|x - 0,5|$ sich in 0,5 eben genauso verhält wie die "normale" Betragsfunktion in Null.
Und diese ist dort nach obigem ja nicht differenzierbar.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 11.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich hab aber immernoch Probleme mit dem f(x)=|x-0,5|, wieso
> ist das nun bei 0,5 nicht diffbar? Wie beweise ich das? Mit
> dem rechtseitigen bzw. linksseitigen Grenzwert? Kann man
> das auch erklären?
Gono hat's ja eigentlich schon erklärt. Aber ich schreib' Dir mal hin, was Du formal machen sollst:
Berechne für $f(x):=|x-0.5|$ [mm] ($x\in [/mm] [0,1]$)
1.) [mm] $\lim_{\substack{x \to 0.5\\x \in [0,1]\\ x > 0.5}} \frac{f(x)-f(0.5)}{x-0.5}$
[/mm]
2.) [mm] $\lim_{\substack{x \to 0.5\\x \in [0,1]\\ x < 0.5}} \frac{f(x)-f(0.5)}{x-0.5}$
[/mm]
(Bei 1.) berechnest Du die rechtsseitige, bei 2.) die linksseitige Ableitung an der Stelle [mm] $x_0=0.5$!)
[/mm]
Beachte: Nach Definition des Betrags gilt [mm] $|x-0.5|=x-0.5\,$ [/mm] für alle $x > [mm] 0.5\,,$ [/mm] und es gilt [mm] $|x-0.5|=-(x-0.5)=0.5-x\,$ [/mm] für alle $x < [mm] 0.5\,.$
[/mm]
Ich hoffe, spätestens, nachdem Du das getan hast, siehst Du, was Gono meinte, dass hier genau das gleiche da steht, wie wenn man die rechts- bzw. linksseitige Ableitung von [mm] $|.|\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] berechnet. Beachte übrigens:
Bei [mm] $\lim_{x \to x_0}\,,$ [/mm] wobei [mm] $x_0$ [/mm] Häufungspunkt etwa aus [mm] $\IR$ [/mm] ist, kann man immer o.E. annehmen, dass die [mm] $x\,$ [/mm] schon "sehr nahe an [mm] $x_0$" [/mm] liegen - denn das ändert den Grenzwert nicht.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 12.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ah, ich verstehe, einmal kommt 1 raus und einmal -1. Ok, das sehe ich ein, danke euch!
Nun zur (ii):
Meintest du so etwas?
f:[0,1]-> [mm] $\IR$
[/mm]
x=1 für [mm] $\IQ$
[/mm]
x=0 für M={0,1}
Kann man das so machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Mo 12.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ah, ich verstehe, einmal kommt 1 raus und einmal -1. Ok,
> das sehe ich ein, danke euch!
>
> Nun zur (ii):
>
> Meintest du so etwas?
>
> f:[0,1]-> [mm]\IR[/mm]
>
> x=1 für [mm]\IQ[/mm]
> x=0 für M={0,1}
Nein, so meinte Marcel das nicht, sondern so:
f(x)=1, falls x [mm] \in \IQ \cap [/mm] [0,1] und f(x)=0, falls x [mm] \in [/mm] [0,1] \ [mm] \IQ.
[/mm]
FRED
>
> Kann man das so machen?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 12.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, das sehe ich schon ein, aber ich verstehe nicht genau, was in keinem Punkt einen Grenzwert bedeutet, ansich besitzt die Funktion f(x)=x auch keinen Grenzwert im Intervall [0,1] oder wären die Grenzwerte hier doch tatsächlich 0 und 1? Damit hätte deine Funktion doch auch einen GW oder wie muss ich das sehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mo 12.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
gemeint ist: für beliebige Folgen [mm] x_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x [/mm] folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x) [/mm] dann ist f(x) stetig in x
das gilt für f(x)=x für beliebige Folgen [mm] x_n, [/mm] für die genannte fkt in keinem Punkt.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> gemeint ist: für beliebige Folgen [mm]x_n[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=x[/mm] folgt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(x)[/mm] dann ist f(x) stetig
> in x
> das gilt für f(x)=x für beliebige Folgen [mm]x_n,[/mm] für die
> genannte fkt in keinem Punkt.
es stimmt, dass die obige Funktion in keinem Punkt stetig ist. Eine unstetige Funktion kann dennoch in jedem Punkt einen Grenzwert haben:
Die Funktion $f(x):=|x|$ auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit [mm] $f(0):=1\,$ [/mm] hat auch an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] den Grenzwert [mm] $0\,,$ [/mm] da per Definitionem
[mm] $$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{\substack{x \to 0\\x \in \IR \setminus\{0\}}}f(x)=\lim_{\substack{x \to 0\\ x \in \IR \setminus\{0\}}}|x|=\lim_{0 \not=x \to 0}|x|=0\,.$$
[/mm]
Wenn eine Funktion stetig an einer Stelle ist, existiert natürlich stets der Funktionsgrenzwert dort. Umgekehrtes gilt i.a. NICHT!
(Bei der Existenz des Funktionsgrenzwertes mit Folgen steht auch da: Für alle Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_0 \not=x_n \to x_0\,.$ [/mm] Dabei sollte [mm] $x_0$ [/mm] Häufungspunkt des Definitionsbereichs sein, sonst ist das irgendwie "langweilig". Aber nicht jeder Häufungspunkt einer Menge gehört auch zu der Menge, daher braucht man da noch nicht mal, dass [mm] $x_0$ [/mm] zum Definitionsbereich gehört...)
Fazit:
Es ist eine schöne Sache, auch einzusehen, dass [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] an keiner Stelle stetig ist. Aber diese Tatsache reicht - ohne eine Zusatzargumentation - nicht aus, um auch zu sehen, dass wirklich an keiner Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ der Funktionsgrenzwert existiert!
P.S.
Auch Folgendes ist einer Bemerkung Wert:
Ist [mm] $x_0 \in [/mm] M [mm] \subseteq X\,,$ [/mm] wobei [mm] $(X,d)\,$ [/mm] ein metrischer Raum sei, und ist $f: M [mm] \to [/mm] Y$ mit einem metrischen Raum [mm] $(Y,e)\,,$ [/mm] so "ist in der Folgerung
$$f [mm] \text{ ist stetig an der Stelle }x_0 \in [/mm] X [mm] \Rightarrow \exists \lim_{x \to x_0}f(x)\;\;(=f(x_0))$$
[/mm]
'versteckt' auch die Aussage enthalten, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt (bzgl. [mm] $d\,$) [/mm] von [mm] $M\,$ [/mm] ist." (Das liegt an der Definition von [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mo 12.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, das sehe ich schon ein, aber ich verstehe nicht genau,
> was in keinem Punkt einen Grenzwert bedeutet, ansich
> besitzt die Funktion f(x)=x auch keinen Grenzwert im
> Intervall [0,1] oder wären die Grenzwerte hier doch
> tatsächlich 0 und 1? Damit hätte deine Funktion doch auch
> einen GW oder wie muss ich das sehen?
Du hast die Definitionen nicht gelernt (Definition 10.4 etwa). Man kann äquivalent formulieren (für den metrischen Raum [mm] $\IR$):
[/mm]
Ist $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $M\,$ [/mm] ist (nicht notwendig [mm] $x_0 \in [/mm] M$), so gilt für eine Funktion $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] und $a [mm] \in \IR$: [/mm]
Genau dann hat [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] den Grenzwert [mm] $a\,,$ [/mm] falls gilt:
Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,x_0} [/mm] > 0$ so, dass
$$|f(x)-a| < [mm] \epsilon \text{ für alle }x \in [/mm] M [mm] \cap [x_0-\delta,\;x_0+\delta] \setminus \{x_0\}\,.$$
[/mm]
(Im Falle, dass der Funktionsgrenzwert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] existiert, schreibt man dann [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x):=a\,$ [/mm] - nochmal: Beachte Definition 10.4, also die Bedeutung der Notation [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)\,.$ [/mm] Die hier von mir aufgestellte [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Definition [/mm] kann man auch allgemein für Funktionen zwischen metrischen Räumen hinschreiben - und einfach zeigen, dass die "Definition 10.4 über Folgen" zu der [mm] $\epsilon-\delta-x_0$-Definition [/mm] äquivalent ist!)
Und jetzt denke nochmal drüber nach...
Beispiel:
$f: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm] sei durch [mm] $f(x):=|x|\,$ [/mm] definiert.
Behauptung:
Es gilt [mm] $\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.$
[/mm]
Beweis? (Probier's mal!)
P.S.
Dass für $g(x):=x$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] dann
[mm] $$\lim_{x \to x_0}g(x)=x_0$$
[/mm]
gilt, ist trivial (wenn's das für Dich nicht ist, rechne es mit obiger Definition nach). Man sieht sogar, dass
[mm] $$\lim_{x \to x_0}g(x)=x_0=g(x_0)$$
[/mm]
ist - und daraus folgt sofort, dass die Funktion auch stetig ist.
P.P.S.
Der Funktionsgrenzwert an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] kann auch existieren, wenn die Funktion dort unstetig ist. Betrachte etwa [mm] $h(x):=x\,$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] mit [mm] $h(0):=e^{2064}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Mo 12.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Mit der Definiton 10.4 kann ich leider nichts anfangen, [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] hatten wir nur in Verbidnung mit der Stetigkeit und da lautet diese:
Zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] ex. ein [mm] \delta>0 [/mm] derart, dass gilt:
[mm] |f(z)-f(a)|<\epsilon [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] D mit [mm] |z-a|<\delta
[/mm]
Und den passenden Satz dazu zum Thema Häufungspunkt:
1. Sei [mm] a\in [/mm] D kein Häufunspunkt, dann ist f stetig in a.
2. Sei a ein Häufungspunkt in D so ist f stetig im Punkt a, wenn gilt [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x)=f(a)
Geht es darum? Kann gerade nicht folgen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mit der Definiton 10.4 kann ich leider nichts anfangen,
warum nicht? Verstehst Du sie nicht? Ich meine die aus dem Skript! Ansonsten: Heuser, Analysis I. Stichwort "Grenzwerte von Funktionen" nachschlagen!
> [mm]\epsilon[/mm] und [mm]\delta[/mm] hatten wir nur in Verbidnung mit der
> Stetigkeit und da lautet diese:
>
> Zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ex. ein [mm]\delta>0[/mm] derart, dass gilt:
>
> [mm]|f(z)-f(a)|<\epsilon[/mm] für alle z [mm]\in[/mm] D mit [mm]|z-a|<\delta[/mm]
Das ist die Definition der Stetigkeit einer Funktion im Punkt [mm] $a\,.$ [/mm] Sie hängt mit dem Funktionsgrenzwert zusammen, aber das ist nicht genau das selbe (warum sollte man sonst zweimal die gleichen Sachen definieren, nur, um sie unterschiedlich zu benennen?)!
> Und den passenden Satz dazu zum Thema Häufungspunkt:
>
> 1. Sei [mm]a\in[/mm] D kein Häufunspunkt, dann ist f stetig in a.
Dieser Teil des Satzes besagt, dass Funktionen an isolierten Stellen stets stetig sind!
> 2. Sei a ein Häufungspunkt in D so ist f stetig im Punkt
> a, wenn gilt [mm]\limes_{x\rightarrow a}[/mm] f(x)=f(a)
Dieser Teil besagt, dass, wenn der Funktionsgrenzwert (existiert und) mit [mm] $f(a)\,$ [/mm] übereinstimmt, dann [mm] $f\,$ [/mm] auch stetig in [mm] $a\,$ [/mm] ist.
> Geht es darum? Kann gerade nicht folgen.
Du kannst den Satz oben nur verstehen, wenn Du nachschlägst, wie ihr [mm] $\lim_{x \to a}f(x)$ [/mm] definiert habt. Ich wette, dass das in Eurem Skript auch steht. Und ich bin mir ziemlich sicher, dass das in ähnlicher Weise da steht, wie ich es aufgeschrieben hatte.
Meinetwegen auch so:
Ist $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] und $a [mm] \in \IR$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $M\,,$ [/mm] wobei $a [mm] \in [/mm] M$ oder $a [mm] \notin [/mm] M$ gelten darf, und existiert ein $G [mm] \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $$\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta=\delta_{\epsilon,a} [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in M\setminus\{a\} \text{ mit }|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta: [/mm] |f(x)-G| < [mm] \epsilon\,,$$
[/mm]
so schreiben wir [mm] $\lim_{x \to a}f(x):=G$ [/mm] und nennen [mm] $\lim_{x \to a}f(x)\;\;(=G)$ [/mm] den Funktionsgrenzwert (von [mm] $f\,$) [/mm] an der Stelle [mm] $a\,.$
[/mm]
Oder ihr habt halt eine Folgendefinition, die der von mir erwähnten Definition 10.4 in dem Skript, dass ich verlinkt hatte, entspricht.
Irgendwie müsst ihr jedenfalls vorher [mm] $\lim_{x \to a}f(x)$ [/mm] definiert haben, sonst könntet ihr nicht den obigen Satz im Skript so formulieren! Also:
Suchen, und meinetwegen hier auch nochmal abschreiben, damit wir alle Euren Stand kennen (und nicht vielleicht "zu abstrakt" werden - die Definition 10.4 ist ja schon etwas abstrakter, da man dort nur mit Funktionen zwischen metrischen Räumen arbeitet)!
Und Tipp: Im Heuser nachschlagen/nachlesen ist NIE verkehrt. Er erwähnt auch stets die Dinge, die ich hier von mir aus immer betone!
P.S.
Ich habe die andere [mm] "$\epsilon-\delta-x_0$-Definition" [/mm] des Funktionengrenzwertes [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] von vorhin nochmal korrigiert. Ich hatte in der alten Faassung vergessen, $x [mm] \not=x_0$ [/mm] mitzuerwähnen... (was natürlich in dem Falle, dass [mm] $a\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $M\,,$ [/mm] der aber nicht zu [mm] $M\,$ [/mm] gehört, gewesen wäre, auch egal wäre. Aber wenn [mm] $a\,$ [/mm] ein Häufungspunkt von [mm] $M\,$ [/mm] ist UND in [mm] $M\,$ [/mm] liegt, muss man das miterwähnen...)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Di 13.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich kann nicht behaupten, dass ich als kleiner Erstsemester deine gesamte Ausführung verstanden habe, aber einiges ist mir klar.
Ich würde gerne mal zu deiner Beispielaufgabe kommen. Bzw. da hab ich direkt ein Problem, wenn ich das x gegen 0 laufen lasse, dann ist es doch offentsichtlich, dass der Betrag davon ebenfalls gegen 0 läuft und somit das ganze gleich 0 ist. Deswegen wüsste ich nichtt, wie ich das beweisen sollte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich kann nicht behaupten, dass ich als kleiner Erstsemester
> deine gesamte Ausführung verstanden habe, aber einiges ist
> mir klar.
>
> Ich würde gerne mal zu deiner Beispielaufgabe kommen. Bzw.
> da hab ich direkt ein Problem, wenn ich das x gegen 0
> laufen lasse, dann ist es doch offentsichtlich, dass der
> Betrag davon ebenfalls gegen 0 läuft und somit das ganze
> gleich 0 ist. Deswegen wüsste ich nichtt, wie ich das
> beweisen sollte.
Du beginnst mit:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Seien nun $x [mm] \in \IR \red{\setminus \{0\}}$ [/mm] und $|x-0| < [mm] \delta\,.$ [/mm] Wir lassen [mm] $\delta$ [/mm] hier noch "ungewählt", einzig mit der Eigenschaft [mm] $\delta [/mm] > 0$ (präzise sehen wir am Ende, wie wir [mm] $\delta$ [/mm] wählen können).
Dann gilt:
[mm] $$(\star)\;\;\,|f(x)-0|=|\;|x|-0\;|=|\;|x|\;|=|x|=|x-0| [/mm] < [mm] \delta\,.$$
[/mm]
Die Ungleichung in [mm] $(\star)$ [/mm] soll nun $|f(x)-0| < [mm] \epsilon$ [/mm] implizieren. Für etwa welche Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] geht das denn?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Di 13.03.2012 | | Autor: | hubbel |
[mm] (\star)\;\;\,|f(x)-0|=|\;|x|-0\;|=|\;|x|\;|=|x|=|x-0| [/mm] < [mm] \delta\,. [/mm] = |x| < [mm] \delta=|f(x)|<\delta=|f(x)-0|<\delta
[/mm]
Mit [mm] \delta [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] gilt dann:
[mm] |f(x)-0|<\epsilon
[/mm]
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Hiho,
> Mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm] gilt dann:
>
> [mm]|f(x)-0|<\epsilon[/mm]
Somit ist die Betragsfunktion stetig in Null
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > Mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm] gilt dann:
> >
> > [mm]|f(x)-0|<\epsilon[/mm]
>
>
> Somit ist die Betragsfunktion stetig in Null
wir behandeln hier gerade Funktionsgrenzwerte - bitte nicht ständig nun den Stetigkeitsbegriff reinwerfen. Dann wird der Unterschied NIE wirklich klar.
Ich hatte nicht umsonst
$$f: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR$$
[/mm]
mit $f(x):=|x|$ ($x [mm] \not=0$) [/mm] definiert. Diese Funktion hat gar keinen Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0=0\,,$ [/mm] es macht also auch keinen Sinn, zu sagen, dass sie an dieser stetig sei.
Nichtsdestotrotz gilt (man beachte, dass [mm] $0\,$ [/mm] ein HP von [mm] $(\IR \setminus \{0\}) \subseteq \IR\,,$ [/mm] also "des metrischen Raums [mm] $\IR$" [/mm] ist):
[mm] $$\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.$$
[/mm]
(Dass man [mm] $f\,$ [/mm] nun stetig ergänzen könnte... alle solche Dinge will ich hier nicht ins Spiel bringen. Erstmal muss verstanden sein, was ein Funktionsgrenzwert überhaupt ist. Und eben, dass aus der Existenz des Funktionsgrenzwertes an einer Stelle i.a. NICHT dort die Stetigkeit folgt!)
P.S.
Ich mache das deswegen hier so genau, weil laut Aufgabenblatt eine Funktion gesucht war, wo an keiner Stelle [mm] $x_0 \in [/mm] [0,1]$ deren Funktionsgrenzwert existiert. Ich habe [mm] $1_{\IQ \cap [0,1]}$ [/mm] vorgeschlagen - und auch Leduart hat schon gemeint: "Super, die Funktion ist nirgends stetig." Das ist zwar super, aber dieses Argument alleine(!!) sagt noch nicht aus, dass auch der Funktionsgrenzwert nirgends existiert... Da muss man schon mehr machen! (Umgekehrt werden wir aber wissen, dass, wenn der Funktionsgrenzwert an keiner Stelle existiert, die Funktion auch an keiner Stelle stetig sein kann!)
Nebenbei:
Auch, wenn ich oben [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] definieren, durch die Zusatzdefinition [mm] $f(0):=\sqrt{363.25}$ [/mm] setzen würde:
Auch dann wäre
[mm] $$\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.$$
[/mm]
(Und damit ist auch belegt, dass Funktionen an Unstetigkeitsstellen Funktionsgrenzwerte besitzen können!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> Auch, wenn ich oben [mm]f\,[/mm] auf [mm]\IR[/mm] definieren, durch die
> Zusatzdefinition [mm]f(0):=\sqrt{363.25}[/mm] setzen würde:
> Auch dann wäre
> [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.[/mm]
> (Und damit ist auch belegt, dass
> Funktionen an Unstetigkeitsstellen Funktionsgrenzwerte
> besitzen können!)
Du benutzt offenbar eine Definition von Funktionsgrenzwerten, für die dies zutrifft. Forster hingegen definiert in seinem Standardwerk "Analysis 1":
> Sei [mm] f\colon D\to\IR [/mm] eine reelle Funktion auf [mm] D\subset\IR [/mm] und [mm] a\in\IR [/mm] ein
> Berührpunkt von D. Man definiert [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=c, [/mm] falls für
> jede Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN}, x_n\in [/mm] D, mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a [/mm] gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.
[/mm]
Er hebt sogar extra hervor:
> Falls [mm] a\in [/mm] D, hat man in jedem Fall die konstante Folge [mm] x_n=a
[/mm]
> für alle n, so dass dann der Limes [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x) [/mm] im Falle
> der Existenz notwendig gleich f(a) ist.
Nach Forster können also Funktionen an Unstetigkeitsstellen keine Funktionsgrenzwerte besitzen.
Welche der beiden Definitionen hubbel nun lernen soll, weiß ich natürlich nicht.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Marcel,
>
> > Auch, wenn ich oben [mm]f\,[/mm] auf [mm]\IR[/mm] definieren, durch die
> > Zusatzdefinition [mm]f(0):=\sqrt{363.25}[/mm] setzen würde:
> > Auch dann wäre
> > [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.[/mm]
> > (Und damit ist auch belegt,
> dass
> > Funktionen an Unstetigkeitsstellen Funktionsgrenzwerte
> > besitzen können!)
> Du benutzt offenbar eine Definition von
> Funktionsgrenzwerten, für die dies zutrifft. Forster
> hingegen definiert in seinem Standardwerk "Analysis 1":
>
> > Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> und [mm]a\in\IR[/mm] ein
> > Berührpunkt von D. Man definiert [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
> falls für
> > jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D, mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm]
>
> Er hebt sogar extra hervor:
>
> > Falls [mm]a\in[/mm] D, hat man in jedem Fall die konstante Folge
> [mm]x_n=a[/mm]
> > für alle n, so dass dann der Limes [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)[/mm]
> im Falle
> > der Existenz notwendig gleich f(a) ist.
In der Tat. Okay, ich kannte bisher nur die Definition, die mir im Studium begegnet ist, und die auch mit der aus Heuser, Analysis I, in Einklang steht. Warum Forster das hier so macht, weiß ich nicht. Was "Standard" ist: Da will ich mich auch nicht zu weit aus dem Fenster lehnen.
Man kann sich auch drum streiten, ob in einem (oder jeden) der beiden Bücher nun ein Kommentar dazugeschrieben werden sollte, dass es auch andere Definitionen gibt (verkehrt finde ich das nicht - aber irgendwann kann man auch sagen: Jeder hat irgendwie seine eigenen Definitionen!)
> Nach Forster können also Funktionen an
> Unstetigkeitsstellen keine Funktionsgrenzwerte besitzen.
>
> Welche der beiden Definitionen hubbel nun lernen soll,
> weiß ich natürlich nicht.
Aber eben: Das kann nur hubbel beantworten - indem er es mal nachschlägt und uns mitteilt.
Ich hege dennoch die wage Vermutung, dass die Definition, an die er sich orientieren soll, eben mit der aus dem Heuser und nicht aus dem Forster übereinstimmt.
Denn: Er hat einen Satz zitiert, wo zuerst davon gesprochen wurde, dass Funktionen an isolierten Stellen stetig seien, und in einem zweiten Teil dann davon, wie man mithilfe von "Funktionsgrenzwerten" sonst Stetigkeit charakterisieren kann!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Man kann sich auch drum streiten, ob in einem (oder jeden)
> der beiden Bücher nun ein Kommentar dazugeschrieben werden
> sollte, dass es auch andere Definitionen gibt (verkehrt
> finde ich das nicht - aber irgendwann kann man auch sagen:
> Jeder hat irgendwie seine eigenen Definitionen!)
Wäre ich dafür!
> > Welche der beiden Definitionen hubbel nun lernen soll,
> > weiß ich natürlich nicht.
>
> Aber eben: Das kann nur hubbel beantworten - indem er es
> mal nachschlägt und uns mitteilt.
>
> Ich hege dennoch die wage Vermutung, dass die Definition,
> an die er sich orientieren soll, eben mit der aus dem
> Heuser und nicht aus dem Forster übereinstimmt.
>
> Denn: Er hat einen Satz zitiert, wo zuerst davon gesprochen
> wurde, dass Funktionen an isolierten Stellen stetig seien,
> und in einem zweiten Teil dann davon, wie man mithilfe von
> "Funktionsgrenzwerten" sonst Stetigkeit charakterisieren
> kann!
Das scheint mir eine überzeugende Begründung zu sein, dass hubbels Definitionen zu Heusers/deinen passen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:14 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
>
> > Auch, wenn ich oben [mm]f\,[/mm] auf [mm]\IR[/mm] definieren, durch die
> > Zusatzdefinition [mm]f(0):=\sqrt{363.25}[/mm] setzen würde:
> > Auch dann wäre
> > [mm]\lim_{x \to 0}f(x)=0\,.[/mm]
> > (Und damit ist auch belegt,
> dass
> > Funktionen an Unstetigkeitsstellen Funktionsgrenzwerte
> > besitzen können!)
> Du benutzt offenbar eine Definition von
> Funktionsgrenzwerten, für die dies zutrifft. Forster
> hingegen definiert in seinem Standardwerk "Analysis 1":
>
> > Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> und [mm]a\in\IR[/mm] ein
> > Berührpunkt von D. Man definiert [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
> falls für
> > jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D, mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm]
>
> Er hebt sogar extra hervor:
>
> > Falls [mm]a\in[/mm] D, hat man in jedem Fall die konstante Folge
> [mm]x_n=a[/mm]
> > für alle n, so dass dann der Limes [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)[/mm]
> im Falle
> > der Existenz notwendig gleich f(a) ist.
>
> Nach Forster können also Funktionen an
> Unstetigkeitsstellen keine Funktionsgrenzwerte besitzen.
UUha, uuha, ich lach mich tot.
Die Def. von Forster halte ich für groben Unfug. Auch kenne ich sonst niemanden der das so definiert !
Eine winzig kleine, aber enscheidende, Änderung und man hat etwas vernünftiges:
Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm] und [mm]a\in\IR[/mm] ein zBerührpunkt Häufungspunkt von D. Man definiert
[mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
falls für jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D [mm] \setminus \{a\}, [/mm] mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm].
FRED
>
> Welche der beiden Definitionen hubbel nun lernen soll,
> weiß ich natürlich nicht.
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 14.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
nur eine Kleinigkeit:
> Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> und [mm]a\in\IR[/mm] ein Berührpunkt von D. Man definiert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
>
> falls für jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D [mm]\setminus \{a\},[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm].
Bei dieser Definition soll doch sicherlich a nicht nur Berührpunkt, sondern Häufungspunkt von D sein, oder? Sonst könnte es möglicherweise keine Folge [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] x_n\in D\setminus\{a\} [/mm] geben, so dass die Funktion an der Stelle a jede reelle Zahl c als Grenzwert hätte.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 Mi 14.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> nur eine Kleinigkeit:
>
> > Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> > und [mm]a\in\IR[/mm] ein Berührpunkt von D. Man definiert
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
> >
> > falls für jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D [mm]\setminus \{a\},[/mm]
> > mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm].
> Bei dieser Definition soll doch sicherlich a nicht nur
> Berührpunkt, sondern Häufungspunkt von D sein, oder?
Du hast recht, hab beim Kopieren nicht aufgepasst.
FRED
> Sonst könnte es möglicherweise keine Folge
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] mit [mm]x_n\in D\setminus\{a\}[/mm] geben, so dass
> die Funktion an der Stelle a jede reelle Zahl c als
> Grenzwert hätte.
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Du benutzt offenbar eine Definition von
> > Funktionsgrenzwerten, für die dies zutrifft. Forster
> > hingegen definiert in seinem Standardwerk "Analysis 1":
> >
> > > Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> > und [mm]a\in\IR[/mm] ein
> > > Berührpunkt von D. Man definiert
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
> > falls für
> > > jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D, mit
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm]
> >
> > Er hebt sogar extra hervor:
> >
> > > Falls [mm]a\in[/mm] D, hat man in jedem Fall die konstante Folge
> > [mm]x_n=a[/mm]
> > > für alle n, so dass dann der Limes
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)[/mm]
> > im Falle
> > > der Existenz notwendig gleich f(a) ist.
> >
> > Nach Forster können also Funktionen an
> > Unstetigkeitsstellen keine Funktionsgrenzwerte besitzen.
>
> UUha, uuha, ich lach mich tot.
das ist jetzt ein wenig übertrieben ^^
> Die Def. von Forster halte ich für groben Unfug. Auch
> kenne ich sonst niemanden der das so definiert !
Laut Wiki (such' mal nach "Grenzwerten von Funktionen") ist das anscheinend "eine moderne alternative Definition" (die natürlich nicht äquivalent zur "gängigen" (?) ist).
Sie hat sicher einige kleine Vorteile. Aber so gefühlsmäßig würde ich sagen, dass sie zwar sicher den ein oder anderen Satz "schöner/kürzer" erscheinen läßt, aber wenn ich so durch die Analysis gehe: Viele andere müßten dann umformuliert werden.
> Eine winzig kleine, aber enscheidende, Änderung und man
> hat etwas vernünftiges:
>
> Sei [mm]f\colon D\to\IR[/mm] eine reelle Funktion auf [mm]D\subset\IR[/mm]
> und [mm]a\in\IR[/mm] ein zBerührpunkt Häufungspunkt von D. Man
> definiert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow a}f(x)=c,[/mm]
>
> falls für jede Folge [mm](x_n)_{n\in\IN}, x_n\in[/mm] D [mm]\setminus \{a\},[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_n=a[/mm] gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c.[/mm].
So hätte ich das auch gemacht, bzw. so habe ich das allg. für metrische Räume kennengelernt. Ich finde auch nach wie vor, dass diese Definition "vernünftiger" ist.
Aber gut: Forster kann definieren, was er will und wie er es will. Auch, wenn das nicht den "üblichen Konventionen" entspricht. Wenn Du Dir aber sicher bist, dass die Definition vom Forster eher eine Ausnahme ist, dann kann man Forster wenigstens einen Vorwurf machen:
Er hätte definitiv dazuschreiben sollen, dass das eine "eigene" Definition ist und man in der Literatur oft eine andere findet, die mit seiner nicht äquivalent ist - also nicht übereinstimmt. Schon rein aus didaktischen Gründen.
Es ist ja auch nicht schön, wenn der Analysis Prof. die "übliche" Definition des Funktionsgrenzwertes benutzt, und dann ein anderer Prof., weil er sich halt auf den Forster bezieht, auch von Funktionsgrenzwerten spricht, und dabei aber eine "spezielle" meint. Das sorgt doch nur für Verwirrung. Und ein anderer Prof., der jetzt vll. nicht so wirklich auf Analysis spezialisiert ist, merkt vll. gar nicht, dass er da was "spezielles" benutzt - also wird er das seinen Studentinnen und Studenten gar nicht mitteilen. Und plötzlich hört man dann bei dem einen Prof., dass auch an Unstetigkeitsstellen Funktionsgrenzwerte vorhanden sein können, bei dem anderen kurz später, dass das eben nicht so geht. Bis vielleicht mal - mit viel Glück - eine kluge Studentin/ein kluger Student nachfragen geht und merkt: "Hey, die benutzen für den selben Begriff nicht äquivalente Definitionen...."
Sowas muss nicht sein!!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 13.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm](\star)\;\;\,|f(x)-0|=|\;|x|-0\;|=|\;|x|\;|=|x|=|x-0|[/mm] < [mm]\delta\,.[/mm]
> = |x| < [mm]\delta=|f(x)|<\delta=|f(x)-0|<\delta[/mm]
Da steht ja völliger Murks !
Ansonsten, denke ich, meinst Du das richtige.
FRED
>
> Mit [mm]\delta[/mm] = [mm]\epsilon[/mm] gilt dann:
>
> [mm]|f(x)-0|<\epsilon[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Di 13.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Gut, ich denke ich weiß nun Bescheid, danke.
Jetzt zur (iii):
Du hast ja die Funktion [mm] f_n(x)=x^n
[/mm]
Was spielt dieses n für eine Rolle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, ich denke ich weiß nun Bescheid, danke.
>
> Jetzt zur (iii):
>
> Du hast ja die Funktion [mm]f_n(x)=x^n[/mm]
>
> Was spielt dieses n für eine Rolle?
plotte Dir mal ein paar Graphen (für ausgewählte [mm] $n\,$). [/mm] Du "wirst sehen":
Alle [mm] $f_n\,$ [/mm] sind stetig. Dann wirst Du sehen:
Für $x [mm] \in [/mm] [0,1)$ "liegt jeder Funktionswert [mm] $f_n(x)$ [/mm] näher als [mm] $f_m(x)$ [/mm] an [mm] $0\,,$ [/mm] wenn $n > m$". Und die [mm] $f_n(x)$ [/mm] laufen auch alle auf die 0 zu (bei festgehaltenem [mm] $x\,$ [/mm] und wachsendem [mm] $n\,$).
[/mm]
Das gibt anschaulisch die Intuition, dass [mm] $f_n(x) \to [/mm] 0$ für $n [mm] \to 0\,,$ [/mm] wenn $x [mm] \in [0,1)\,$ [/mm] fest. (Es ist nicht schwer, das formal zu beweisen!)
Aber alle [mm] $f_n$ [/mm] erfüllen [mm] $f_n(1)=1\,.$ [/mm] Also ist die punktweise Grenzfunktion
[mm] $f(x):=0\,$ [/mm] für $x [mm] \in [0,1)\,$ [/mm] mit [mm] $f(1):=1\,.$
[/mm]
Jetzt nimm' an, [mm] $(f_n)$ [/mm] wäre auch glm. konvergent. Was muss dann zwangsläufig die "glm. Grenzfunktion" sein, und warum?
Warum kann dann aber [mm] $(f_n)\,$ [/mm] doch nicht glm. konvergieren? (Es gibt einen Satz, der so etwas aussagt: Falls eine Folge stetiger Funktion [mm] $f_n$ [/mm] gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, so hat auch die Grenzfunktion (welche? Die pktw. oder die glm.? Oder ist das egal? ) eine bestimmte Eigenschaft! Welche?)
P.S.
Tipp:
Obiges [mm] $f\,$ [/mm] ist (linksseitig) unstetig in [mm] $x_0=1$!
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 13.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, punktweise bedeutet hier also, dass alle Funktion die man gegen 1 laufen lässt gegen 1 konvergieren, da in jedem Fall [mm] f_n(1)=1. [/mm] Das sehe ich ein, aber die glm. Stetigkeit verstehe ich nicht, die Definition ist ja, dass zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit x,y [mm] \in [/mm] D ex., dass die Implikation gilt: [mm] |x-y|<\delta [/mm] => [mm] |f(x)-f(y)|<\epsilon
[/mm]
Wie würde ich zeigen, dass die nicht gilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Di 13.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verstehe, punktweise bedeutet hier also, dass alle Funktion
> die man gegen 1 laufen lässt gegen 1 konvergieren, da in
> jedem Fall [mm]f_n(1)=1.[/mm]
ohje, ich weiß, was Du meinst, aber Du drückst Dich nicht mathematisch aus. Du kannst sagen
"Für alle Funktionen ist [mm] $f_n(1)=1\,,$ [/mm] daher konvergiert die
Funktionenfolge an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] auch gegen [mm] $1\,.$"
[/mm]
oder kurz
"Es gilt [mm] $f_n(1)=1 \to [/mm] 1$"
oder sowas. Aber was bedeutet das denn inhaltlich, wenn Du sagst, dass alle Funktionen, die man gegen 1 laufen läßt, gegen 1 laufen? Was sind denn überhaupt "Funktionen, die gegen 1 laufen"? Sind das Funktionen, die gegen die Funktion, die konstant 1 ist, laufen? Also bitte: Achte darauf, dass Deine Worte auch das wiedergeben, was Du sagen willst!
> Das sehe ich ein, aber die glm.
> Stetigkeit verstehe ich nicht, die Definition ist ja, dass
> zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 mit x,y [mm]\in[/mm] D ex.,
so existiert
> dass die Implikation gilt:
[mm] $\blue{x,y \in D}$ [/mm] und
> [mm]|x-y|<\delta[/mm] =>
> [mm]|f(x)-f(y)|<\epsilon[/mm]
>
> Wie würde ich zeigen, dass die nicht gilt?
Das stimmt zwar, ABER:
Es geht doch nicht um glm. Stetigkeit, sondern um glm. Konvergenz!
Entweder suchst Du nach dem Satz, den ich Dir (unvollständig) erzählt habe, und folgerst dann:
Weil alle [mm] $f_n$ [/mm] stetig sind, müßte die (pktw.) Grenzfunktion, falls [mm] $(f_n)$ [/mm] auch glm. konvergiere, auch ... (anstelle der Pünktchen: hier ist von Dir die zu ergänzende Eigenschaft hinzuschreiben!) sein. Aber die Grenzfunktion ist durch [mm] $f(x):=0\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1)\,$ [/mm] und [mm] $f(1):=1\,$ [/mm] gegeben und damit offenbar un... an der Stelle [mm] $x_0=1\,.$
[/mm]
Man kann hier auch mit einem (jeden) [mm] "$\epsilon$-Schlauch" ($\epsilon [/mm] > 0$) um die pktw. Grenzfunktion argumentieren. Dann wirst Du sehen, weil dieser Schauch quasi an der Stelle [mm] $1\,$ [/mm] "zerrissen" ist, aber alle Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] "nahe bei der 1 wegen der Stetigkeit 'steil' werden " (also die Graphen), dass der [mm] $\epsilon$-Schlauch [/mm] um obiges [mm] $f\,,$ [/mm] egal, welches [mm] $n\,$ [/mm] wir hernehmen, von [mm] $f_n$ [/mm] "durchbrochen wird" (für o.E. $0 < [mm] \epsilon [/mm] < 1$ fest!). Je größer das [mm] $n\,,$ [/mm] desto 'näher' müssen wir zwar mit dem $x [mm] \in [0,1)\,$ [/mm] an die [mm] $1\,$ [/mm] gehen, aber wenn wir das tun, "sehen wir das" .
Mehr dazu kannst Du auch
in diesem Artikel/dieser Diskussion
etwa nochmal nachlesen.
Nochmal:
Bitte beachte, dass es hier nicht um die (Nicht-)glm. Stetigkeit einer Funktion, sondern um die (Nicht-)glm. Konvergenz einer FUNKTIONENFOLGE geht!
In der Definition der glm. Konvergenz steht sowas drin wie:
"Für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ und alle $x [mm] \in D_f=D_{f_n}$ [/mm] folgt... "
Bei der Verneinung hast Du also ein [mm] "Ausnahme-$\epsilon_0$" [/mm] zu finden. Oder Du machst es etwa so:
Angenommen, die auf $[0,1]$ definierten [mm] $f_n(x):=x^n$ [/mm] würden doch glm. gegen die pktw. Grenzfunktion [mm] $f\,$ [/mm] (wie die pktw. Grenzfunktion aussieht, falls Du es vergessen hast: siehe andere Antwort(en)) konvergieren. Insbesondere müßte es dann zu [mm] $\epsilon=1/2$ [/mm] ein [mm] $N\,$ [/mm] so geben, dass [mm] $|f_n(x)-f(x)|=f_n(x) [/mm] < [mm] \epsilon=1/2$ [/mm] für alle $x [mm] \in [0,1)\,$ [/mm] UND alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.
Für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] ist aber [mm] $x_m:=(1/2)^{1/m} \in [0,1)\,$ [/mm] und es gilt [mm] $f_m(x_m)=...\,,$ [/mm] und das zeigt...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Gleichmäßig konvervent hatten wir so gar nicht, hab das gesamte Skript durch, aber nichts dazu gefunden. Habe das mit der glm. Stetigkeit verwechselt, sorry.
Bin mir nicht ganz sicher, ob ich es verstanden habe, deswegen mal eine kurze Frage, für mich wäre [mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] glm. konvergent wenn x gegen unendlich läuft, stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mi 14.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
glm konvergent ist nie eine Funktion, sondern eine Funktionenfolge.
eine Funktion kann nur gleichmäsig stetig sein.
z.B ist f(x)=1/x glm. stetig auf [mm] [a,\infty) [/mm] a>0.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, belassen wir es jetzt erstmal dabei.
Jetzt noch zur (iv):
Eine Funktion ist doch nur Integrierbar, wenn sie auch diffbar ist und damit sie diffbar ist, muss sie stetig sein, ist dies dann nicht ein Widerspruch zu der Aufgabe? Oder bezieht sich Riemann-integerierbar nur auf das Verfahren mit der Ober- bzw. Untersumme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Mi 14.03.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist falsch, dass nur differenzierbare Funktionen integrierbar sind, alle stetigen Funktionen sind integrierbar, aber auch viele nicht stetige! Integrierbar sind alle fkt. in denen die Differenz der OS und US gegen 0 geht bei feinerer Unterteilung.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
In dem Beispiel ist jetzt die Signumfunktion genannt, dass sie nicht stetig ist, verstehe ich, aber was wäre denn die Stammfunktion?
Würde ich einfach die Funktion f(x)=1, 0, -1 annehmen und davon dann die Stammfunktion bilden oder wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:12 Mi 14.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
> In dem Beispiel ist jetzt die Signumfunktion genannt, dass
> sie nicht stetig ist, verstehe ich, aber was wäre denn die
> Stammfunktion?
Die Signumsfunktion [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] hat keine Stammfunktion! Riemann-Integrierbarkeit und Existenz einer Stammfunktion sind NICHT gleichbedeutend.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In dem Beispiel ist jetzt die Signumfunktion genannt, dass
> sie nicht stetig ist, verstehe ich, aber was wäre denn die
> Stammfunktion?
>
> Würde ich einfach die Funktion f(x)=1, 0, -1 annehmen
was ist denn das für eine Funktion? Du meinst etwa $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit
[mm] $$f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x > 0 \\ 0, & \mbox{für } x=0\\-1, &\text{für }x <0\end{cases}\,.$$
[/mm]
> und
> davon dann die Stammfunktion bilden oder wie?
Definition Heuser, Analysis 1 (nicht wörtlich zitiert, aber kurz und sinngemäß):
"Eine Funktion $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] heißt Riemann-integrierbar, wenn jede ihrer Riemannfolgen gegen einen - und damit einen einzigen - Grenzwert konvergiert."
Jetzt sagst Du vll.: "Was sind denn Riemannfolgen?" Dann sage ich: "Steht doch im Heuser." Dann Du: "In meinem Skript steht das aber anders..."
Dann ich: "Was steht denn da?" Dann Du: "Da steht: ...."
Und siehst Du: Diese Prozedur können wir uns ersparen: Schlag' nach, wie ihr die Riemann-Integrierbarkeit definiert habt, teil uns das mit. Und sage, welche Sätze ihr gelernt habt. Dann geht das schneller (ist doch auch in Deinem Sinne - die Prüfung kommt ja schon bald auf Dich zu!). Und es bringt DIR mehr!!
P.S.
In der Aufgabe iv) muss man strenggenommen mit der Signumfunktion sagen:
Wir betrachten [mm] $\text{sign}_{|\;[0,1]}$ [/mm] ("Glücklicherweise" ist diese so eingeschränkte Funktion dann immer noch unstetig an einer Stelle, nämlich an [mm] $0\,$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
http://www.myimg.de/?img=riemannd4c58.jpg
Diese Definition haben wir und ich kann eigentlich nichts damit anfangen, ich verstehe sie schlicht und ergreifend nicht, wäre klasse, wenn du da ansetzen könntest, es geht schon direkt ab dem "sup{...}" los...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> http://www.myimg.de/?img=riemannd4c58.jpg
>
> Diese Definition haben wir und ich kann eigentlich nichts
> damit anfangen, ich verstehe sie schlicht und ergreifend
> nicht, wäre klasse, wenn du da ansetzen könntest, es geht
> schon direkt ab dem "sup{...}" los...
moment, erstmal was anderes bzgl. Eures Skripts:
In 18.1 Definition wird definitiv die glm. Kgz. einer Funktionenfolge definiert. In 15.2 wird diesbezüglich [mm] $\|.\|_\infty$ [/mm] definiert (damit Du das nicht auch noch suchst). In Definition 2.12 steht die Definition des Begriffs Supremum!!
Übrigens ist das Skript auf den ersten Blick schon sehr gut - es ist auch ein wenig ähnlich dem Skript, dass ich verlinkt hatte (die Begriffe findest Du dort auch, ich glaube sogar, dass Du besser dort mal nach [mm] $\|.\|_\infty\,,$ [/mm] im Kapitel 15 ist das , glaube ich, nachguckst, weil da ein wenig mehr dazu steht).
Tipp: Meist findet der Acrobat Reader Wörter mit Umlauten nicht. Um schnell "gleichmäßige Konvergenz" in Eurem Skript zu finden, habe ich einfach nur nach "gleichm" (ohne Anführungszeichen!) gesucht.
Nun zur Definition:
Bleiben wir erstmal bei der Definiton des "Unterintegrals". Schau' in Definition 15.6, dort steht, wie $U(f, [mm] Z)\,$ [/mm] für eine konkrete Zerlegung von [mm] $I\,$ [/mm] definiert ist (unten im P.S. auch noch etwas anderes zu [mm] $U(f,Z)\,$). [/mm] Nun kannst Du ein Intervall [mm] $I\,$ [/mm] ja auf viele Arten und Weisen zerlegen. Etwa äquidistant für variierende [mm] $n\,$, [/mm] oder oder oder...
Nebenbei: In 15.4 wird der Begriff der Feinheit einer Zerlegung definiert. Das ist quasi "der maximale Abstand zweier aufeinanderfolgender Zahlen aus der Zerlegung". Das muss Dir schonmal klar sein:
Ist etwa [mm] $Z=\{0,1/16,1/4,3/4,1\}\,,$ [/mm] das ist eine mögliche (mehr ider weniger "willkürliche"!) Zerlegung von [mm] $[0,1]\,,$ [/mm] dann hat dieses [mm] $Z\,$ [/mm] die Feinheit [mm] $3/4-1/4=2/4=1/2\,.$
[/mm]
Nun kann man ein Intervall auf viele Weisen "zerlegen". Man kann i.a. noch nichtmal abzählen, wieviele Zerlegungen es gibt: Es gibt jedenfalls i.a. unendlich viele "Zerlegungsmöglichkeiten".
Für jede Zerlegung [mm] $Z\,$ [/mm] von [mm] $I\,$ [/mm] (bzgl. [mm] $f\,$) [/mm] haben wir nun einen Wert gemäß der Definition [mm] $U(f,Z)\,.$ [/mm] Alle diese Werte schmeißen wir nun in eine Menge
[mm] $$M:=\{U(f,Z): Z \text{ Zerlegung von }I\}\,.$$
[/mm]
Wir können nicht erwarten, dass [mm] $M\,$ [/mm] endlich ist (i.a. ist zu erwarten, dass [mm] $M\,$ [/mm] noch nichtmal abzählbar ist).
Aber:
Es gilt sicher $M [mm] \subseteq \IR\,.$ [/mm] (Warum?) Außerdem kann man eine triviale Zerlegung von [mm] $I\,$ [/mm] angeben und für diese dann $U(f,Z)$ angeben, so dass man $M [mm] \not= \emptyset$ [/mm] einsieht, weil man wenigstens diese eine relle Zahl in [mm] $M\,$ [/mm] findet.
Weil [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt ist, ist [mm] $M\,$ [/mm] nach oben beschränkt. Gemäß 2.16 Hauptsatz (beachte 2.15 Definition) existiert daher [mm] $\text{sup}(M)\,.$ [/mm] Und dieses heißt dan halt das Unterintegral.
Tipp:
Zerlege mal für [mm] $f(x):=x\,$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [0,1]$) das Intervall [mm] $I=[0,1]\,$ [/mm] in [mm] $n\,$ [/mm] gleiche Teile, diese Zerlegungen sollen [mm] $Z_n^{\text{äquid.}}$ [/mm] heißen, und schreibe Dir [mm] $U(f,Z)=U(f,Z_n^{\text{äquid.}})$ [/mm] mal hin für
[mm] $n=2\,,$
[/mm]
[mm] $n=10\,,$
[/mm]
[mm] $n=20\,.$ [/mm]
Diese drei Werte [mm] $U_n:=U(f,Z_n^{\text{äquid.}})$ [/mm] ($n=2,10,20$) gehören schonmal zu obiger Menge [mm] $M=M(f)\,.$ [/mm]
Du "siehst schon etwa", was [mm] $U_n$ [/mm] macht (es ist leicht, nachzuweisen, dass [mm] $Z_n\,$ [/mm] immer feiner wird mit wachsendem [mm] $n\,$) [/mm] - meinetwegen schreibe Dir irgendein Programm und lasse Dir die ersten 100 [mm] $U_n\,$ [/mm] ausgeben.
Und ein weiterer Tipp:
Um zu verstehen, wie das ganze geometrisch Zustandegekommen ist:
Zeichne Dir mal die zu [mm] $U(f,Z_n)$ [/mm] zugehörigen Rechtecke ein (für jedes [mm] $n\,$ [/mm] eine neue Zeichnung!).
In dem Bild über 15.7 Beispiele siehst Du auch solche: Die einen beziehen sich auf die Obersumme, die anderen auf die Untersumme (der entsprechend dargestellten Zerlegung).
Damit haben wir zum einen einen geometrische Motivation des Unterintegrals, und zum anderen habe ich oben ziemlich ausführlich die "Existenz mit rein arithmetischen Mitteln" (ohne Anschauung!) begründet.
Anders gesagt:
Die Definition kann man durchaus anschaulisch mit diesen Rechtecken motivieren, und dann schreibt man halt für eine Zerlegung die Summe der Flächeninhalte hin, und erhält halt für $U(f,Z)$ das, wie es definiert ist. Nun will man mit diesen Rechtecken den Flächeninhalt "möglichst gut erfassen" (achja: nebenbei: bei der geometrischen Motivation bleiben wir mit [mm] $f\,$ [/mm] am besten etwa im ersten Quadranten, damit wir nicht schon Vorzeichen mitbeschreiben müssen), also muss man solche Rechtecksummen für alle möglichen Zerlegungen zusammenschmeißen, ich habe diese [mm] $U(f,Z)\,$ [/mm] in [mm] $M\,$ [/mm] geschmissen. Nun hat nicht jedes $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Maximum, aber wir haben festgestellt, dass dieses [mm] $M\,$ [/mm] oben wirklich auch ein Supremum hat. "Erwarten" würde man, dass bei "möglichst feiner Zerlegung" die entsprechende Untersumme der entsprechenden Rechtecke möglichst gut an die Fläche unter [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $I\,$ [/mm] rankommt. Irgendwie: Wenn ich eine Zerlegung [mm] $Z\,$ [/mm] habe, und $Z'$ eine noch feinere ist (also nach 15.4.2 $Z [mm] \subseteq Z'\,,$ [/mm] was auch "der Anschauung von Verfeinerung entspricht" (man nimmt neue Stellen dazu!)), dann sollte $U(f,Z') [mm] \ge [/mm] U(f,Z)$ sein, weil "die neuen Rechtecke nicht 'so weit' von [mm] $f\,$ [/mm] weg sein können. Dass, was man geometrisch erwartet, wird in 15.8 Hilfssatz bei Euch formuliert und bewiesen. (Die erste Ungleichung in [mm] $(\star)$.)
[/mm]
So, alles ein bisschen viel. Aber die geometrische Idee ist nicht schwer, zu verstehen. Wie gesagt: Mit Kreide und Tafel oder Bleistift und Papier würde ich das alles geometrisch viel schneller und deutlicher rüberbringen können.
Das, was sich dann aus der Anschauung ergibt, quasi entsprechend nochmal formal hinschreiben und Dir dann erklären, warum das dann auch sinnvoll definiert ist, was dann da steht.
Damit wäre erstmal motiviert, wie dieses Unterintegral zustandekommt und wieso es so, wie es definiert wurde, auch sinnvoll definiert ist. (Wichtig ist dabei, die Existenz des Supremums über [mm] $M\,$ [/mm] gesichert zu haben!)
P.S.
Warum in der Definition von $U(f,Z)$ rechterhand auch bei den Summanden sowas wie [mm] $\sup_{I_k}f=\sup\{f(x): x \in I_k\}$ [/mm] stehen muss und man nicht einfach nur [mm] $\max$ [/mm] schreiben kann, kannst Du Dir etwa so klarmachen:
Sei [mm] $I_k=[a_k,b_k]$ [/mm] mit [mm] $a_k [/mm] < [mm] b_k\,.$ [/mm] Was ist dann, wenn [mm] $f(a_k)=f(b_k)=0\,$ [/mm] und ansonsten [mm] $f(x):=\left|x-\frac{a_k+b_k}{2}\right|\,$ [/mm] ($x [mm] \in ]a_k,b_k[$) [/mm] wäre?
Das zeigt schonmal, dass dort i.a. nicht einfach nur [mm] $\max$ [/mm] stehen darf.
Dass [mm] $\sup_{I_k}f$ [/mm] existiert, folgt hier,weil wegen [mm] $I_k \not=\emptyset$ [/mm] dann auch [mm] $f(I_k) \not=\emptyset$ [/mm] gilt, und wegen [mm] $I_k \subseteq [/mm] I$ und weil [mm] $f(I)\,$ [/mm] beschränkt ist, ist [mm] $f(I_k)$ [/mm] auch beschränkt.
So, viele Infos auf einmal. Dass musst Du sicher erstmal verdauen ^^
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
In Kapitel 18 kommt das vor? Hätte ich mir ja denken können, habe ich mir nicht angeschaut, da es nicht wirklich Klausurrelevant war, bis auf die Definitionen, so kann's passieren. In Zukunft besser aufpassen.
Wie kommst du auf die Feinheit 1/2? Ich hätte ja auch genauso 1-3/4=1/4 hernehmen können, wieso ausgrechnet 3/4-1/4?
In dieser besagten Klammer ("sup{U(f,Z)...}") berechne ich also erstmal die Untersumme mit der passenden Zerlegung und was mache ich anschließend? Sagen wir, wir haben einen konkreten Wert raus, was genau stellt das Supremum dann damit an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In Kapitel 18 kommt das vor? Hätte ich mir ja denken
> können, habe ich mir nicht angeschaut, da es nicht
> wirklich Klausurrelevant war, bis auf die Definitionen, so
> kann's passieren. In Zukunft besser aufpassen.
>
> Wie kommst du auf die Feinheit 1/2? Ich hätte ja auch
> genauso 1-3/4=1/4 hernehmen können, wieso ausgrechnet
> 3/4-1/4?
Du lernst immer noch keine Definitionen:
15.4 Definition
Es war [mm] $Z=\{0,1/16,1/4,3/4,1\}\,,$ [/mm] also ist [mm] $Z=\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4\}$ [/mm] mit [mm] $x_0=0\,,$ $x_1=1/16\,,$ $x_2=1/4\,,$ $x_3=3/4$ [/mm] und [mm] $x_4=1\,.$ [/mm] Bevor Du nun fragst: Die [mm] $x_i$ ($i=0,1,2,3,4\,$) [/mm] sind eindeutig bestimmt. Das ergibt sich in 15.4 Definition aus "Man schreibt [mm] $Z=\{...\}$ [/mm] mit $...< ...< [mm] ...\,$".
[/mm]
PER DEFINITIONEM ist hier [mm] $\delta(Z):= \max_{k=1,...,4} (x_k-x_{k-1})=\max\{x_k-x_{k-1}: k=1,2,3,4\}=\max [/mm] T$
mit
[mm] $$T:=\{x_k-x_{k-1}: k=1,2,3,4\}\,.$$
[/mm]
(Allgemein: ist [mm] $Z=\{x_0,...,x_n\}$ [/mm] eine Zerlegung und ist [mm] $T=T_n:=\{x_k-x_{k-1}: k=1,\ldots,n\}\,,$ [/mm] so gilt $T [mm] \subseteq [0,\infty)\,.$ [/mm] Warum?)
Wie sieht also [mm] $T\,$ [/mm] aus? Es ist
[mm] $$T=\{x_1-x_0,\;x_2-x_1,\;x_3-x_2,\;x_4-x_3\}=\{1/16-0,\;1/4-1/16,\;3/4-1/4,\;1-3/4\}=\{1/16,\;3/16,\;1/2,\;1/4\}\,.$$
[/mm]
Und nun: Was ist [mm] $\max [/mm] T$? Glaubst Du immer noch an Deine kühne Behauptung, dass [mm] $\delta(Z)=\max [/mm] T$ auch [mm] $1/4\,$ [/mm] sein könnte?
> In dieser besagten Klammer ("sup{U(f,Z)...}") berechne ich
> also erstmal die Untersumme mit der passenden Zerlegung und
> was mache ich anschließend?
Es gibt i.a. keine passende Zerlegung. Du musst das Supremum über alle Werte aller möglichen Zerlegungen "erraten/berechnen/intuitiv erhalten und beweisen, dass es das ist/...".... Das ist eine rein abstrakte Definition, die man motivieren kann und wo die Theorie sagt, dass diese jedenfalls Sinn macht.
> Sagen wir, wir haben einen
> konkreten Wert raus, was genau stellt das Supremum dann
> damit an?
Bevor wir weitermachen: Ist Dir eigentlich klar, was ein Supremum ist? Und wozu man es braucht? Oben ist es so: Du hast, wenn Du ale Werte [mm] $U(f,Z)\,$ [/mm] für alle möglichen Zerlegungen des Intervalls [mm] $I\,$ [/mm] in eine Menge schmeißt, eine nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge von [mm] $\IR\,.$ [/mm] Diese wird i.a. kein Maximum haben (schlag' den Begriff nach, wenn Du nicht exakt weißt, was der mathematische Begriff "Maximum einer Menge" besagt - das steht in Eurem Skript (2.12 Definition)), aber sie hat etwas, was quasi "ein guter Ersatz für das Maximum ist": Sie hat ein Supremum. Und dieses Supremum, also die kleinste obere Schranke für die Menge, die aller Werte [mm] $U(f,Z)\,$ [/mm] für alle möglichen Zerlegungen von [mm] $I\,$ [/mm] enthalt, nennt man dann halt Unterintegral. (Beachte, dass das auch mit der "Anschauung" in Einklang steht:
Man "versucht, möglichst gut mit Rechtecken, die alle unterhalb des Graphen von [mm] $f\,$ [/mm] liegen, die Fläche zu approximieren, die [mm] $f\,$ [/mm] (im ersten Quadranten etwa) mit der [mm] $x\,$-Achse [/mm] einschließt!).
P.S.
Da Dir anscheinend auch elementares verlorengegangen ist:
1.) Was ist das Supremum von
[mm] $M_1:=\{2-e/\sqrt{n}: n \in \IN\}\,,$
[/mm]
[mm] $M_2:=[0,1[\,,$
[/mm]
[mm] $M_3:=\{1,10,100,50,2,3\}\,.$
[/mm]
Ist das Supremum jeweils ein Maximum?
2.) Welche der folgenden Aussagen stimmt für eine nach oben beschränkte Menge $S [mm] \subseteq \IR$:
[/mm]
a) Falls $S [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Supremum hat, dann hat [mm] $S\,$ [/mm] auch ein Maximum und das Maximum stimmt mit dem Supremum überein.
b) Falls $S [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ein Maximum hat, dann hat [mm] $S\,$ [/mm] auch ein Supremum und das Maximum stimmt mit dem Supremum überein.
3.) Welche Aussagen sind richtig, welche falsch:
a) Jede nach oben beschränkte Menge $S [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist endlich.
b) Jede nach oben beschränkte Menge $S [mm] \subseteq \IR$ [/mm] hat höchstens abzählbar viele Elemente.
c) Endliche Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] haben stets sowohl ein Maximum als auch ein Minimum, sofern sie nicht leer sind.
d) Es gibt keine beschränkten Teilmengen von [mm] $\IR\,,$ [/mm] die unendlich viele Elemente enthalten.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Mein Problem ist, wenn ich für die Untersumme einen konkreten Wert berechnet habe, ist das ein Wert, wie soll ich davon ein Supremum finden, bei einem konkreten Wert ist es doch logischerweise dieser Wert oder sehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mein Problem ist, wenn ich für die Untersumme einen
> konkreten Wert berechnet habe, ist das ein Wert, wie soll
> ich davon ein Supremum finden, bei einem konkreten Wert ist
> es doch logischerweise dieser Wert oder sehe ich das
> falsch?
es ist nicht ein konkreter Wert. Du erhältst für jede Zerlegung einen konkreten Wert. Alle diese Werte schmeißt Du in eine Menge. (Dann kann diese Menge endlich viele, abzählbar unendlich viele oder auch überbazählbar unendlich viele Elemente haben.) Und über diese letzte Menge bildest Du das Supremum (Existenz habe ich begründet!).
Du kannst doch schon für [mm] $[0,1]\,$ [/mm] abzählbar viele äquidistanten Zerlegungen angeben. Und dann kannst doch noch auf [mm] $\IR$-viele [/mm] Arten das Intervall anders zerlegen. Und für jede Zerlegung gibt's einen Wert. Das ist doch auch anschaulich etwas, was man im allg. erwartet:
Wenn ich Teilstücke unter dem Graphen "mit schmaleren Rechtecken als vorher ausfülle", andert sich die Summe über alle diese Rechtecke, die hier alle komplett unter dem Graphen liegen. Sie "werden (lokal dann) besser (als die vorher dort "breiteren Rechtecke") die Fläche, die [mm] $f\,$ [/mm] mit der [mm] $x\,$-Achse [/mm] einschließt, "wiederspiegeln" (das liegt an der "Höhe der Rechtecke" - diese steckt auch in der Definition von [mm] $U(f,Z)\,$ [/mm] jeweils mit drin - mach' Dir klar, wo!). Man "sieht" auch, dass diese "schmaleren Rechtecke" insgesamt mehr Fläche einnehmen, als die vorher dort "breiten"."
Und beachte: Das, was ich bisher erklärt habe, ist das Unterintegral. (Grob kann man das so behalten, dass man sich erinnert: "Mit immer feiner (schmaler) werdenden Rechtecken, die sich alle unter [mm] $f\,$ [/mm] befinden, wollen wir versuchen, einen Approximationswert für die Fläche, die [mm] $f\,$ [/mm] mit der [mm] $x\,$-Achse [/mm] einschließt (etwa im ersten Quadranten) zu erhalten". Das ist eigentlich der ganze Grundgedanke dieses "Unterintegrals".)
P.S.
Ich habe noch ein paar Fragen in der anderen Antwort ergänzt. Du musst nicht, kannst sie aber beantworten. Der Sinn ist, dass ich mir ein Bild machen kann, wie gut Du mit den Begriffen Maximum und Supremum umgehen kannst, und ob Du deren Unterschiede/Bedeutungen kennst!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Das war wohl meine Fehler, ich erhalte mehrere Wert, Riemannintegrierbar bedeutet ja, dass beide Werte ("sup{...}" und "inf{...}") gleich sind. Wenn das ganze so fein wird, dass das Supremun bzw. Infimum von Unter- und Obersumme den gleichen Wert annehmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das war wohl meine Fehler, ich erhalte mehrere Wert,
genau.
> Riemannintegrierbar bedeutet ja, dass beide Werte
> ("sup{...}" und "inf{...}") gleich sind.
Ja, wobei Du meinst, dass das Unterintegral den gleichen Wert haben soll wie das Oberintegral.
Und nun: Berechne mal alleine gemäß dieser Definition Unter- und Oberintegral für $f:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $f(x):=0$ und $f(x):=1$ für $x [mm] \in (0,1]\,.$
[/mm]
(Hier sind die Mengen [mm] $\{U(f,Z): Z \text{ Zerlegung von }[0,1]\}$ [/mm] und [mm] $\{O(f,Z): Z \text{ Zerlegung von }[0,1]\}$ [/mm] allerdings wirklich "sehr klein"! )
> Wenn das ganze so
> fein wird, dass das Supremun bzw. Infimum von Unter- und
> Obersumme den gleichen Wert annehmen oder?
Mit "feiner werdenden Zerlegungen" sollte die Differenz zwischen $U(f,Z)$ und $O(f,Z)$ betragsmäßig immer kleiner werden (wenn wir eine Riemann-int'bare Funktion [mm] $f\,$ [/mm] haben). Wenn man i.a. einfach eine "passende Zerlegung" angeben könnte, bräuchte man dieses "komplizierte" Verfahren/diese "komplizierte" Definition doch nicht so einzuführen. Schließlich will man nichts umständlich machen, was auch einfach geht ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Naja, für f(x)=0 gibt es ja keine Fläche, das das Infimum bzw. das Supremum immer 0 ist.
Für f(x)=1 bräuchte ich nichtmal eine Zerlegung, aber ich mach es trotzdem mal und zwar Z={0,1/4,1/2,3/4,1)
Ich würde als rechnen:
U(f,Z)=0*1+1*1/4+1/2*1+3/4*1+1*1=2,5
Das kann eindeutig nicht sein, wo ist jetzt wieder ein Gedankenknick? Das Infimum von f(x)=1 existiert doch eigentlich nicht bzw. ist gleich mit dem Supremum oder wo hängt es nun schon wieder?...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Naja, für f(x)=0 gibt es ja keine Fläche, das das Infimum
> bzw. das Supremum immer 0 ist.
was meinst Du nun? In der Tat ist [mm] $f(0)=0\,.$ [/mm] Du meinst vielleicht hier: "An der Stelle, wo [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] ist..."?
Aber mach' Dir mal klar, warum bei der Berechnung von Riemann-Integrale "endlich viele Stellen (und deren Funktionswerte)" keinen Einfluss haben. Rein per Definitionem!
> Für f(x)=1
Ebenso die Sprechweise: Meinst Du quasi "Dort, wo [mm] $f(x)=1\,$ [/mm] gilt..."?
> bräuchte ich nichtmal eine Zerlegung, aber ich
> mach es trotzdem mal und zwar [mm] Z=[red][b]$\{$[/b][/red]0,1/4,1/2,3/4,1$\}$
[/mm]
>
> Ich würde als rechnen:
>
> U(f,Z)=0*1+1*1/4+1/2*1+3/4*1+1*1=2,5
>
> Das kann eindeutig nicht sein, wo ist jetzt wieder ein
> Gedankenknick? Das Infimum von f(x)=1 existiert doch
> eigentlich nicht bzw. ist gleich mit dem Supremum oder wo
> hängt es nun schon wieder?...
Also Deine letzte Aussage ist sowas von "verquert": Was Du wohl meinst, ist, dass doch offenbar auf allen [mm] $I_k\setminus \{x_{k-1},x_k\}$ [/mm] die Funktion [mm] $f\,$ [/mm] konstant [mm] $1\,$ [/mm] ist, und [mm] $\sup\{1\}=\inf\{1\}=1\,.$ [/mm] Das ist korrekt.
Aber denke mal über die [mm] $x_k-x_{k-1}$ [/mm] nach...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ach, ich Idiot, ich muss die ja von einander abziehen, das kommt davon, wenn man so spät sowas noch macht, ich weiß nun Bescheid, danke :D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
1.
Supremum ist 2, kein Maximum
Supremum ist 1, kein Maximum (ich nehme an, dass "["
ausgeschlossen heißt, wir hatten immer ")" dafür
Supremum ist 100, ist das Maximum
2. Aussage b stimmt.
3.
a) falsch, da nur nach oben und nicht nach unten beschränkt ist
b) falsch, da [mm] \IR [/mm] nicht abzählbar ist
c)ebenfalls falsch, da sie auch nur ein Supremum und Infimum besitzen können
d)Falsch, da beschränkt bedeutet, dass es sowohl Infimum als auch SUpremum gibt, wobei es aber unendlich viele "Kommazahlen" in [mm] \IR [/mm] gibt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also mal alles zusammen:
1.) Was ist das Supremum von
$ [mm] M_1:=\{2-e/\sqrt{n}: n \in \IN\}\,, [/mm] $
$ [mm] M_2:=[0,1[\,, [/mm] $
$ [mm] M_3:=\{1,10,100,50,2,3\}\,. [/mm] $
Ist das Supremum jeweils ein Maximum?
2.) Welche der folgenden Aussagen stimmt für eine nach oben beschränkte Menge $ S [mm] \subseteq \IR [/mm] $:
a) Falls $ S [mm] \subseteq \IR [/mm] $ ein Supremum hat, dann hat $ [mm] S\, [/mm] $ auch ein Maximum und das Maximum stimmt mit dem Supremum überein.
b) Falls $ S [mm] \subseteq \IR [/mm] $ ein Maximum hat, dann hat $ [mm] S\, [/mm] $ auch ein Supremum und das Maximum stimmt mit dem Supremum überein.
3.) Welche Aussagen sind richtig, welche falsch:
a) Jede nach oben beschränkte Menge $ S [mm] \subseteq \IR [/mm] $ ist endlich.
b) Jede nach oben beschränkte Menge $ S [mm] \subseteq \IR [/mm] $ hat höchstens abzählbar viele Elemente.
c) Endliche Teilmengen von $ [mm] \IR [/mm] $ haben stets sowohl ein Maximum als auch ein Minimum, sofern sie nicht leer sind.
d) Es gibt keine beschränkten Teilmengen von $ [mm] \IR\,, [/mm] $ die unendlich viele Elemente enthalten.
Deine Antworten:
> 1.
>
> Supremum ist 2, kein Maximum
richtig!
> Supremum ist 1, kein Maximum (ich nehme an, dass "["
> ausgeschlossen heißt, wir hatten immer ")" dafür
Korrekt und ja, das bedeutet es (ich kannte nur das [mm] "$[\,$" [/mm] rechterhand aus der Schule, erst an der Uni wurde ich mit [mm] "$)\,$" [/mm] konfrontiert, und das hat mich auch manchmal verwirrt, weil ich bei etwa $(0,1) [mm] \subseteq \IR$ [/mm] erstmal dachte, dass doch [mm] $(0,1)\,$ [/mm] ein Punkt des [mm] $\IR^2$ [/mm] wohl sei...).
> Supremum ist 100, ist das Maximum
Korrekt!
> 2. Aussage b stimmt.
Korrekt!
> 3.
> a) falsch, da nur nach oben und nicht nach unten
> beschränkt ist
Deine Antwort ist zwar richtig, aber Deine Begründung falsch (jedenfalls wenn Du das so meinst, wie Du es geschrieben hast). Vielleicht ist Dir aber nicht klar, wann man eine Menge endlich nennt: In Deinem Skript steht auf Seite 5 etwas dazu (was aber mathematisch nicht wirklich hilft). Grob gesagt: Eine Menge ist endlich, wenn man beim durchzählen der Elemente zwangsläufig irgendwann nicht weiterzählen kann, ohne wenigstens ein Element doppelt zu zählen.
Mathematisch präziser:
Eine Menge [mm] $M\,$ [/mm] heißt endlich, wenn es eine natürliche Zahl [mm] $n\,$ [/mm] so gibt, dass eine injektive Abbildung $f: M [mm] \to \{1,...,n\}$ [/mm] existiert. (Das kann man als Definition hernehmen!)
Ferner gibt es für endliche Mengen [mm] $M\,$ [/mm] genau eine Zahl [mm] $n=n_M \in \IN$ [/mm] so, dass es eine bijektive Abbildung $f: M [mm] \to \{1,...,n_M\}$ [/mm] gibt. Dann nennt man [mm] $n_M$ [/mm] die Anzahl der Elemente von [mm] $M\,$ [/mm] und schreibt [mm] $|M|:=n_M\,.$ [/mm] (Das ist nun "Sätzchen und Definition".)
Dass ihr das im Skript nicht formal so gemacht habt, liegt wohl daran, dass die natürlichen Zahlen erst später behandelt/eingeführt werden. In Eurem Skript geht man also davon aus, dass ihr wißt, was gemeint ist, wenn man sagt, dass eine Menge endlich ist: Nämlich, dass sie nur endlich viele Elemente enthält. So kann man das aber natürlich nicht definieren (das wäre eine "Zirkeldefinition": was heißt denn "endlich viele"?)...
> b) falsch, da [mm]\IR[/mm] nicht abzählbar ist
[mm] $\IR$ [/mm] ist aber auch nicht nach oben beschränkt. Man kann zwar Deinen Satz wirklich als Begründung auch benutzen, aber nur über Umwegen. Da muss man dann sowas erwähnen, dass abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen abzählbar sind. Aber das hast Du sicher so nicht gemeint. Aber bevor wir's zu kompliziert machen:
Denke doch mal an "Intervalle" (von [mm] $\IR$) [/mm] - beschränkte Intervalle. Bzw. ein ganz einfaches Intervall (man kann dann sogar mit Binärdarstellungen argumentieren... aber egal).
> c)ebenfalls falsch, da sie auch nur ein Supremum und
> Infimum besitzen können
Nein, deine Antwort ist falsch: Nichtleere endliche Teilmengen (d.h. sie enthalten nur endlich viele Elemente!) von [mm] $\IR$ [/mm] haben stets ein Maximum und ein Minimum (und damit insbesondere ein Supremum und ein Infimum).
> d)Falsch, da beschränkt bedeutet, dass es sowohl Infimum
> als auch SUpremum gibt, wobei es aber unendlich viele
> "Kommazahlen" in [mm]\IR[/mm] gibt
Ja, aber Deine Begründung ist irgendwie komisch. ("Kommazahlen" kann man übrigens sehr schön als unendliche Reihe darstellen!). Kann man aber einigermaßen durchgehen lassen.
Viel einfachere Begründungen wären (bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$):
[/mm]
[mm] $\{1/n: n \in \IN\}$ [/mm] ist offenbar eine unendliche Menge, die beschränkt ist!
oder
$[0,1]$ ist offenbar eine beschränkte, sogar überabzählbare Teilmenge von [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Bei der 3.c) könnte ich doch auch sagen, ich betrachte eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] wobei x in dieser Teilmenge liegt und es gilt, dass 0<x, dann wäre 0 doch das Infimum oder sehe ich das falsch? Aber eben kein Minimum.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Do 15.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bei der 3.c)
Erinnerung: Du solltest prüfen, ob die Aussage
> > Endliche Teilmengen von $ [mm] \IR [/mm] $ haben stets sowohl ein Maximum als auch ein Minimum, sofern sie nicht leer sind.
stimmt oder nicht.
> könnte ich doch auch sagen, ich betrachte
> eine Teilmenge von [mm]\IR[/mm] wobei x in dieser Teilmenge liegt
> und es gilt, dass 0<x, dann wäre 0 doch das Infimum oder
> sehe ich das falsch? Aber eben kein Minimum.
Was ist $x$? Ich verstehe noch nichtmal, was Du da zu sagen versuchst ^^
Also nochmal: Endliche Mengen sind Mengen, die nur endlich viele Elemente haben. Die Menge der Primzahlen ist nicht endlich (ohne Beweis). Die Menge der Fibonacci-Zahlen auch nicht. Die Menge der geraden Zahlen auch nicht. Überabzählbare Mengen können auch nicht endlich sein.
Beispiele für endliche Mengen:
[mm] $$\{a,b,v\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\{n \in \IN: n \le 10*e^{360}\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\{12,38,p,\text{Apfel},\text{Kaffeemaschine},-250,1030\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\{3\pm i \sqrt{\pi}, \cos(48),\tan(100)\,,\cosh(98)\}\,,$$
[/mm]
[mm] $$\{\pm p: p \text{ ist Primzahl und }p \le 345347534957\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 15.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ok, ich meine das so:
Sei M [mm] \subset \IR [/mm] und sei M={x [mm] \in [/mm] M | 0<x}.
Nun existiert doch für M kein Supremum bzw. Maximum, weil sie nicht noch eben berschränkt ist, aber es ex. ein Infimum mit der 0, aber eben kein Minimum, da 0 ausgeschlossen ist. Bin vielleicht auch etwas überarbeitet.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 15.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Da Marcel gerade nicht mehr da ist, springe ich mal kurz ein:
> Ok, ich meine das so:
>
> Sei M [mm]\subset \IR[/mm] und sei M N [mm] =\{x \in M | 0
>
> Nun existiert doch für M N kein Supremum bzw. Maximum, weil
> sie nicht noch eben berschränkt ist, aber es ex. ein
> Infimum mit der 0, aber eben kein Minimum, da 0
> ausgeschlossen ist.
Das hängt alles davon ab, wie die Menge M aussieht.
Z.B. für [mm] $M=\IR$ [/mm] ist die Menge N tatsächlich nicht nach oben beschränkt und sie hat Infimum 0, aber kein Minimum. Das ist kein Widerspruch zu Marcels Aussage, dass nichtleere ENDLICHE Teilmengen von [mm] $\IR$ [/mm] stets Maximum und Minimum haben, denn N ist in diesem Fall nicht endlich.
Z.B. für [mm] M=\{-1,0,1,2,3\} [/mm] dagegen ist [mm] N=\{1,2,3\}. [/mm] Diese Menge ist sehr wohl nach oben beschränkt und hat Maximum und somit Supremum 3 sowie Minimum und somit Infimum 1, nicht 0.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hubbel,
tobi hat schon i.w. alles gesagt. Man kann sich, und daran will ich Dich erinnern, sogar mit dem aus der Schule gelernten erklären (sofern man das in der Schule gelernte jetzt einfach mal so hinnimmt), dass und warum endliche Mengen ein Maximum und ein Minimum haben.
(Erinnere Dich: Wenn eine Menge ein Maximum hat, so ist das das Supremum der Menge, dass auch in der Menge liegt. Analoges gilt für Minimum.)
In der Schule lernt man, dass man Zahlen anordnen kann. Nun machen wir das mal 'algorithmisch':
Wenn ich eine Menge von Zahlen [mm] $M=\{a_1,...,a_n\} \subseteq \IR$ [/mm] habe, so mache ich doch, um diese anzuordnen, etwa folgendes:
Ich nehme [mm] $a_1$ [/mm] her. Wenn [mm] $a_2 [/mm] < [mm] a_1$ [/mm] gilt, schreiben wir das ganze (in einer "Kette" jeweils)
[mm] $$a_2,a_1$$ [/mm]
andernfalls, also falls [mm] $a_2 \ge a_1$ [/mm] ist
[mm] $$a_1,a_2\,.$$
[/mm]
Indem ich [mm] $a_3$ [/mm] sowohl mit [mm] $a_1$ [/mm] als auch [mm] $a_2$ [/mm] vergleiche, weiß ich dann, wo ich es "anzuordnen" habe. Vor das linkeste, zwischen [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2\,,$ [/mm] oder hinter das rechteste.
(Wenn [mm] $a_2 [/mm] < [mm] a_1 \le a_3$ [/mm] war, schreiben wir also die "neue" Zahlenkette
[mm] $$a_2,\;a_1,\;a_3\,.$$
[/mm]
Kommt [mm] $a_4$ [/mm] hinzu, so kann nach dem Vergleich mit den anderen Elementen der vorherigen Zahlenkette etwa diese entstehen
[mm] $$a_2,\;a_1,\;a_4,\;a_3$$
[/mm]
etc. pp..)
Danach nimmst Du [mm] $a_4$ [/mm] her, und vergleichst das nach und nach mit (den mittlerweile in der "Zahlenkette" angeordneten) ersten 3 Elementen etc. pp.
Damit erhält man nach spätestens [mm] $\sum_{k=2}^n [/mm] (k-1) < [mm] \infty$ [/mm] Schnritten eine "Zahlenkette"
[mm] $$a_{m_1},\;a_{m_2},\;...,\;a_{m_n}\,,$$
[/mm]
welches nichts anderes besagt, als dass
[mm] $$a_{m_1} \le a_{m_2} \le [/mm] ... [mm] \le a_{m_n}$$
[/mm]
gilt.
Hier sehen wir [mm] $a_{m_1}=\min [/mm] M$ und [mm] $a_{m_n}=\max M\,.$
[/mm]
P.S.
Nimm' halt mal beispielhaft [mm] $M=\{-17/14,\;8,\;\pi,\;-2,\;10\}$ [/mm] (Du darfst dabei ohne weiteres [mm] $\pi \approx [/mm] 3.14$ verwenden bzw. $3 < [mm] \pi [/mm] < 4$) und bilde mal Schritt für Schritt die "Zahlenkette".
(Man kann nun, wenn man so etwas programmiert, Elemente aus [mm] $M\,,$ [/mm] die man schon verwendet (in der "Zahlenkette" eingefügt) hat, markieren. Mathematisch kann man auch " Elemente aus [mm] $M\,,$ [/mm] die man in der "Zahlenkette" einfügt, aus [mm] $M\,$ [/mm] entfernen". Das geht solange, solange [mm] $M\,$ [/mm] noch nicht leer ist. Da [mm] $M\,$ [/mm] endlich ist, bricht der Algorithmus nach endlicher Zeit ab (wenn [mm] $M\,$ [/mm] "leer gemacht wurde").)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Fr 16.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Ich denke nun, dass ich größtenteils Bescheid weiß, ich danke euch, aber vorallen dir, Marcel, für die sehr detaillierten Erklärungen. Ich hoffe, dass ich eines Tages auch mal so einen Durchblick in der Mathematik habe, das ist zumindest mein Ziel und ich werde alles geben. Herzlichen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, belassen wir es jetzt erstmal dabei.
>
> Jetzt noch zur (iv):
>
> Eine Funktion ist doch nur Integrierbar, wenn sie auch
> diffbar ist und damit sie diffbar ist, muss sie stetig
> sein, ist dies dann nicht ein Widerspruch zu der Aufgabe?
Deine Aussagen sind leider total falsch. Du sollst nicht raten oder "ein Kriterium mit dem aus der Schule gelernten System zur Berechnung von Stammfunktionen als Maß für die Entscheidbarkeit, ob eine Funktion integrierbar ist", postulieren. Sondern Du sollst Analysis betreiben. In der Schule machen das die wenigsten Lehrer wirklich ganz exakt (dafür haben die auch nicht unbedingt Zeit - außerdem ist Schule nun ja auch nicht Uni, sonst bräuchte man die Uni nicht). Also geh' durch Dein Skript durch.
Und dass Dein Skript nichts über die glm. Konvergenz von Funktionenfolgen enthält, glaube ich einfach nicht. Das ist auch kein Begriff, der "mal so auf einem Ü-Blatt mit eingeführt wird". Sondern ein wirklich zentraler Begriff.
Aber sollte Dein Skript wirklich diesen unglaublichen Mangel haben (nach wie vor glaube ich das nicht, denn die von Dir zitierten Auszüge sagen schon ein wenig was über die Qualität des Skripts!):
Dann nimm' endlich mal das Buch "Heuser, Analysis I" zur Hand. Oder wenn Du nicht so der Buch-Fan bist: Lies' Dir die Teile aus dem Skript durch, das ich verlinkt hatte. Wenn Dir da noch etwas "zu abstrakt" formuliert erscheint:
Dann sag' halt, welchen Satz Du meinst, dann formulieren wir den so um, dass er auf Deine Kenntnisse zugeschnitten ist!
> Oder bezieht sich Riemann-integerierbar nur auf das
> Verfahren mit der Ober- bzw. Untersumme?
Also: Solche Fragen kannst Du wirklich nur stellen, wenn Du so "Larifari" die Analysis lernst. Du kannst an der Uni keine Mathematik mit "schwammigen Begriffkenntnissen" betreiben. In der Schule ist das ein wenig anders. Aber verabschiede Dich von der Vorstellung, dass Uni-Mathe nur ein bisschen mehr Schulmathe ist.
LERNE DIE DEFINITIONEN! (Und wenn Du sie, trotzdem Du sie gelernt hast und versuchst hast, sie zu verstehen, dann sagst: "Ich verstehe diese Definition nicht!"
DANN kannst Du jederzeit nachfragen, das kann man ja gemeinsam klären/erarbeiten. Solange Du aber nur sagst: "Was ist denn das? Da gibt's doch irgendwas mit ...". Das ist dann okay, wenn man in einem Gespräch ist oder über Sachen redet, deren Definition man gerade vergessen hat. Aber es kann echt nicht sein, dass Du jederzeit einfach nur, wenn Du es nicht weißt, es in Deinem Skript nachschlagen kannst. Dann aber trotzdem nur "schwammig" daherredest.
In Deinem Skript steht bzgl. Riemann-Integrierbarkeit sicher wenigstens eine Definition. Und da steht sicher nicht:
"Naja, Riemann-Integrierbarkeit: Um so was zu sehen, da muss man irgendwas mit den Ober- und Untersummen machen. Irgendwie kann/muss man da mit Zerlegungsfolgen arbeiten. Die sollen "dünner" werden" oder sowas. Sondern da steht ganz konkret vielleicht etwas von "immer feiner werdenden Zerlegungsfolgen", wobei man auch vorher genau definiert hat, was "die Feinheit" einer Zerlegungsfolge ist, und auch, was eine Zerlegungsfolge ist.)
Also nochmal:
Definitionen LERNEN, LERNEN, LERNEN!!! Wenn Du Definitionen dann irgendwann äquivalent umformulieren kannst und dann auch beweisen kannst, dass die Umformulierung eine äquivalente ist- dann hast Du sicher auch die Definition verstanden.
Beispiel:
Es ist keine Kunst, zu zeigen, dass folgende Stetigkeitsdefinitionen an einer Stelle [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] für etwa eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] äquivalent sind (auf's wesentliche reduziert):
1.) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,,$ [/mm]
2.) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,,$ [/mm]
3.) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,,$ [/mm]
4.) [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,.$ [/mm]
Jeder, der die [mm] $\epsilon-\delta$-Stetigkeitsdefinition [/mm] an einer Stelle [mm] $x_0$ [/mm] verstanden hat (und sich "minimal" mit [mm] $\IR$ [/mm] auskennt), könnte das in einer mündlichen Prüfung in noch nicht mal zwei Minuten schnell abhandeln - wobei diese Aufgabe dann auch eine geschenkte wäre (zum Einstieg).
Jeder, der sie nicht verstanden hat, wird schon bei der Folgerung 1.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2.) ins Stocken geraten.
Man merkt eigentlich relativ schnell, ob jmd. Definition gelernt und verstanden hat, oder nicht. Bei Dir bin ich mir ziemlich sicher: Du hast irgendwie bisher keinen Bock, Definitionen zu lernen. Oder keine Zeit. Aber das musst Du machen und die Zeit musst Du Dir nehmen. Kein Wunder, dass Du in der Klausur an den Aufgaben scheiterste, wenn Dir schon alleine die Begriffe nicht klar waren.
Und wie gesagt: Wenn Dir Definitionen unklar sind, dann können wir sie hier "klar(er)" machen. Man kann meinetwegen auch mal die ein oder andere "motivieren" - damit sie vll. nicht "ganz so vom Himmel fallen". Aber Du musst auch lernen, einfach mal eine Definition so hinzunehmen (sofern das, was da definiert wurde, nicht total sinnlos ist oder sofern man nicht Dinge definiert, die dann gar nicht wohldefiniert sind).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 14.03.2012 | | Autor: | hubbel |
Mir ist bewusst, dass das ganze wohl nicht begriffsmäßig korrekt ist, aber ich versuche mir das ganze unschaulich zu erklären, mir ist durchaus bewusst, dass das natürlich bald nicht mehr möglich sein wird, aber ich kann halt nur damit argumentieren, was ich aus meinem Skript weiß. Habe eigentlich nicht so ein Problem mit der Analysis, den Großteil schaffe ich, den wir bis jetzt hatten, wie eben Reihenkonvergenz, Folgen, Stammfunktionen, Stetigkeit, Differenziebarkeit, komplexe Zahlen etc. Nur habe ich bei solchen Aufgaben Probleme, wo man sich eine passende Funktion suchen muss. War aus den Übungen bis jetzt gewohnt, dass man zeigen soll, dass eine gegebene Funktion beispielweise nicht differenzierbar ist. Davon muss ich mich wohl lösen. Und ich muss ehrlich sagen, dass ich mit deinen Ausführungen ziemlich Probleme, da sie mir kaum bekannt vorkommen.
Ich habe das Skript mal hochgeladen, ich erwarte nicht, dass du es dir durchliest, aber vielleicht möchtest du es mal überfliegen:
http://www.file-upload.net/download-4187713/analysis-skript.pdf.html
P.S.: Das Kapitel Riemann beginnt ab Seite 108, Kapitel 15, ich finde einfach keine passende Definition, die mir hilft.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Mir ist bewusst, dass das ganze wohl nicht begriffsmäßig
> korrekt ist, aber ich versuche mir das ganze [red]a[]/redunschaulich zu
> erklären, mir ist durchaus bewusst, dass das natürlich
> bald nicht mehr möglich sein wird, aber ich kann halt nur
> damit argumentieren, was ich aus meinem Skript weiß.
Anschauung ist manchmal gut, manchmal schlecht. Ich hatte an der Uni auch erst "den Fehler" begangen, mir wie in der Schule "erst ein Bild" machen zu wollen. Umgekehrtes wird, das wirst Du im Laufe der Zeit merken, später besser funktionieren: Nachdem Du die "abstrakten" Begriffe ("so abstrakt sind sie eigentlich gar nicht!") gelernt hast, wirst Du das gelernte an Beispielen "anschauen" können. Wobei dann auch die Beispiele "abstrakt" sind.
> Habe
> eigentlich nicht so ein Problem mit der Analysis, den
> Großteil schaffe ich, den wir bis jetzt hatten, wie eben
> Reihenkonvergenz, Folgen, Stammfunktionen, Stetigkeit,
> Differenziebarkeit, komplexe Zahlen etc.
Das ist doch schonmal gut, dass Du da keine Probleme hast!
> Nur habe ich bei
> solchen Aufgaben Probleme, wo man sich eine passende
> Funktion suchen muss. War aus den Übungen bis jetzt
> gewohnt, dass man zeigen soll, dass eine gegebene Funktion
> beispielweise nicht differenzierbar ist. Davon muss ich
> mich wohl lösen. Und ich muss ehrlich sagen, dass ich mit
> deinen Ausführungen ziemlich Probleme, da sie mir kaum
> bekannt vorkommen.
Das liegt auch nach wie vor zum großen Teil daran, dass Du die Definition nicht ganz detailliert gelernt/verinnerlicht hast. Und vielleicht auch, weil wir übers Internet kommunizieren. Da ist die Beschreibung eines "Epsilon-Schlauchs um eine unstetige Funktion" komplizierter, wie, wenn ich Dir das mal skizzenhaft "hinzeichne".
> Ich habe das Skript mal hochgeladen, ich erwarte nicht,
> dass du es dir durchliest, aber vielleicht möchtest du es
> mal überfliegen:
>
> http://www.file-upload.net/download-4187713/analysis-skript.pdf.html
Klar: Aber irgendwie seh' ich da nur eine exe-Datei!
> P.S.: Das Kapitel Riemann beginnt ab Seite 108, Kapitel 15,
> ich finde einfach keine passende Definition, die mir hilft.
Dann versuch' mal, Dir klar zu machen, "welche Vorgehensweise sich vll. hinter der Definition versteckt". Ich versuche in der Zeit mal, irgendwie das Skript kurz durchzublättern, sofern ich irgendwie mir das mal angucken könnte!
Gruß,
Marcel
P.S.
Meine Worte oben sind nicht böse gemeint, es ist einfach nur die Wahrheit!
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