Stetigkeit - Reihe v Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:44 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
ich bräuchte Starthilfe für folgende Aufgabe
Für k=1,...,n seien [mm] f_{k}: \IR \to \IR [/mm] stetig. [mm] f:\IR^{n}\to\IR
[/mm]
f(x):_ [mm] \summe_{k=1}^{n}f_{k}(x_{k})
[/mm]
diese soll mit Epsilon-Delta-Funktion bewiesen werden. und diese Definitioin sagt ja aus, das die Funktion in [mm] x_{0} [/mm] stetig sein soll.
Aber meine gegebene Funktion ist ja eine Reihe von Funktionen.
Und in der Vorraussetzung steht ja das [mm] f_{k} [/mm] stetig sein soll.
Muss jetzt mit der Definition nur gezeigt werden das die Reihe der Funktionen stetig ist?
Aber wie wendet man denn die Definition bei dieser Reihe an?
Danke und Gruß Yoko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Sa 18.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Wir wollen die Stetigkeit von $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] mit Hilfe des Epsilon-Delta-Kriteriums beweisen:
Sei dazu wie immer [mm] $\epsilon\in\IR^+$, [/mm] dann existiert auf Grund der Stetigkeit der [mm] $f_k$ [/mm] für jede dieser Funktionen ein [mm] $\delta_k$ [/mm] so, dass [mm] $\forall x\in U_{\delta_k}(x_0_k): |f_k(x_0_k)-f_k(x_k)|<\frac{\epsilon}{n}$ [/mm] gilt. Sei nun [mm] $\delta_{min}=min\{\delta_1,\delta_2,...,\delta_n\}$ [/mm] das kleinste dieser [mm] $\delta_k$, [/mm] dann gilt [mm] $\forall k\in \{1,2,...,n\}:\forall x\in U_{\delta_{min}}(x_0_k): |f_k(x_0_k)-f_k(x_k)|<\frac{\epsilon}{n}$. [/mm] Sei also [mm] $x\in U_{\delta_{min}}(x_0)$, [/mm] dann summieren wir die $n$ Ungleichungen auf und erhalten: [mm] $\summe_{k=1}^{n}{|f_k(x_0_k)-f_k(x_k)|}<\summe_{k=1}^{n}{\frac{\epsilon}{n}}=\epsilon$. [/mm] Wegen der Dreiecksungleichung [mm] ($|a+b|\leq [/mm] |a|+|b|$) gilt aber auch: [mm] $\summe_{k=1}^{n}{|f_k(x_0_k)-f_k(x_k)|}\geq |\summe_{k=1}^{n}{f_k(x_0_k)}-\summe_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}|=|f(x_0)-f(x)|$ [/mm] und somit auch [mm] $|f(x_0)-f(x)|<\epsilon$. [/mm]
Damit ist gezeigt, dass $f$ eine stetige Funktion ist.
Alles klar? Wenn nicht, dann frag' einfach nach!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 So 19.12.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo,
soweit hast du es mir gut verständlcih erklärt, das fast keine Fragen mehr offen sind.
Aber woher weiß ich wie ich mein Epsilon wälen muss? Besonders im diesem fall mit [mm] \bruch{\varepsilon}{n}
[/mm]
Und ist es egal ob ich [mm] |f_k(x_0_k)-f_k(x_k)| [/mm] oder [mm] |f_k(x_k)- f_k(x_0_k)| [/mm] setze?
Und wenn ich Statt ein Summenzeichen ein Produktzeichen hätte, wäre es dann vom Prinzip her der gleiche Rechenweg?
Danke und Gruß Yoko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 19.12.2004 | | Autor: | Pommes |
Prinzipiell ist es egal, wie du dein [mm] \varepsilon [/mm] wählst, da es ja für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gelten soll. DU musst es nur so wählen, dass deine Rechnung einigermaßen leicht wird (d.h. du rechnest erst, und dann wählst du dementsprechend dein [mm] \varepsilon)... [/mm] und ob du [mm] |f_{k}(x_{0k})-f_{k}(x_{k})| [/mm] oder [mm] |f_{k}(x_{k})-f_{k}(x_{0k})| [/mm] schreibst, is wurscht, da es sich ja um Beträge handelt (|b-a|=|a-b|).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Yoko |
Ok, danke.
Das mit den Epsilons muss ich noch ein wenig üben. Aber das mit den Beträgen hätte ich mir auch selber denken können ^_^
Aber mal angenommen ich habe die selbe Rechnung nur mit einem Produktzeichen anstelle eines Summenzeichens.
Dann müsste ich ja theoretisch das Folgenkriterium anwenden. Reicht es dort wenn ich es nur für die [mm] x_{k} [/mm] zeigen, da ja [mm] f_{k} [/mm] ja sowieso stetig ist?
Gruß Yoko
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Yoko |
Mit dem Epsilon scheint es mir auch leichter zu gehen, nur fällt mir die Wahl des richtigen Epsilons etwas schwer.
Meine Idee bei der Version mit dem Produktzeichen wäre gewesen es mit dem Folgekriterium zu machen, nur hatte ich damit Probleme.
Ist falsch es mit dem Folgekriterium zu machen, weil ich da auch nicht wirklich mit voran kam?!
Besten Dank und Gruß Yoko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Schau dir meinen Beweis bitte noch einmal an, er war schwachsinnig, ich hatte mich verhaspelt.
Mit dem Folgenkriterium geht es natürlich viel einfacher, wenn man weiß, dass eine Folge im Produktraum genau dann konvergiert, wenn sie komponentenweise konvergiert und wenn man zudem weiß, dass das Produkt konvergenter Folgen wieder konvergent ist und gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert. Ich dachte nur, ihr solltet das mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] machen...
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Julius!
Ihr wollt doch die Stetigkeit von $f(x):=\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}$ zeigen, sehe ich das richtig?
Wenn ja, wie gelangst du denn dann von
$ \red{|f(x_0) - f(x)|} $
auf
$ \red{= \left \vert \prod\limits_{k=1}^n \left(f_k(x_{0k}) - f_k(x_k) \right) \right\vert} $ ?
Es gilt doch
$ \black{|f(x_0) - f(x)|}= |\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0k})}-\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}|$, oder?
Wie machst du von dort weiter? Eine Umformung, wie sie noch für die Summe möglich war, sehe ich nicht - oder habe ich Tomaten auf den Augen ;)
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Hanno!
Vielen Dank für den netten Hinweis.  Das kommt davon, wenn man zu schnell antwortet und zu wenig nachdenkt/unkonzentriert ist.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Julius!
Wie geht es denn nun zuende? Ich habe deinen Schritt nach einiger Zeit verstanden (wenn ich das richtig sehe formst du zuerst eine Teleskopsumme und wendest dann die Ungleichung zwischen für die Summe von Beträgen an - richtig). Aber wie geht es dann weiter? In jedem Produkt in der Summe sind immer n-1 Faktoren gleich, die könnten also ausgeklammert werden, sodass dann nach dem Ausklammern der Ausdruck [mm] $f_i(x_{i})-f_i(x_{0,i})$ [/mm] zu finden ist, mir dem man dan weiter arbeiten könnte? Aber wie geht das Ganze zuende? Ich wäre dankbar für ein paar Tips, da ich keinen Weg sehe.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Hanno!
Genauso, wie du es sagst, meinte ich es.
Ich habe leider kaum Zeit, daher nur ganz kurz:
Man findet jetzt eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um [mm] $x_0$, [/mm] so dass alle [mm] $f_k$ [/mm] dort durch ein gemeinsames $C$ beschränkt sind (stetige Funktionen auf Kompakta sind beschränkt), dann findet man darin eine [mm] $\delta'$-Umgebung, [/mm] so dass (nach Voraussetzung) sich die von dir erwähnten Differenzen durch [mm] $\frac{\varepsilon}{Cn}$ [/mm] abschätzen lassen. Der Rest ist dann nur Hinschreiben, und alles ist kleiner als [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Vielleicht vesuchst du es mal. Wenn du es nicht hinbekommst, rechne ich es vor. Dann werde ich vielleicht auch feststellen, dass ich wieder zu schlampig war. 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Julius!
Ich habe nur halb, was du meinst, ich versuche es aber mal umzusetzen:
Es gilt zu zeigen, dass es für jedes beliebige [mm] $x\in \IR^n$ [/mm] und [mm] $\varepsilon\in\IR^+$ [/mm] ein [mm] $\delta\in \IR$ [/mm] so gibt, dass
[mm] $\forall x_0\in U_{\delta}(x): |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$
[/mm]
gilt.
Da die Funktionen [mm] $f_1,f_2,...,f_n$ [/mm] nach Definition stetig sind, lässt sich zu jedem [mm] $\varepsilon\in \IR$ [/mm] ein [mm] $\delta\in\IR$ [/mm] so finden, dass [mm] $\forall k\in \{1,2,...,n\}:\forall x_0\in U_{\delta}(x): \left\vert f_k(x_k)-f_k(x_{0,k})\right\vert <\varepsilon$ [/mm] gilt. Dann ist [mm] $C:=\left\vert max\{x_1,x_2,...,x_n\}\right\vert+\varepsilon>max\left\{f_1\left( U_{\delta}(x)\right) ,f_2\left( U_{\delta}(x)\right),...,f_n\left( U_{\delta}(x)\right)\right\}$ [/mm] eine mit obere Schranke für alle Funktionen [mm] $f_i,i\in\{1,2,...,n\}$ [/mm] im Intervall [mm] $U_{\delta}(x)$. [/mm] Sei im Folgenden [mm] $\delta$ [/mm] beliebig gewählt und $C$ eine solche obere Schranke. Ferner sei [mm] $x_0\in U_{\delta}(x)$ [/mm] ein solches beliebiges Element aus der Delta-Umgebung von $x$, dann muss die Gültigkeit der folgenden, zur obigen äquivalenten Ungleichung gezeigt werden:
[mm] $\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}-\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert<\varepsilon$
[/mm]
Nun formen wir die linke Seite um:
[mm] $\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}-\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert$
[/mm]
[mm] $\leq \left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}\right\vert-\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert$
[/mm]
Formen wir dies in eine Teleskopsumme um, so erhalten wir
[mm] $=\summe_{i=0}^{n-1}{\left(\left\vert \produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i+1,k})} \right\vert - \left\vert \produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i,k})} \right\vert\right)}$
[/mm]
[mm] $\leq \summe_{i=0}^{n-1}{\left\vert \produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i+1,k})} - \produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i,k})} \right\vert}$
[/mm]
An der Definition der [mm] $y_i$ [/mm] ist ersichtlich, dass sich die Produkte nur für $k=i+1$ unterscheiden. Klammern wir also die übrigen Faktoren aus, so erhalten wir:
[mm] $\leq \summe_{i=0}^{n-1}{\left(\left\vert \produkt_{k=1}^{i}{f_k(x_{k})}\cdot\produkt_{k=i+2}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert\cdot\left\vert f_{i+1}(x_{i+1})-f_{i+1}(x_{0,i+1}) \right\vert\right)}$
[/mm]
Da $C$ nach Definition eine obere Schranke der [mm] $f_i, i\in \{1,2,...,n\}$ [/mm] ist, gilt
[mm] $\leq \summe_{i=0}^{n-1}{\left( C^{n-1}\cdot \left\vert f_{i+1}(x_{i+1})-f_{i+1}(x_{0,i+1}) \right\vert\right) }$
[/mm]
Auf Grund der Stetigkeit der Funktionen [mm] $f_i, i\in \{1,2,...,n\}$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta '\in \IR$ [/mm] mit [mm] $\left\vert f_{i+1}(x_{i+1})-f_{i+1}(x_{0,i+1}) \right\vert <\frac{\varepsilon}{C^{n-1}\cdot n}$ [/mm] für jedes beliebige [mm] $\varepsilon$. [/mm] Eingesetzt in die Ungleichung führt dies zum Ergebnis:
[mm] $\leq \frac{\varepsilon}{C^{n-1}\cdot n}\cdot\summe_{i=0}^{n-1}{C^{n-1}}=\varepsilon$
[/mm]
Damit ist bewiesen, dass auch die Funktion $f$ als Produkt stetiger Funktionen wieder stetig ist, was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Di 21.12.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Hanno!
> gilt. Dann ist [mm]C:=\left\vert max\{x_1,x_2,...,x_n\}\right\vert+\varepsilon>max\left\{f_1\left( U_{\delta}(x)\right) ,f_2\left( U_{\delta}(x)\right),...,f_n\left( U_{\delta}(x)\right)\right\}[/mm]
Das macht keinen Sinn, die Definition von $C$. Entscheidend ist nur: Da die Funktionen [mm] $f_i$ $(i=1,2,\dlots,n$) [/mm] stetig , also auf einer kompakten Menge [mm] $U_{\delta}(x_0)$ [/mm] beschränkt sind, gibt es ein $C>0$ mit
$C [mm] \ge \max\left\{f_1\left( U_{\delta}(x_0)\right) ,f_2\left( U_{\delta}(x_0)\right),...,f_n\left( U_{\delta}(x_0)\right)\right\}$.
[/mm]
> Nun formen wir die linke Seite um:
>
> [mm]\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}-\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert[/mm]
> [mm]\leq \left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}\right\vert-\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Ungleichung ist falsch.
Folgere stattdessen so:
[mm]\left\vert\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_k)}-\produkt_{k=1}^{n}{f_k(x_{0,k})}\right\vert[/mm]
[mm]= \left\vert \summe_{i=0}^{n-1}\left(\produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i+1,k})} - \produkt_{k=1}^{n}{f_k(y_{i,k})}\right) \right\vert[/mm],
und fahre dann mit der Dreiecksungleichung fort.
Der Rest ist aber soweit richtig. ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Di 21.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Julius!
Bei der Definition von C habe ich mich vertan. Es sollte nicht
$ [mm] C:=\left\vert max\{x_1,x_2,...,x_n\}\right\vert+\varepsilon [/mm] $
sondern
$ [mm] C:=\left\vert max\{f_1(x_1),f_2(x_2),...,f_n(x_n)\}\right\vert+\varepsilon [/mm] $
heißen. Das müsste dann stimmen, oder?
> ... und fahre dann mit der Dreiecksungleichung fort.
Klar, da habe ich einen blöden Fehler gemacht. Ich hatte auch einige Zeit darüber nachgedacht, wie ich das sinnvoll machen konnte, habe die von dir genannte Option allerdings übersehen.
Insgesamt bin ich aber zufrieden :))
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:15 Di 21.12.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Hanno!
> > sondern
>
> [mm]C:=\left\vert max\{f_1(x_1),f_2(x_2),...,f_n(x_n)\}\right\vert+\varepsilon[/mm]
>
>
> heißen. Das müsste dann stimmen, oder?
Jetzt weiß ich, was du meinst. Ja, so kann man es machen. Dann kommt man auch mit einem [mm] $\delta$ [/mm] aus. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Klar, da habe ich einen blöden Fehler gemacht. Ich hatte
> auch einige Zeit darüber nachgedacht, wie ich das sinnvoll
> machen konnte, habe die von dir genannte Option allerdings
> übersehen.
>
>
> Insgesamt bin ich aber zufrieden :))
Dazu hast du wahrhaft guten Grund. Ich sehe, dass du im Prinzip jetzt schon so weit bist wie ein durchschnittlicher Erstsemester, und das im 12. Schuljahr (eigentlich ja im 11.) Das ist echt beachtlich. Im Studium wird dir zu Beginn langweilig werden, denke ich.
Liebe Grüße
Julius
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![[ohwell]](/images/smileys/ohwell.gif "[ohwell]"){kind=small}
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
