Stetigkeit 2 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:11 So 11.10.2009 | | Autor: | lisa11 |
| Aufgabe | Geben Sie den Definitonsbereich an und untersuchen sie auf Stetigkeit
f(x) = [mm] \frac{x}{ \left| x \right| } [/mm]
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Mein Ansatz
[mm] D_{f} [/mm] = [mm] \IR [/mm] \ {0}
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{x} [/mm] = 1 mit x > 0
für rechtsseitigen Grenzwert
linksseitiger Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{-x} [/mm] = -1 mit x < 0
für den linksseitigen Grenzwert
somit ist 1 [mm] \not= [/mm] -1 und die Funktion ist unstetig
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Hallo,
> Mein Ansatz
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> [mm]D_{f}[/mm] = [mm]\IR[/mm] \ {0}
>
Das stimmt.
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{x}[/mm] = 1 mit x > 0
> für rechtsseitigen Grenzwert
>
Der Wert von x muss gegen +/-0 streben (da hast du dich vlt verschrieben).
Dann musst du +/-0 einsetzen und l'Hospital anwenden, nur dass du
|x| ausklammerst:
[mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} \frac{x}{|x|}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ +0} \frac{1*|x|}{1*|x|}[/mm]=1 für x>0
und [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \frac{x}{|x|}[/mm] = [mm]\limes_{x\rightarrow\ -0} \frac{(-1)*|x|}{1*|x|}[/mm]=-1 für x<0
>
> linksseitiger Grenzwert
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1} \frac{x}{-x}[/mm] = -1 mit x < 0
> für den linksseitigen Grenzwert
>
> somit ist 1 [mm]\not=[/mm] -1 und die Funktion ist unstetig
Die Aussage stimmt dann wieder.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:28 So 11.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Niladhoc!
Wie leitest Du denn $|x|_$ ab?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 So 11.10.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo Loddar,
danke für den Hinweis, die Variante ist garnicht die Regel von l'Hospital, die hieße: [mm] \limes_{x\rightarrow a}\bruch{f(x)}{g(x)}=\limes_{x\rightarrow a}\bruch{f'(x)}{g'(x)}.
[/mm]
Sorry der Verwechslung wegen.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 So 11.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Lisa,
wenn du den Def-Bereich [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] waehlst, dann ist die Funktion stetig:
Sei [mm] $x_0\in\IR$, $x_0\ne0$. [/mm] Sei ferner [mm] $\varepsilon>0$. [/mm]
1. Fall [mm] $x_0>0$: [/mm] Waehle [mm] $\delta=x_0/2>0$. [/mm] Dann gilt $f(x)=x/|x|=1$
fuer alle [mm] $x\in[x_0-\delta,x_0+\delta]$, [/mm] und wir erhalten [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|1-1|\le\varepsilon$.
[/mm]
Argumentiere nun fuer den 2. Fall: [mm] $x_0<0$.
[/mm]
vg Luis
P.S. Du koennstest $f(0)=0$ setzen, und den Definitionsbereich [mm] $\IR$
[/mm]
verwenden. Dann waere die Funktion unstetig in [mm] $x_0=0$. [/mm]
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