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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Fr 05.06.2009 | | Autor: | bugsb |
| Aufgabe | | Begründen Sie, ob und wenn ja, wie man die Funktion in ihren Definitionslücken stetig fortsetzen kann. |
Hallo,
ich hab die Aufgabe zu den Funktionen
f(x)= [mm] \left( \bruch{x^2-1}{x+1} \right)
[/mm]
g(x)= [mm] \left( \bruch{x^4-1}{x-1} \right)
[/mm]
h(x)= [mm] \left( \bruch{1}{x-1} \right)
[/mm]
den Definitions und Wertebericht bestimmen (das hab ich gemacht)
und dann die Aufgabe:
Begründen Sie, ob und wenn ja, wie man die Funktion in ihren Definitionslücken stetig fortsetzen kann.
machen.
Ich bin mir nicht sicher ob ich die Aufgabe richtig verstehe:
Soll ich da den Funktionterm so verändern dass es keine Lücken mehr gibt?
Dann wäre das ja für f(x) das gleiche wie f(x)=x-1 (3. bin Formel, dann kürzen). Ist sowas mit der Aufgabe gemeint? Dann weiß ich allerdings nicht wie ich das bei h(x) machen soll.
Wäre für eine Antwort dankbar.
VG bugs
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Soll ich da den Funktionterm so verändern dass es keine
> Lücken mehr gibt?
Hm, jein 
[mm]f^\*(x) = x-1[/mm] wäre natürlich eine Funktion, die f in der Definitionslücke stetig fortsetzt, allerdings ist [mm]f^\*[/mm] NICHT die gleiche Funktion wie f (warum nicht?).
D.h. entweder gibst du die stetige Fortsetzung so an, oder in der Form:
[mm]f^\*(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox{für } x\not= -1 \\ -2, & \mbox{für } x=-1 \end{cases}[/mm]
Was natürlich diesmal das gleiche wie [mm]f^\*[/mm] ist.
Formal müsstest du den Grenzwert an der Definitionslücke betrachten, den du dann per Binomische Formel ausrechnest.
> Dann weiß ich allerdings nicht wie ich das bei h(x) machen
> soll.
Geht das denn bei h(x), oder kannst du h vielleicht gar nicht stetig fortsetzen? Wenn nein, warum nicht. Gehe hier am Besten über die Folgendefinition der Stetigkeit. Das hättest du auch bei a) und b) machen können und da kommt halt gerade genau der Wert raus, den du durchs kürzen bekommst.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 06.06.2009 | | Autor: | bugsb |
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> [mm]f^\*(x) = x-1[/mm] wäre natürlich eine Funktion, die f in der
> Definitionslücke stetig fortsetzt, allerdings ist [mm]f^\*[/mm]
> NICHT die gleiche Funktion wie f (warum nicht?).
>
Ich bin mir nicht sicher, vielleicht weil sie einen anderen Wertebereich hat, weil die Lücke ja "drin" ist?
>
> > Dann weiß ich allerdings nicht wie ich das bei h(x) machen
> > soll.
>
> Geht das denn bei h(x), oder kannst du h vielleicht gar
> nicht stetig fortsetzen? Wenn nein, warum nicht. Gehe hier
> am Besten über die Folgendefinition der Stetigkeit. Das
> hättest du auch bei a) und b) machen können und da kommt
> halt gerade genau der Wert raus, den du durchs kürzen
> bekommst.
>
Das ist mir kurz nach dem posten auch aufgefallen: Es geht nicht weil die Lücke da ja eine Polstelle ist und die stetigkeit dann wechselt (kann man das so sagen?!).
Aber was meinst du mit Folgendefition von Stetigkeit? Die Def die für Folgen gilt: f(x+1)> bzw < f(x) ?
Aber vielen Dank schonmal für die Antwort!
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Hiho,
> Ich bin mir nicht sicher, vielleicht weil sie einen
> anderen Wertebereich hat, weil die Lücke ja "drin" ist?
Ja, und vorallem hat sie einen anderen Definitionsbereich!
Ergo sind es zwei unterschiedliche Funktionen.
> Das ist mir kurz nach dem posten auch aufgefallen: Es geht
> nicht weil die Lücke da ja eine Polstelle ist und die
> stetigkeit dann wechselt (kann man das so sagen?!).
> Aber was meinst du mit Folgendefition von Stetigkeit? Die
> Def die für Folgen gilt: f(x+1)> bzw < f(x) ?
Nein, eine Funktion ist ja stetig, wenn für alle [mm] x_0 [/mm] gilt:
[mm]f(x_0) = \limes_{x \rightarrow x_0}f(x)[/mm]
Nun stellen wir also fest, dass bei deiner Funktion die Stetigkeit für alle [mm]x_0 \not= -1[/mm] eh gegeben ist. Wir wollen also nur noch wissen, was f(-1) sein muss, damit sie stetig ist. [mm]f(-1) = 1000[/mm] geht ja offensichtlich nicht 
Damit sie stetig ist, muss somit gelten:
[mm]f(-1) = \limes_{x\rightarrow -1}f(x)[/mm]
Beachte dabei, dass bei der Grenzwertbetrachtung ja gilt [mm]x \not= -1[/mm], d.h. wir können umformen:
[mm]\limes_{x\rightarrow -1}f(x) = \limes_{x\rightarrow -1}\bruch{x^2-1}{x+1} = \limes_{x\rightarrow -1}x-1 = -2[/mm]
Der Grenzwert existiert somit und ist -2.
Ergo muss f(-1) = -2 sein, damit die Funktion stetig ist.
Nun betrachte mal den Grenzwert bei h gegen die Definitionslücke.
Was ist mit dem Grenzwert?
Kann h also stetig sein?
MfG,
Gono.
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