Stetigkeit, Definitionsmenge < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Sa 07.10.2006 | | Autor: | lauravr |
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.)
Hallo alle zusammen,
ich habe eine Frage zum Zusammenhang von Stetigkeit und der Definitionsmenge.
Dieser ist mir, allgemein gesagt, noch unklar.
Haben wir z.B. f(x) = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] .
Diese Funktion ist für x = 0 nicht definiert. Ist die Funktion an der Stelle x = 0 dann unstetig, ist aber trotzdem eine stetige Funktion?
Sind Asymptoten "nur" Definitionslücken?
Und wie ist das mit f(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] .
An der Stelle x = 0 ist sie nicht differenzierbar, ist aber trotzdem eine stetige FUnktion?
Ich hoffe auf Hilfe.
Lieben Gruß, Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Sa 07.10.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin laura,
stetigkeit bedeutet, dass man die funktion in einem strich zeichnen kann, ohne abzusetzen, ohne unterbrechungen.
die funktion [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist an der Stelle null nicht stetig, da hier eine Definitionslücke ist.
die funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] ist an der stelle null m.e. stetig.
gruss
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 07.10.2006 | | Autor: | lauravr |
Hey, danke für die schnelle Antwort.
Also hieße das, dass Definitionslücken bzw. vertikale Asymptoten gleichzeitig immer unstetige Stellen sind? Funktionen für die nicht D = [mm] \IR [/mm] gilt sind also immer unstetig?
Was heißt denn "m.e. stetig" ?
Lg Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Disap |
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Hi, Laura,
> Also hieße das, dass Definitionslücken bzw. vertikale
> Asymptoten gleichzeitig immer unstetige Stellen sind?
Vorsicht! Wolfgang hat ganz bewusst nicht von "unstetig" gesprochen, sondern nur von "nicht stetig"!
Warum?
Die Frage nach der Stetigkeit (und somit auch Unstetigkeit) ist nur für Stellen innerhalb der Definitionsmenge sinnvoll.
An Stellen, die nicht zu Definitionsmenge gehören, ist die Funktion nicht stetig, aber auch nicht unstetig!
Ich will aus Deinem Beispiel mal eine unstetige Funktion machen:
g(x) = [mm] \begin{cases} \bruch{1}{x}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist nun wirklich unstetig bei x=0.
> Funktionen für die nicht D = [mm]\IR[/mm] gilt sind also immer
> unstetig?
Nein! Da gibt es mehr Gegenbeispiele als Beispiele, die diese "Vermutung" bestätigen würden.
> Was heißt denn "m.e. stetig" ?
Das "Problem" ist ja hier, dass x=0 Randstelle der Definitionsmenge ist. Eigentlich dürfte man dann nur von "einseitiger Stetigkeit" (in diesem Fall: "rechtsseitiger" Stetigkeit) sprechen. Die meisten (Schul-)Bücher machen aber hier keinen Unterschied und bezeichnen "einseitige Stetigkeit" AN RANDSTELLEN (!) auch als "Stetigkeit".
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:57 So 08.10.2006 | | Autor: | lauravr |
Wollte nur noch mal eine Rückmeldung geben.
Danke für die klärende Antwort.
Mir ist der Unterschied zwischen Stetig, nicht stetig und unstetig klar geworden.
Lg Laura
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