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| Aufgabe | Untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit:
y=|4x-x²| für -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5
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Als Vorbereitung auf mein Studium wurden mir Übungsaufgaben zur Verfügung gestellt. Bei dieser Aufgabe habe ich besonders große Probleme. Ich weiß nicht wie ich die Betragszeichen behandeln soll. Um die Funktion auf Stetigkeit zu untersuchen, habe ich zuerst die erste Ableitung gebildet. Man müsste aber theoretisch den Definitonsbereich vorher einschränken, um keine falschen Ergebnisse zu erhalten oder? Wenn dann die erste Ableitung [mm] \not= [/mm] 0 ist, wäre die Funktion stetig. (?)
Kann ich von der Stetigkeit auf die Differenzierbarkeit (oder andersrum) der Funktion schließen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, jessi,
> Untersuche die folgende Funktion auf Stetigkeit und
> Differenzierbarkeit:
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> y=|4x-x²| für -1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 5
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> Als Vorbereitung auf mein Studium wurden mir Übungsaufgaben
> zur Verfügung gestellt. Bei dieser Aufgabe habe ich
> besonders große Probleme. Ich weiß nicht wie ich die
> Betragszeichen behandeln soll.
Die musst Du "auflösen! (siehe unten!)
> Um die Funktion auf
> Stetigkeit zu untersuchen, habe ich zuerst die erste
> Ableitung gebildet.
Nein, nein! Die Ableitung brauchst Du erst für die Differenzierbarkeit!
> Man müsste aber theoretisch den
> Definitonsbereich vorher einschränken, um keine falschen
> Ergebnisse zu erhalten oder?
Wieso denn das? Die Funktion ist nur an den Stellen auf Stetigkeit und Dbk. zu untersuchen, die beim Auflösen der Betragsstriche als "kritische Stellen" entstehen!
> Wenn dann die erste Ableitung
> [mm] \not= [/mm] 0 ist, wäre die Funktion stetig. (?)
????????????????? ![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
Du solltest Dir die Begriffe erst mal anhand einer Formelsammlung klar machen; sonst wird das nix!
> Kann ich von der Stetigkeit auf die Differenzierbarkeit
> (oder andersrum) der Funktion schließen?
Könnte man schon, aber das ist hier nicht gemeint! Du sollst BEIDES getrennt nachweisen!
Nun erst mal zum Auflösen der Betragstriche.
Wie ist ein Betrag definiert?
Nun, so: |x| = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
Dabei steht das x nur als Platzhalter. Du musst also alles, was zwischen den Betragsstrichen steht (ggf. mit Klammer!) da einsetzen, wo in der Formel das x steht!
Bei Dir:
[mm] |4x-x^{2}| [/mm] = [mm] \begin{cases} 4x-x^{2}, & \mbox{für } 4x-x^{2} \ge 0 \\ -(4x-x^{2}), & \mbox{für } 4x-x^{2} < 0 \end{cases}
[/mm]
(wobei in Deinem Fall noch -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 zu berücksichtigen ist, aber das kann am Schluss geschehen!)
Leicht zu erkennen sind nicht die Funktionsterme, also [mm] 4x-x^{2} [/mm] bzw. [mm] -(4x-x^{2}) [/mm] = [mm] x^{2}-4x [/mm] das eigentliche Problem der Aufgabe, sondern die rechts stehenden Bedingungen [mm] 4x-x^{2} \ge [/mm] 0 bzw. < 0.
Dies sind "quadratische Ungleichungen"!
Wie löst man die?
Am besten GRAPHISCH:
Du skizzierst den Graphen der Funktion y = 4x - [mm] x^{2} [/mm] in ein Koordinatensystem! (Du hast sicher gleich erkannt, dass es sich dabei um eine nach unten geöffnete Parabel handelt mit den Nullstellen bei x=0 und x=4.)
Nun musst Du aus der Zeichnung ermitteln, für welche x-Intervalle die Parabel oberhalb der x-Achse [mm] (4x-x^{2} \ge [/mm] 0) liegt bzw. unterhalb (...<0).
Leicht zu sehen:
oberhalb für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4, unterhalb für x < 0 oder x > 4.
Das kannst Du nun wider oben einsetzen und der 1.Teil der Aufgabe, nämlich das Auflösen der Betragstriche, ist erledigt:
f(x) = [mm] |4x-x^{2}| [/mm] = [mm] \begin{cases} 4x-x^{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 4 \\ x^{2} - 4x, & \mbox{für } x < 0 \vee\ x > 4\end{cases}
[/mm]
Da in Deinem Fall noch -1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 5 zu berücksichtigen ist, müsste man etwas genauer schreiben:
f(x) = [mm] |4x-x^{2}| [/mm] = [mm] \begin{cases} 4x-x^{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 4 \\ x^{2} - 4x, & \mbox{für } -1 \le x < 0 \vee\ 4 < x \le 5\end{cases}
[/mm]
(Aber das ist eigentlich unerheblich, da die "kritischen Stellen", also diejenigen Stellen, an denen Du die Funktion auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit untersuchen sollst, ja ganz klar bei x=0 und x=4 liegen!
So: Und nun bist Du dran! Nachblättern, was es mit der STETIGKEIT auf sich hat.
(Mit der Ableitung hat das GAR NICHTS zu tun!)
Die Differenzierbarkeit nehmen wir uns später vor!
mfG!
Zwerglein
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