Stetigkeit/Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f:\IR^2 \to \IR
[/mm]
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2} , & \mbox{ } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
a)Untersuche auf Stetigkeit in [mm] \IR^2
[/mm]
b)Bestimme die partiellen Ableitungen von f in [mm] \IR^2\{(0,0)}
[/mm]
c)Ist f in (0,0) partiell differenzierbar? Wenn ja, ist f auch stetig partiell differenzierbar |
a) Kann mir nochmal jemand erklären wie man auf Stetigkeit überprüft? Stetigkeit an einer Stelle überprüft man, indem man die stetigkeitsstelle [mm] x_0 [/mm] einsetzt und den Grenzwert an der Stelle berechnet.
b) [mm] \bruch{df}{dx}=\bruch{x^4-4x^3y^2-2x^4}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dy}=\bruch{x^4+x^3y^2-x-2x^3y^5}{(x^2+y^2)^2}
[/mm]
c) Ist f in (0,0) partiell differenzierbar? Wenn ja, ist f auch stetig partiell differenzierbar
Wie kann ich das zeigen? Einfach null einsetzen und dann differenzieren geht ja so einfach nicht.
Über Tipps wäre ich dankbar!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 Fr 20.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f:\IR^2 \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2} , & \mbox{ } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}[/mm]
>
> a)Untersuche auf Stetigkeit in [mm]\IR^2[/mm]
> b)Bestimme die partiellen Ableitungen von f in
> [mm]\IR^2\{(0,0)}[/mm]
> c)Ist f in (0,0) partiell differenzierbar? Wenn ja, ist f
> auch stetig partiell differenzierbar
> a) Kann mir nochmal jemand erklären wie man auf
> Stetigkeit überprüft? Stetigkeit an einer Stelle
> überprüft man, indem man die stetigkeitsstelle [mm]x_0[/mm]
> einsetzt und den Grenzwert an der Stelle berechnet.
ja, das ist das Vorgehen - nur Du musst auch die Gleichheit zeigen (um die Stetigkeit an der Stelle nachzuweisen). Bzw. äquivalent formuliert: Es ist [mm] $f\,$ [/mm] (etwa als Funktion zwischen metrischen Räumen) genau dann stetig, wenn für jedes [mm] $x_0\,$ [/mm] aus dem Definitionsbereich gilt, dass für jede Folge aus dem Defintionsbereich der Funktion, die gegen [mm] $x_0$ [/mm] konvergiert, auch die Folge deren Bilder gegen den Funktionswert [mm] $f(x_0)$ [/mm] konvergiert.
Kurz:
Genau dann ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig in [mm] $x_0\,,$ [/mm] wenn gilt:
Jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,,$ [/mm] die nur [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] (mit [mm] $x_0$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$) [/mm] erfüllt, erfüllt auch [mm] $f(x_n) \to f(x_0)\,.$ [/mm] Letzteres kann man auch schreiben als [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x_n)=f(\lim_{n \to \infty}x_n)\,.$
[/mm]
Und [mm] $f\,$ [/mm] ist genau dann stetig, wenn [mm] $f\,$ [/mm] stetig in allen Stellen des Definitionsbereichs ist!
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Bei Deiner Aufgabe oben ist also die Stetigkeit für $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] trivial - denn dazu brauchst Du nur Rechenregeln für konvergente Folgen benutzen (beachte auch, dass gilt: Ist [mm] $((x_n,y_n))_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] so gilt [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)$ [/mm] genau dann, wenn die beiden Komponentenfolgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] (das sind Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] (!!)) erfüllen [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] (bzgl. des Betrags [mm] $|.|\,$ [/mm] in [mm] $\IR$)). [/mm] Beachte aber auch, dass, wenn eine Folge im [mm] $\IR^2$ [/mm] gegen einen Punkt [mm] $(x_0,y_0) \in \IR^2 \setminus \{(0,0)\}$ [/mm] konvergiert, es zwangsläufig so sein muss, dass ab einem gewissen Index [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] nicht mehr [mm] $(0,0)\,$ [/mm] sein können - anders gesagt: Es gibt nur endlich viele Indizes [mm] $m\,$ [/mm] so, dass [mm] $(x_m,y_m)=(0,0)\,.$
[/mm]
Und zur Stetigkeit in $(0,0):$
Gelte [mm] $z_n:=(x_n,y_n) \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $z_n \to (0,0)\,.$ [/mm] Es ist nur noch interessant, den Fall zu betrachten, dass alle [mm] $x_n \not=0$ [/mm] sind! (Warum?)
Hier hilft uns nun aber die Abschätzung
[mm] $$|f(x,y)|=|x^3/(x^2+y^2)|=|x|^3/(x^2+y^2) \le |x|^3/|x|^2 \le |x|\,.$$
[/mm]
(Wobei hilft sie uns?)
P.S.
![[]](/images/popup.gif) Link für 3D-Plots
Gruß,
Marcel
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Ich hab das mit der Stetigkeit absolut gar nicht verstanden. Könnt ihr mir das an diesem Beispiel vielleicht nochmal ausführlich erklären?
[mm] f(x,y)=\begin{cases}\bruch{x^3}{x^2+y^2} , & \mbox{} (x,y) \not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
1. Untersuche auf Stetigkeit in [mm] \IR^2\{0,0}
[/mm]
2. Ist f(0,0) partiell diffbar? Wenn ja, ist f auch stetig partiell diffbar?
Könnt ihr mir nochmal erklären, wie ich auf Stetigkeit untersuche?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Ist Dir die Abschätzung
$ [mm] |f(x,y)|=|x^3/(x^2+y^2)|=|x|^3/(x^2+y^2) \le |x|^3/|x|^2 \le |x|\,. [/mm] $
von Marcel klar ?
Wenn ja, dann haben wir:
$|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x|$ für alle (x,y) [mm] \in \IR^2.
[/mm]
Dann folgt doch:
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)
[/mm]
FRED
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nein, die Abschätzung ist mir leider nicht klar. Mir fehlt allgemein das Verständnsi, wie man Funktionen auf Stetigekit untersuchen kann. Es würde mir helfen, wenn ich das mal an einem Beispiel nachvollziehen kann, so dass mir das Vorgehen einleuchtet!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 So 22.04.2012 | | Autor: | fred97 |
Es gilt zunächst für x [mm] \ne [/mm] 0:
|f(x,y)|= [mm] \bruch{|x|^3}{x^2+y^2} \le \bruch{|x|^3}{x^2},
[/mm]
denn [mm] x^2+y^2 \ge x^2.
[/mm]
Wegen [mm] x^2=|x|^2 [/mm] haben wir:
|f(x,y)| [mm] \le \bruch{|x|^3}{|x|^2}=|x|,
[/mm]
also
|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x|.
Da f(0,y)=0 ist folgt:
(*) |f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x| für alle (x,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Ist nun [mm] ((x_k,y_k)) [/mm] eine Folge im [mm] \IR^2 [/mm] mit [mm] (x_k,y_k) \to [/mm] (0,0), so gilt: [mm] (x_k) [/mm] und [mm] (y_k) [/mm] sind Nullfolgen in [mm] \IR.
[/mm]
Aus (*) bekommen wir:
[mm] |f(x_k,y_k)| \le |x_k| [/mm] für alle k..
Also konvergiert [mm] (f(x_k,y_k)) [/mm] gegen 0 = f(0,0)
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 22.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathegirl,
> nein, die Abschätzung ist mir leider nicht klar. Mir fehlt
> allgemein das Verständnsi, wie man Funktionen auf
> Stetigekit untersuchen kann. Es würde mir helfen, wenn
> ich das mal an einem Beispiel nachvollziehen kann, so dass
> mir das Vorgehen einleuchtet!
Fred hat Dir nun ausführlich gezeigt, warum die Funktion stetig in [mm] $(0,0)\,$ [/mm] ist. (Er hat es zwar nicht direkt mit Folgenstetigkeit gezeigt, aber da könntest Du nun nochmal versuchen, es entsprechend umzuformulieren: Also dass Du wirklich mit Folgen arbeitest, und man die auch direkt als Folgen erkennt.)
Warum ist sie dies auch in [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$?
[/mm]
Ich hatte Dir gesagt, dass Stetigkeit nichts anderes als Folgenstetigkeit ist - jedenfalls bei Funktionen zwischen metrischen Räumen.
Was hast Du nun zu tun? Zu zeigen ist:
Für jede Folge [mm] $((x_n,y_n))_n \equiv (z_n)_n$ [/mm] im Definitionsbereich (hier der [mm] $\IR^2$) [/mm] von [mm] $f\,,$ [/mm] die nur [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to (x_0,y_0):=z_0$ [/mm] (bei $n [mm] \to\infty$) [/mm] erfüllt (bzgl. [mm] $\|.\|_2$), [/mm] ist zu zeigen, dass für die dann schon [mm] $f((x_n,y_n))=f(z_n) \to f(z_0)=f((x_0,y_0))$ [/mm] gilt. (Wenn das gezeigt werden kann, dann zeigt das die Stetigkeit in [mm] $z_0 \in D_f\,.$ [/mm] Wenn Du irgendeine Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] im Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] findest mit [mm] $\|z_n-z_0\|_2 \to [/mm] 0$ und aber [mm] $f(z_n) \not\to f(z_0)\,,$ [/mm] dann ist [mm] $f\,$ [/mm] unstetig in [mm] $z_0\,.$)
[/mm]
Es ist also zu zeigen:
Ist [mm] $(z_n)_n \equiv ((x_n,y_n))_n$ [/mm] nur IRGENDEINE Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] so, dass [mm] $\|z_n-z_0\|_2 \to 0\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $f(z_n) \to f(z_0)\,.$ [/mm] Für [mm] $z_0=(0,0)$ [/mm] ist das eigentlich schon erledigt worden.
Ich hab' Dir nun gesagt, dass im [mm] $\IR^2$ [/mm] nun [mm] $\|z_n -z_0\|_2 \to [/mm] 0$ genau dann, wenn die entsprechenden Komponentenfolgen von [mm] $(z_n)_n$ [/mm] gegen die entsprechende Komponente von [mm] $z_0$ [/mm] (in [mm] $\IR$) [/mm] konvergieren (nachlesen kannst Du das etwa in Bemerkung 8.17).
Jetzt schreibe ich Dir mal, was Du nun noch für [mm] $z_0 \in \IR^2\setminus \{(0,0)\}$ [/mm] machen sollst:
Auch hier gilt natürlich, dass wir zeigen wollen, dass, wenn [mm] $z_n \to z_0$ [/mm] (bzgl. [mm] $\|.\|_2$) [/mm] gilt, dass dann auch schon [mm] $f(z_n) \to f(z_0)$ [/mm] folgt:
Sei also [mm] $z_n \to z_0 \not=(0,0)\,.$
[/mm]
In der Komponentendarstellung [mm] $(z_n)_n=((x_n,y_n))_n$ [/mm] der Folge [mm] $(z_n)_n$ [/mm] und wenn wir [mm] $z_0$ [/mm] in Komponenten als [mm] $z_0=(x_0,y_0)$ [/mm] schreiben, haben wir dann wegen obiger Bemerkung 8.17 nur noch folgendes zu zeigen:
Wenn [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] UND [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] (mit [mm] $x_0,y_0$ [/mm] nicht beide [mm] $0\,$) [/mm] gelten, dann müssen wir alleine aus diesen Eigenschaften folgern, dass dann auch [mm] $f((x_n,y_n)) \to f((x_0,y_0))$ [/mm] gilt.
(Beachte bitte: Anstatt im [mm] $\IR^\red{2}$ [/mm] mit [mm] $z_n\,$ [/mm] und der Norm [mm] $\|.\|_2$ [/mm] zu arbeiten, arbeiten wir nun mit 2 reellen konvergente Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n\,.$)
[/mm]
Und damit ist das ganze, weil die beiden reellen Folgen ja konvergent sind, auf Rechenregeln für konvergente Folgen zurückgeführt, denn:
Es war
[mm] $$f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2} , & \mbox{ } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}\,.$$
[/mm]
Zu zeigen war noch für den Fall [mm] $z_0 \not=(0,0)$: [/mm]
Aus [mm] $\|z_n-z_0\|_2 \to [/mm] 0$ folgt [mm] $f(z_n) \to f(z_0)\,.$
[/mm]
In Komponentenschreibweise mit [mm] $z_n=(x_n,y_n)$ [/mm] und [mm] $z_0=(x_0,y_0)$ [/mm] ist das dann, wenn man es nur umformuliert, die Aussage, dass wir zu zeigen haben (wieder [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$):
[/mm]
Aus [mm] $\|(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)\| \to [/mm] 0$ folgt [mm] $f((x_n,y_n)) \to f((x_0,y_0))\,.$
[/mm]
Mit Bemerkung 8.17 erhalten wir eine äquivalente Aussage, mit der wir das ganze besser behandeln können, denn damit haben wir zu zeigen, wobei wieder [mm] $x_0,y_0$ [/mm] nicht beide gleichzeitig Null sein sollen:
Aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] folgt schon, dass [mm] $f((x_n,y_n)) \to f((x_0,y_0))\,.$
[/mm]
Und damit können wir "leicht(er)" arbeiten, denn [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] sind beides konvergente Folgen in [mm] $\IR,$ [/mm] (es gilt ja [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] - und beachte auch, dass wir hier den Fall [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)$ [/mm] behandeln!) und es gilt
[mm] $$f((x_n,y_n))=\bruch{x_n^3}{x_n^2+y_n^2}$$
[/mm]
wenn man ohne Einschränkung annimmt, dass alle [mm] $(x_n,y_n) \not=(0,0)$ [/mm] sind! (Man muss allerdings hier, auch unter Beachtung von [mm] $(x_0,y_0) \not=(0,0)\,,$ [/mm] begründen, warum diese Annahme wirklich keine Einschränkung ist!)
Und daran darfst Du Dich jetzt mal versuchen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Mo 23.04.2012 | | Autor: | heinze |
Stetigkeit ist mir total fremd. Definitionen und abstrakte Erläuterungen amchen mir das noch nicht schlüssig. Könnt ihr mir an einem Beispiel erklären wie man auf Stetigkeit untersucht? Wie genau man Schritt für Schritt dabei vorgeht?
Ich greife mal das Beispiel vom Mathegirl auf:
[mm] f(x,y)=f(n)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{} (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}
[/mm]
a) Untersuche auf Stetigkeit in [mm] \IR^2
[/mm]
Stetigkeit ist vorhanden, wenn Zähler dtetig und Nenner stetig. Wie aber zeige ich das? Da war was mit [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] aber das leuchtet mir nicht ein.
Könnt ihr das mal an einem Beispiel schrittweise erläutern?
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
versthst du denn Stetigkeit eindimensional? Deine darstelung stetigm wenn Z und N stetig sind ist einfach falsch. wenn bei
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2}, & \mbox{} (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases} [/mm] $
du [mm] \bruch{x^2}{x^2+y^2} [/mm] hättest wäre die Funktion nicht stetig!
Die Grundidee von stetigkeit in einem Punkt ist: wenn du Punkte in einer kleinen Umgebung drs Punktes nimmst Dann sind die Funktionswerte auch nahe beieinander. Das wird so festgestellt: ich sage dir einen Abstand der funktionswerte, den sie höchstens haben durfen, den nenn ich [mm] \epsilon [/mm] dann musst du mir sagen wie nahe ich an den Punkt ran musszB
[mm] x^2 [/mm] an der Stööe x=4 f(4)=16 jetz sag ich dir gib mir due x an, so dass |f(4)-f(x)]<0.1 ist , dann sagst du dann nimm deine x aus 3,99<x<4,01 ich überprüfe und wirklich f(3,99)=15.92 und 16-14.92=0.06<0.1 ebenso [mm] 4.01^2=16,08
[/mm]
dann sag ich aber jetzt sag mir die x so dass |f(4)-f(x)]<0.001 ist und du musst mir wieder welche sagen. Wenn dir das zu dumm wird sagst du es mir für die allgemeine zahl [mm] \epsilon
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Mo 23.04.2012 | | Autor: | heinze |
Danke für die Erklärung, aber verstanden hab ich es noch immer nicht. Das Prinzip ist ja irgendwie klar aber so kann ich doch nicht jeden Funktion untersuchen, abgesehen davon hab ich keine Stelle für die ich Stetigkeit prüfen soll.
Stetigkeit scheint das große Thema zu sein, das ich weder in der Schule noch in der Uni verstanden habe. Auch nicht im Eindimensionalen. Ich hoffe , dass ich das irgendwann noch verstehen werde.
LG
heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
hoer hast du die einzige kritische Stelle (0,0) in allen anderen Punkten ist der nenner stetig UND ungleich 0 der zähler auch und richtig ist_ wenn f,g stetig in a und [mm] g\ne [/mm] 0, dann auch f/g stetig in a
Wegen der Regeln dass f+g ,f*g und f/g [mm] (g\ne0) [/mm] stetig sind musst du ja auch nicht jede fkt, in jedem pkt untersuchen, sondern kapieren was steig bedeutet und das an kritischen Stellen untersuchen. x ist stetig, 1 ist stetig, also auch 1/x für [mm] x\ne0 [/mm] ebenso [mm] x^n [/mm] damit polynome Polynome usw.
Das erste was man tun muss, wenn man etwas nicht versteht ist sich hinsetzen und nicht einfach sagen "versteh ich nicht", sondern durch gründliches nachdenken und lesen fesstellen an welchem Punkt man aushakt, und sich den dann erklären lassen.
das hat nichts damit zu tun, dass man dann bei einer schwierigen funktion doch noch technische hilfe braucht, denn die eigentlichen Beweise fr stetigkeit benutzen auch mal Tricks oder Techniken, die man erst mit der übung immer besser kann bzw. sieht.
gruss leduart
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Danke fpr die Tipps, Stetigkeit habe ich nun überprüft und ich denke es auch verstanden zu haben. Für [mm] f(x,y)\not=(0,0) [/mm] ist die Funktion stetig. Im Nullpunkt ist sie unstetig, ich habe mich mit verschiedenen Geraden der Funktion angenähert und gesehen dass der Grenzwert nicht überein stimmt.
b) Die partiellen Ableitungen waren hier simpel...
c) Ist f in (0,0) partiell differenzierbar?
Wie genau amche ich das? wenn ich nach x ableite muss y=0 und wenn ich nach y ableite muss x=0? das ist mir noch nicht klar.
Ebenso: Ist f auch stetig partiell differenzierbar? Wie zeige ich das?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke fpr die Tipps, Stetigkeit habe ich nun überprüft
> und ich denke es auch verstanden zu haben. Für
> [mm]f(x,y)\not=(0,0)[/mm] ist die Funktion stetig.
Du meinst wohl, dass f in allen Punkten (x,y) mit (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) stetig ist.
> Im Nullpunkt ist
> sie unstetig, ich habe mich mit verschiedenen Geraden der
> Funktion angenähert und gesehen dass der Grenzwert nicht
> überein stimmt.
Wie hast Du das denn gemacht ? Wir sind doch immer noch bei
$ [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x^3}{x^2+y^2} , & \mbox{ } (x,y)\not=(0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y)=(0,0) \end{cases}\,. [/mm] $
Wenn ja, so ist dieses f tadellos stetig in (0,0). Das habe ich Dir doch vorgemacht !
>
> b) Die partiellen Ableitungen waren hier simpel...
>
> c) Ist f in (0,0) partiell differenzierbar?
> Wie genau amche ich das? wenn ich nach x ableite muss y=0
> und wenn ich nach y ableite muss x=0? das ist mir noch
> nicht klar.
Für partielle Diferenzierbarkeit nach x in (0,0) mußt Du untersuchen, ob der Grenzwert
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t} [/mm] $
existiert oder nicht.
Für partielle Diferenzierbarkeit nach y in (0,0) mußt Du untersuchen, ob der Grenzwert
$ [mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t} [/mm] $
existiert oder nicht.
> Ebenso: Ist f auch stetig partiell differenzierbar? Wie
> zeige ich das?
f heißt stetig partiell differenzierbar, wenn f partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen stetig sind
FRED
>
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Sorry, Tippfehler, f ist in (0,0) nicht stetig:
[mm] \limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2}=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}x [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{(0,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{y^2}=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)} [/mm] 0 = 0
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2+x^2}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{x^3}{2x^2} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
also Unstetigkeit im Nullpunkt.
So hab ich das gemacht, wie bei einem Beispiel, dass ich in einem Buch gefunden habe.
> Für partielle Diferenzierbarkeit nach x in (0,0) mußt Du
> untersuchen, ob der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}[/mm]
>
> existiert oder nicht.
der Grenzwert ist hier 1
> Für partielle Diferenzierbarkeit nach y in (0,0) mußt Du
> untersuchen, ob der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}[/mm]
>
> existiert oder nicht.
Der Grenzwert ist in dem Fall 0
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sorry, Tippfehler, f ist in (0,0) nicht stetig:
>
> [mm]\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2}=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}x[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
Unsinn , der GW =0 !!!
Nochmal: f ist stetig im Ursprung .
>
> [mm]\limes_{(0,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{0}{y^2}=\limes_{(x,0)\rightarrow (0,0)}[/mm]
> 0 = 0
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\bruch{x^3}{x^2+x^2}=\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{x^3}{2x^2}[/mm]
> = [mm]\infty[/mm]
>
> also Unstetigkeit im Nullpunkt.
>
> So hab ich das gemacht, wie bei einem Beispiel, dass ich in
> einem Buch gefunden habe.
>
> > Für partielle Diferenzierbarkeit nach x in (0,0) mußt Du
> > untersuchen, ob der Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0)-f(0,0)}{t}[/mm]
> >
> > existiert oder nicht.
>
> der Grenzwert ist hier 1
Ja
>
> > Für partielle Diferenzierbarkeit nach y in (0,0) mußt Du
> > untersuchen, ob der Grenzwert
> >
> > [mm]\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(0,t)-f(0,0)}{t}[/mm]
> >
> > existiert oder nicht.
>
> Der Grenzwert ist in dem Fall 0
Ja
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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ich verstehe aber nicht warum f im ursprung stetig ist!! dann müsste das ja mit meinem lösungsweg auch herausfindbar sein!! denn diesen lösungsweg haben wir auch in der übung durchgesprochen!
MfG
Mathegirl
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> ich verstehe aber nicht warum f im ursprung stetig ist!!
Hallo,
Fred hat Dir ja vorgemacht, daß die Funktion im Ursprung stetig ist.
Ich fand sein Tun überzeugend.
Du nicht?
An welcher Stelle hast Du Kritik anzubringen?
Du solltest schon sagen, was er falsch gemacht hat...
> dann müsste das ja mit meinem lösungsweg auch
> herausfindbar sein!!
Nun haben wir einen echten Schlamassel: hast Du recht, oder hat Fred recht?
Die Erfahrung lehrt: Fred. Irgendwie hat er's doch ein bissele mehr drauf - rein mathematisch gesehen...
Aber natürlich ist das kein gutes Argument. Gucken wir also, was Du getan hast:
Du möchtest die Stetigkeit widerlegen, indem Du zwei gegen den Ursprung konvergierende Folgen so angibst, daß die Folgen der Funktionswerte verschiedene Grenzwerte haben.
Bloß: wenn Du die Korrektur beachtet hast, dann weißt Du, daß Deine Folgen allesamt gegen denselben Grenzwert konvergieren. Nämlich gegen 0.
Also ist damit keine Unstetigkeit gezeigt.
Stetigkeit aber auch nicht, denn dafür reichen zwei Folgen nicht. Auch nicht drei.
> denn diesen lösungsweg haben wir auch
> in der übung durchgesprochen!
In der Übung habt Ihr besprochen, wie man mithilfe zweier Folgen Stetigkeit widerlegen kann.
Wäre auch alles schön gewesen, wären die Grenzwerte wirklich verschieden. Sind sie aber nicht.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > ich verstehe aber nicht warum f im ursprung stetig ist!!
>
> Hallo,
>
> Fred hat Dir ja vorgemacht, daß die Funktion im Ursprung
> stetig ist.
> Ich fand sein Tun überzeugend.
Danke.
> Du nicht?
> An welcher Stelle hast Du Kritik anzubringen?
> Du solltest schon sagen, was er falsch gemacht hat...
>
> > dann müsste das ja mit meinem lösungsweg auch
> > herausfindbar sein!!
>
> Nun haben wir einen echten Schlamassel: hast Du recht, oder
> hat Fred recht?
> Die Erfahrung lehrt: Fred. Irgendwie hat er's doch ein
> bissele mehr drauf - rein mathematisch gesehen...
Danke.
> Aber natürlich ist das kein gutes Argument.
Schade.
FRED
> Gucken wir
> also, was Du getan hast:
>
> Du möchtest die Stetigkeit widerlegen, indem Du zwei gegen
> den Ursprung konvergierende Folgen so angibst, daß die
> Folgen der Funktionswerte verschiedene Grenzwerte haben.
> Bloß: wenn Du die Korrektur beachtet hast, dann weißt
> Du, daß Deine Folgen allesamt gegen denselben Grenzwert
> konvergieren. Nämlich gegen 0.
> Also ist damit keine Unstetigkeit gezeigt.
> Stetigkeit aber auch nicht, denn dafür reichen zwei
> Folgen nicht. Auch nicht drei.
>
> > denn diesen lösungsweg haben wir auch
> > in der übung durchgesprochen!
>
> In der Übung habt Ihr besprochen, wie man mithilfe zweier
> Folgen Stetigkeit widerlegen kann.
> Wäre auch alles schön gewesen, wären die Grenzwerte
> wirklich verschieden. Sind sie aber nicht.
>
> LG Angela
>
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Das ist für mich alles total abstrakt mit den Abschätzungen, da habe ich keine idee wie man darauf kommt. Wenn ich die Erklärung von Fred verstehen würde oder von anderen hier im Forum, dann hätte ich es längst vorher in den Lehrbüchern auch kapiert.
Daher war das was ich gemacht hab das für mich so ziemlich einzig verständliche und so hatten wir in Übungen Stetigkeit gezeigt oder wiederlegt..
Anders verstehe ich es hier bei dem Besipiel nicht!
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein haupt fehler war
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch {x^3}{x^2}=\limes_{x\rightarrow 0}x [/mm] =?
hier hast du für ? [mm] \infty [/mm] geschrieben, und niemand weiss, wie du auf dieses [mm] \infty [/mm] kamst"
Gruss leduart
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Hm ja...ich hab wohl nicht betrachtet dass der Grenzwert gegen Null laufen muss. Dann gehen also alle Grenzwerte gegen Null und somit ist die Funktion stetig im Nullpunkt.
Meine Frage ist einfach, ob ich das Prinzip immer so anwenden kann, ob das so korrekt ist. Denn ein anderes Verfahren ist mir nicht bekannt und Abschätzungen wie es hier gezeigt wurde, da weiß ich nicht wie man darauf kommt.
Und muss ich zeigen /wie muss ich zeigen, dass die Funktionen in [mm] (x,y)\not= [/mm] stetig ist? Oder kann ich davon einfach ausgehen?
MfG
Mathegirl.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Abschätzungen MUSS man üben und lernen, Dein vorgehen ist deshalb falsch, weil du nur entlang eines spezielen weges bzw auf 2 speziellen Wegen auf (0,0) zuläfst, entlang der x- Achse und entlang der y Achse.
Wenn du in einem Gebirge (und so kansst du dir ein f(x,y) vorstellen wanderst, gibt es oft einen oder mehrere wege, auf denen du brav(stetig) auf einen Punkt zulaufen kannst, aber auf einem anderen weg landest du plözlich an einem Absturz, und kämst nur mit einem Sprung uf den Punkt. stetig ist aber f(x,y) nur, wenn du auf allen Wegen brav zu dem punkt wandern kannst.
es gibt hier einen Trick: setze x=r*cost y=r*sint wenn du alle t durchläufst und r auf 0 zugehen lässt, hast du ALLE punkte in der Umgebung von (0,0) erreicht. wegen [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] hättest du hier dann mit r gegen 0
[mm] \limes_{r\rightarrow 0}\bruch{r^3*cos^3(t)}{r^2}=\limes_{r\rightarrow 0}r*cos^3(t) [/mm] und das ist 0 unabhängig von t
stünde da aber im Zähler [mm] x^2 [/mm] statt [mm] x^2 [/mm] hättest du
[mm] \limes_{r\rightarrow 0}\bruch{r^2*cos^2(t)}{r^2}=\limes_{r\rightarrow 0} cos^2(t) [/mm] und das wäre zwar für t=±˜pi/2 0 aber auf anderen wegen nicht. also unstetig in 0
hier 2 Bilder einmal das Gebirge mit [mm] x^2 [/mm] im Z und abgrund auf manchen Wegen, dann dein Gebirge
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für die nette Erklärung! Aber da kommt mir wieder die Frage auf warum ich sin und cos wählen darf. darf ich das bei ejder Funktion? An solchen Dingen hakt es immer. Vom Prinzip her ist das alles verstanden aber komme halt nicht selbst darauf!
danke nochmal für eure Geduld und guten Erklärungen :)
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die nette Erklärung! Aber da kommt mir
> wieder die Frage auf warum ich sin und cos wählen darf.
> darf ich das bei ejder Funktion? An solchen Dingen hakt es
> immer. Vom Prinzip her ist das alles verstanden aber komme
> halt nicht selbst darauf!
ich hab's Dir mehrmals gesagt (vielleicht an anderer Stelle), was man bei sowas eigentlich tut:
Polarkoordinatendarstellung. Beachte aber, dass Du dann Länge und Winkel variieren kannst, wenn Du im [mm] $\IR^2$ [/mm] "rumläufst".
Und wenn Du noch genauer bist, kannst Du ja mal generell über "Koordinatentransformationen" nachdenken, und was man dabei jedenfalls nicht verlieren sollte... oder anders gesagt: Welche Eigenschaften solche "mindestens" haben sollten, um bei Stetigkeitsuntersuchungen sinnvoll verwendet werden zu können.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 25.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
warum du sin und cos nehmen darfst hab ich gesagt, weil du mit allen t alle punkte in ner kreisscheibe um 0 erfasst hast. der GW muss dann unabh von t 0 dem funktionswert an der Stelle sein.
Dass du da nicht selbst drauf kommst ist klar, so "Tricks" aber einmal gesehen, kann man sich merken. immer klappt es damit nicht, aber mit vielen als aufgaben gestelten Funktionen. Ich hoffe du hast eingesehen, dass dein Weg nicht richtig war.
Aber nochma zurück. fred hatte dir einen Weg gut erklärt, warum du darauf nicht eingegangen bist, oder nachgefragt hast verstehe ich nicht. erstmal muss man viele abschätzungen nachvollzogen haben, dabei werden immer wieder ähnliche methoden verwendet, wie nenner verkleinern vergrößert einen bruch, Zähler vergr. vergr. einen Bruch und so was musst du einfach oft genug erstmal nachvollziehen, dann kannst du es nach einiger zeit selbständig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Mi 25.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathegirl!
Du stellst hier aber auch fast ausschließlich allgemeine Fragen; d.h. Du formulierst an keiner Stelle, wo genau das Problem sitzt bzw. was konkret Deine Frage ist. Und bis auf eine kurze Stelle (auf welches sich auch leduarts letzte Antwort bezieht), hast Du noch nichts gerechnet oder anderweitig formuliert.
Um die konkret helfen zu können, musst Du auch konkrete Knackpunkte benennen.
Gerade bzw. insbesondere die letzte Antwort von angela.h.b. mit ihren Ausführungen und Erläuterungen fand ich sehr gut!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Do 26.04.2012 | | Autor: | triad |
>
> f heißt stetig partiell differenzierbar, wenn f partiell
> differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen stetig
> sind
>
Das bedeutet doch, dass man die beiden part. Abl., die übrigens so
$ [mm] \partial_1f [/mm] = [mm] \bruch{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
$ [mm] \partial_2f [/mm] = [mm] -\bruch{2x^3y}{(x^2+y^2)^2} [/mm] $
aussehen, wieder mühsam auf Stetigkeit im [mm] \IR^2 [/mm] untersuchen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Do 26.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > f heißt stetig partiell differenzierbar, wenn f partiell
> > differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen stetig
> > sind
> >
>
> Das bedeutet doch, dass man die beiden part. Abl., die
> übrigens so
>
> [mm]\partial_1f = \bruch{x^4+3x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> [mm]\partial_2f = -\bruch{2x^3y}{(x^2+y^2)^2}[/mm]
>
> aussehen, wieder mühsam auf Stetigkeit im [mm]\IR^2[/mm]
> untersuchen muss?
wo sehen die so aus? Oder mal anders gefragt:
Sehen die an der Stelle [mm] $(0,0)\,$ [/mm] auch so aus?
Und "mühsam" ist so eine Sache: Stetigkeit ist hier gleichbedeutend mit Folgenstetigkeit (da metrischer Raum), wer mit konvergenten Folgen kann - und das lernt man in der Oberstufe, zumindest zu meiner Schulzeit war das so - hat eigentlich gewonnen.
Unter der Annahme, dass Du die obigen partiellen Ableitungen korrekt berechnet hast, erkenne ich ohne Mühe - selbst wenn ich noch nicht weiß, dass Summen stetiger Funktionen stetig sind etc. pp. - alleine mit den Rechenregeln für konvergente Folgen, dass die partiellen Ableitungen stetig auf [mm] $\IR^2\setminus \{(0,0)\}$ [/mm] sind.
Gruß,
Marcel
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Welche Rechenregeln genau meinst du Marcel?
Kann ich das alleine mit den Rechenregeln zeigen? Oder muss ich wieder Nullfolgen finden und damit überall prüfen ob Stetigkeit vorliegt?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Do 26.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
nur in (0,0) musst du prüfen, im Rest gilt dasselbe für die stetigkeit wie schon bei der fkt selbst.
was ist die part. Ableitung in 0?
Gruss leduart
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Ich habe noch das Problem zwischen partiell differenzierbar in (0,0) und stetig partiell differenzierbar.
partiell differenzierbar:
hier muss ich die partiellen ableitungen bilden indem ich y 0 setze oder eben x 0 setze und dann ableite.
z.B. [mm] \bruch{df}{dx}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3x^2*x^2-x^3*2x}{x^4}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^4}{x^4}=0
[/mm]
und das selbe für y. Es existiert in beiden Fällen ein Grenzwert, alsi liegt partielle differenzierbarkeit in (0,0) vor.
Nur bei stetig partiell differenzierbar bin ich mir noch nicht so ganz sicher wie ich das mache.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 26.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche Rechenregeln genau meinst du Marcel?
Rechenregeln für konvergente Folgen - genau das, was ich auch geschrieben habe. Ich werde nun nicht jede einzelne davon wiederholen.
> Kann ich das alleine mit den Rechenregeln zeigen?
An jeder Stelle $(x,y) [mm] \not=(0,0)$ [/mm] schon:
Du hast dann zu zeigen: Aus [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0$ [/mm] - wobei mindestens eine der Variablen [mm] $x_0$ [/mm] bzw. [mm] $y_0$ [/mm] nicht Null sei, folgt schon etwa [mm] $\partial f_1(x_n,y_n) \to \partial_1 f(x_0,y_0)\,.$
[/mm]
> Oder muss
> ich wieder Nullfolgen finden und damit überall prüfen ob
> Stetigkeit vorliegt?
Die Stelle [mm] $(0,0)\,$ [/mm] muss halt gesondert betrachtet werden - was sich in vollkommen einfacher Weise aus dem Zusammenhang ergibt.
P.S.
Ich mache mal ein einfaches anderes Beispiel:
Die Funktion $d: [mm] \IR^2 \setminus \{(a,0): a \in \IR\} \to \IR$ [/mm] gegeben durch [mm] $d(x,y):=d((x,y)):=x/y\,$ [/mm] ist stetig (diese Aussage ist nichts anderes als die Behauptung, dass die uns bekannte Division in [mm] $\IR$ [/mm] überall dort, wo sie denn erlaubt ist,auch stetig abläuft):
Sei dazu [mm] $z_0 \in \IR^2 \setminus \{(a,0): a \in \IR\}\,,$ [/mm] also [mm] $z_0=(x_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $y_0 \not=0\,.$ [/mm]
Sind [mm] $z_n=(x_n,y_n) \in \IR^2 \setminus \{(a,0): a \in \IR\}$ [/mm] mit [mm] $z_n=(x_n,y_n) \to z_0=(x_0,y_0)\,,$ [/mm] also [mm] $\|z_n-z_0\|_2 \to 0\,,$ [/mm] so folgt sowohl [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] als auch [mm] $y_n \to y_0\,.$
[/mm]
Zudem gilt
[mm] $$d(z_n)=d((x_n,y_n))=d(x_n,y_n)=x_n/y_n\,,$$
[/mm]
wobei wir hier auch wegen [mm] $y_n \to y_0 \not=0$ [/mm] ohne Einschränkung die Annahme hätten treffen dürfen, dass alle [mm] $y_n \not=0$ [/mm] sind - aber wir brauchen das noch nicht mal anzunehmen, denn das wissen wir: Schließlich sind ja alle [mm] $(x_n,y_n)$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $d\,.$
[/mm]
Weil die Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] bzw. [mm] $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Folgen sind, und zwar (s.o.) konvergent gegen [mm] $x_0$ [/mm] bzw. [mm] $y_0 \not=0\,,$ [/mm] erhalten wir "mit der Rechenregel für den Quotienten gebildet aus konvergenten Folgen, wobei bei der Nennerfolge (fast) alle Folgenglieder und auch der Grenzwert [mm] $\not=0$ [/mm] seien, sodann
[mm] $$\lim_{n \to \infty}d(z_n)=\lim_{n \to \infty} (x_n/y_n)=(\lim x_n)/(\lim y_n)=x_0/y_0\,.$$
[/mm]
Da aber [mm] $d(z_0)=d((x_0,y_0))=d(x_0,y_0)=x_0/y_0$ [/mm] war und [mm] $(z_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge im Definitionsbereich von [mm] $d\,,$ [/mm] die gegen [mm] $z_0$ [/mm] aus dem Definitionsbereich von [mm] $d\,$ [/mm] konvergiert, gilt für alle Folgen im Definitionsbereich von [mm] $d\,,$ [/mm] die gegen [mm] $z_0$ [/mm] konvergieren, dass die Folge der Bilder [mm] $d(z_n)$ [/mm] gegen [mm] $d(z_0)$ [/mm] konvergieren - das ist die behauptete Stetigkeit von [mm] $d\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $z_0\,.$ [/mm] Weil [mm] $z_0$ [/mm] irgendeine Stelle des Definitionsbereichs von [mm] $d\,$ [/mm] war, ist [mm] $d\,$ [/mm] damit an allen Stellen des Definitionsbereichs stetig. Anders gesagt: [mm] $d\,$ [/mm] ist nun als stetig erkannt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mo 30.04.2012 | | Autor: | Fincayra |
| Aufgabe | $ f(x, y) := [mm] \begin{cases} \bruch{xy}{x^2 + y^2}, (x,y) \not= (0,0) \\ 0, (x,y) = (0,0) \end{cases} [/mm] $
Beh.: Die Funktion ist in (0,0) nicht stetig.
Bew.: Betrachte $ [mm] (x_k [/mm] , [mm] y_k) [/mm] := ( [mm] \bruch{1}{k} [/mm] , [mm] \bruch{1}{k}) [/mm] $ . Es gilt [mm] (x_k [/mm] , [mm] y_k) {k\rightarrow\infty} [/mm] (0,0). Es gilt $ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} f(\bruch{1}{k}, \bruch{1}{k}) [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch {\bruch{1}{k^2}}{2* \bruch{1}{k^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 0 = f(0,0) $ |
Hi
Ich hab mir grad nicht das ganze Thema durchgelesen muss ich gestehen. Meine Frage ist auch zur Stetigkeit, aber evtl hilft sie ja sogar den anderen weiter, denn ich mag mal abtippen, was uns in der Übung erklärt wurde *siehe oben bei der Frage*
Das ist ja jetzt schön und gut, ich kann das auch verstehen und nachvollziehen. Aber in jedem blöden Beispiel funktioniert das mit [mm] \bruch{1}{k}, [/mm] nur in unseren Aufgaben nie. Wie finde ich denn da eine Funktion die passt? Das "scharfe Hinsehen" klappt bei mir einfach nicht.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 30.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Unstetigkeit kann man mit einer einzigen Folge, die einen "falschen" GW hat zeigen. Für Stetigkeit muss es für ALLE folgen [mm] (x_n.y_n) [/mm] gegen denselben GW konvergieren, also hilft es gar nichts ein oder 2 oder 10 Folgen zu betrachten.
es gibt die 2 Möglichkeiten a) für beliebige Folgen, wie felix es vorgerechnet hat (Folgenstetigkeit) oder mit x0rcost, y=rsint r gegen0 das entspricht der eps-delta Stetigkeit.
beides findest du im thread. da die fkt hier stetig ist wirst du keine folge finden die nicht gegen 0 konv.
Gruss leduart
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