Stetigkeit, Extremstellen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:[0,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{|x^{2}-4|}), & \mbox{für } x \not=2 \\ 0, & \mbox{für } x = 2 \end{cases}
[/mm]
gegeben.
(i) Prüfen Sie die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle x = 2
(ii) Bestimmen Sie die Extremstellen von f und prüfen Sie, ob f ein globales Minimum hat und ob f ein globales Maximum hat. Bestimmen Sie weiter alle Intervalle auf denen f streng monoton ist. |
Guten Morgen,
habe bei der Aufgabe so meine Probleme. Wie gehe ich bei solch einer Aufgabe am besten vor? Habe folgendes bei (i) versucht:
Fall 1: Sei x=2: Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] beliebig. Wähle [mm] \delta:= [/mm] , dann gilt:
|f(x)-f(2)| = |f(x)| = [mm] |exp(\bruch{-1}{|x^{2}-4|})|
Und hier hört es leider schon auf bei mir. Ist hier die epsilon delta methode überhaupt die richtige? Hoffe ihr könnt mir helfen.
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> Sei [mm]f:[0,\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} exp(\bruch{-1}{|x^{2}-4|}), & \mbox{fuer} x \not=2 \\ 0, & \mbox{fuer} x = 2 \end{cases}[/mm]
>
> gegeben.
>
> (i) Prüfen Sie die Stetigkeit der Funktion f an der Stelle
> x = 2
> (ii) Bestimmen Sie die Extremstellen von f und prüfen
> Sie, ob f ein globales Minimum hat und ob f ein globales
> Maximum hat. Bestimmen Sie weiter alle Intervalle auf denen
> f streng monoton ist.
> Guten Morgen,
>
> habe bei der Aufgabe so meine Probleme. Wie gehe ich bei
> solch einer Aufgabe am besten vor? Habe folgendes bei (i)
> versucht:
>
> Fall 1: Sei x=2: Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] beliebig. Wähle
> [mm]\delta:=[/mm] , dann gilt:
> |f(x)-f(2)| = |f(x)| = [mm]|exp(\bruch{-1}{|x^{2}-4|})|
Die letzte Abschätzung ist für x nahe 2 viel zu grob. [mm] \exp(-x^2) [/mm] geht für [mm] x\to2 [/mm] gegen [mm] \exp(-1/4) [/mm] und nicht mehr gegen 0.
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> Und hier hört es leider schon auf bei mir. Ist hier die
> epsilon delta methode überhaupt die richtige? Hoffe ihr
> könnt mir helfen.
Ich würde hier nicht mit dem [mm] \varepsilon-\delta [/mm] Kriterium arbeiten, sondern links und rechtsseitigen GW der Funktion für [mm] x\to\pm2 [/mm] ermitteln. Wenn beide 0 sind, so ist die Funktion stetig.
Man sieht, für [mm] x\to [/mm] 2 geht der Nenner von [mm] z=\frac{-1}{|x^2-4|}, [/mm] unabhängig ob links- bzw. rechtsseitiger Grenzwert, stark gegen +0 und der Zähler ist konstant und negativ. Folglich geht [mm] \exp(z)\to [/mm] 0, [mm] x\to2. [/mm] Also ist [mm] \lim_{x\to2}f(x)=0 [/mm] und die Funktion in x=2 stetig.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
*BATSCH* manchmal hat man echt ein Brett vorm Kopf. Danke :). Nun wie sieht es nun mit den Extremstellen aus? Erst mal die erste Ableitung bestimmt: Fall 1: x>2: f'(x) = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 [mm] =\bruch{2xe^{\bruch{1}{(x^{2}-4)}}}{(x^{2}-4)^{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 0
Fall 2: x<2: f'(x)= 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] -\bruch{2xe^{\bruch{1}{(4-x^{2})}}}{(x^{2}-4)^{2}} \Rightarrow [/mm] x = 0
Nun erst mal ist dies soweit richtig? Nun ja nun könnte ich die zweite Ableitung jeweils wieder bilden, aber gibt es da keine schneller Methode?
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> *BATSCH* manchmal hat man echt ein Brett vorm Kopf. Danke
> :). Nun wie sieht es nun mit den Extremstellen aus? Erst
> mal die erste Ableitung bestimmt: Fall 1: x>2: f'(x) = 0
> [mm]\gdw[/mm] 0 [mm]=\bruch{2xe^{\bruch{1}{(x^{2}-4)}}}{(x^{2}-4)^{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0
>
> Fall 2: x<2: f'(x)= 0 [mm]\gdw[/mm] 0 =
> [mm]-\bruch{2xe^{\bruch{1}{(4-x^{2})}}}{(x^{2}-4)^{2}} \Rightarrow[/mm]
> x = 0
>
> Nun erst mal ist dies soweit richtig? Nun ja nun könnte
> ich die zweite Ableitung jeweils wieder bilden, aber gibt
> es da keine schneller Methode?
Die Ableitungen sehen gut aus.
Man kann den Betrag auch in der Ableitung stehen lassen, wenn man verwendet [mm] \left(\frac{-1}{|x^2-4|}\right)'=\frac{1}{|x^2-4|}\frac{2x}{x^2-4}. [/mm]
Dann brauch man nur einmal die FU zu machen (um obige Ableitung zu erhalten) und dann kann man immer ohne FU mit Kettenregel ableiten.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Die Aufgabestellung habe ich eins zu eins abgetippt. Die Stelle x = -2 wurde dabei nicht erwähnt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:46 So 27.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Das hat sich eh geklärt.
Die Funktion ist nur auf [mm] [0,\infty) [/mm] definiert.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Wie kommst du denn auf diese Ableitung?
Nach Kettenregel gilt:( [mm] \bruch{-1}{|x^{2}-4|})'=\bruch{1}{|x^{2}-4|^{2}} *(|x^{2}-4|)'
[/mm]
Hm und nun? Wie erhalte ich die Abeitung von [mm] (|x^{2}-4|)' [/mm] ?
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> Wie kommst du denn auf diese Ableitung?
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> Nach Kettenregel gilt:(
> [mm]\bruch{-1}{|x^{2}-4|})'=\bruch{1}{|x^{2}-4|^{2}} *(|x^{2}-4|)'[/mm]
>
> Hm und nun? Wie erhalte ich die Abeitung von [mm](|x^{2}-4|)'[/mm] ?
Fallunterscheidung. Die ist 2x falls [mm] x\geq2 [/mm] und -2x sonst.
Damit
[mm] \left(\bruch{-1}{|x^{2}-4|}\right)'=\bruch{1}{|x^{2}-4|^{2}} \cdot(|x^{2}-4|)' =\frac{1}{|x^2-4|}\frac{2x}{x^2-4} [/mm] für [mm] x\geq2.
[/mm]
Ebenso gilt aber auch
[mm] \left(\bruch{-1}{|x^{2}-4|}\right)'=\bruch{1}{|x^{2}-4|^{2}} \cdot(|x^{2}-4|)' =\frac{1}{|x^2-4|}\frac{-2x}{|x^2-4|}=\frac{1}{|x^2-4|}\frac{-2x}{4-x^2}=\frac{1}{|x^2-4|}\frac{2x}{x^2-4} [/mm] für x<2
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ok danke :). Soll ich nun die zweite Ableitung bilden? Ist das nicht ziemlich aufwenidg? Gibts da keine andere möglichkeit?
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> Ok danke :). Soll ich nun die zweite Ableitung bilden? Ist
> das nicht ziemlich aufwenidg? Gibts da keine andere
> möglichkeit?
Hallo,
nein, die zweite Ableitung zu bilden ist doch sinnlos:
Du hast doch an keiner Stelle in den Intervallen (0,2) und [mm] (2,\infty) [/mm] eine waagerechte Tangente.
Welchen Informationsgewinn sollte Dir das also bringen?
Ich würde mir mal anschauen, ob die Funktion in den Teilintervallen wächst oder fällt und daraus dann Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm und woran seh ich das? Ich kann den Graph doch nur sehr grob zeichnen. Ich weiß das er bei x = 2 den wert 0 annimmt und das [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 1 ist. Desweiteren ist f(0) = [mm] e^{-\bruch{1}{4}}. [/mm] Na ja dann wird die Funktion im Intervall (0,2) monoton fallen und im Intervall [mm] (2,\infty) [/mm] monoton steigen. Ok dann ist x = 2 das globale minimum und f(x) = 1 das globale maximum oder?Wobei es doch gar keinen Wert gibt der 1 annimmt, spricht man dann von einem Maximum? Wie schreibe ich sowas denn mathematisch auf? Das ist ja noch kein Beweis sondern bloß eine Vermutung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:38 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
mach die Monotonieüberlegung, dann siehst du, dass sich die fkt für x gegen [mm] \infty [/mm] 1 nähert, das mit dem Wert bei 0 vergleichen: Folge kein globales Max. ein lokales max bei 0 und ein globales Min bei 2
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 27.02.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Gut für x < 2 : f'(x) < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist streng monoton fallend für alle [mm] x\in(0,2) [/mm] und für x>2: f'(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist streng monoton wachsend.
Desweiteren gilt: [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = 1. d.h Die funktion hat an der stelle 0 ein lokales minimum, ein globales an der stelle x = 2 und kein globales maximum. Ist es so stimmig? Danke schön für euere hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei x=0 lokales max, sonst richtig, wenn du die f'>0 und <0 noch kurz begründest.
Gruss leduart
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