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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 So 27.04.2008 | | Autor: | chrisi99 |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion im angegebenen Punkt (0,0)
[mm] f(x,y)=\bruch{2x^3-y^3}{x^2+y^2} [/mm] |
Ich habe weiter unten im Forum einen Beitrag gefunden, der vorschlägt folgendermaßen zu substituieren:
x=r cos(t)
y=r sin(t)
dies ergibt dann:
[mm] \limes_{r \to 0}\bruch{r (cos(t)^3+sin(t)^3}{cos(t)^2+sin(t)^2}
[/mm]
und geht klarerweise gegen 0 und wenn r->0 geht auch (x,y) gegen (0,0).
Ich verstehe nur nicht ganz, wieso man diesen Weg wählen kann (darf), und das macht sich an der Tafel nicht sehr gut 
in unserem Skriptum wird vorgeschlagen, Koordinatenweise die Stetigkeit mit Folgen zu untersuchen (etwa 1/n), sind diese Darstellungen äquivalent?
Bin für jede Hilfe dankbar!
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Hallo chrisi99,
> Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion im angegebenen Punkt
> (0,0)
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{2x^3-y^3}{x^2+y^2}[/mm]
> Ich habe weiter unten im Forum einen Beitrag gefunden, der
> vorschlägt folgendermaßen zu substituieren:
>
> x=r [mm] cos(\blue{\phi})
[/mm]
> y=r [mm] sin(\blue{\phi}) [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist eine Polarkoordinatendarstellung von $(x,y)$
$r$ ist die Länge des Vektors $(x,y)$, [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel zwischen der x-Achse und $(x,y)$
Mal's dir mal im Koordinatensystem auf...
> dies ergibt dann:
>
> [mm]\limes_{r \to 0}\bruch{r (cos(t)^3+sin(t)^3}{cos(t)^2+sin(t)^2}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ich meine, das ergibt: [mm] $\lim\limits_{r\to 0}\frac{2(r\cos(\phi))^3-(r\sin(\phi))^3}{r^2\cos^2(\phi)+r^2\sin^2(\phi)}=\lim\limits_{r\to 0}\frac{r^3(2\cos^3(\phi)-\sin^3(\phi))}{r^2\underbrace{(\sin^2(\phi)+\cos^2(\phi)}_{=1}}=\lim\limits_{r\to 0}r(2\cos^3(\phi)-\sin^3(\phi))=0$
[/mm]
Und dieses Ergebnis ist unabhängig von der Richtung, aus der man sich $(0,0)$ nähert, der Winkel [mm] $\phi$ [/mm] spielt keine Rolle bei der Bestimmung dieses GW !!
Also [mm] $f(x,y)\longrightarrow [/mm] 0$ für [mm] $(x,y)\longrightarrow [/mm] (0,0)$
>
> und geht klarerweise gegen 0 und wenn r->0 geht auch (x,y)
> gegen (0,0).
>
> Ich verstehe nur nicht ganz, wieso man diesen Weg wählen
> kann (darf), und das macht sich an der Tafel nicht sehr gut
>
Der Weg über die Polarkoordinaten eignet sich oft, wenn du Stetigkeit zeigen musst/sollst.
Wenn du Unabhängigkeit des GW vom Winkel herausbekommst (wie oben), hast du gewonnen, dann hängt das nicht von der Richtung ab, mit der du dich dem Grenzpunkt näherst
> in unserem Skriptum wird vorgeschlagen, Koordinatenweise
> die Stetigkeit mit Folgen zu untersuchen (etwa 1/n), sind
> diese Darstellungen äquivalent?
Das mit den Folgen eignet sich eher dazu, die Stetigkeit in einem Punkt [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] zu widerlegen, da du dann "nur" 2 Folgen [mm] $(x_n,y_n)_n$ [/mm] und [mm] $(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)_n$ [/mm] auswählen musst, die gegen [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] konvergieren, aber wo [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] und [mm] $f(\tilde{x}_n,\tilde{y}_n)$ [/mm] gegen verschiedene GW konvergieren (oder gar nicht)
Für einen Nachweis der Stetigkeit mit Folgen, musst du ja zeigen, dass für jede bliebige Folge, die gegen [mm] $(x_0,y_0)$ [/mm] konvergiert, [mm] $f(x_n,y_n)$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0,y_0)$ [/mm] konvergiert.
Da hast du dich aber um Annäherungen aus alles möglichen Richtungen zu kümmern
Im [mm] $\IR$ [/mm] ist das ja noch ganz schön, da kommst du von links und rechts und gut ist's, aber im [mm] $\IR^2$ [/mm] kannst du dich von oben, unten, der Seite, kreuz und quer,... annähern..
>
> Bin für jede Hilfe dankbar!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 Di 29.04.2008 | | Autor: | chrisi99 |
danke! Die "Richtungsunabhängigkeit" hat mir sehr geholfen! :)
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