Stetigkeit, Grenzfunktion < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f_n:[0,1]\rightarrow\IR, x\mapsto\begin{cases} a(1-nx), & \mbox{für } 0\le x\le\frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
[mm] $a\in\IR, [/mm] a>0, [mm] n\in\IN$
[/mm]
1) Zeigen Sie, dass [mm] $f_n$ [/mm] für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] stetig ist.
2) Wie lautet die (punktweise) Grenzfunktion $f$ der Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$? [/mm] Ist $f$ ebenfalls stetig? |
Hallo,
ich bin leider jetzt schon einige Zeit krank und konnte nicht zu meinen Vorlesungen :( Deshalb habe ich ein paar Fragen zu der obigen Aufgabe.
Habe leider zurzeit auch keine passenden Bücher hier.
Zeige ich bei 1) die Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta Kriterium? Und wie lautet die Funktion mit der ich dann bei 1) und 2) arbeite? Nehme ich [mm] $f_n(x)=a(1-nx)$ [/mm] oder muss ich noch was ändern/beachten?
Schonmal vielen Dank für Hilfe/Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 04.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]f_n:[0,1]\rightarrow\IR, x\mapsto\begin{cases} a(1-nx), & \mbox{für } 0\le x\le\frac{1}{n} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> [mm]a\in\IR, a>0, n\in\IN[/mm]
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> 1) Zeigen Sie, dass [mm]f_n[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm] stetig ist.
> 2) Wie lautet die (punktweise) Grenzfunktion [mm]f[/mm] der Folge
> [mm](f_n)_{n\in\IN}[/mm]? Ist [mm]f[/mm] ebenfalls stetig?
> Hallo,
>
> ich bin leider jetzt schon einige Zeit krank und konnte
> nicht zu meinen Vorlesungen :( Deshalb habe ich ein paar
> Fragen zu der obigen Aufgabe.
> Habe leider zurzeit auch keine passenden Bücher hier.
>
> Zeige ich bei 1) die Stetigkeit mit dem Epsilon-Delta
> Kriterium? Und wie lautet die Funktion mit der ich dann bei
> 1) und 2) arbeite? Nehme ich [mm]f_n(x)=a(1-nx)[/mm] oder muss ich
> noch was ändern/beachten?
Zu 1) Du mußt [mm] f_n [/mm] so nehmen, wie oben definiert ! Zeichne Dir mal [mm] f_n [/mm] auf.
Zeigen mußt Du nur, dass [mm] f_n [/mm] in x=1/n stetig ist.
Zu 2) Für jedes x [mm] \in [/mm] [0,1] berechne [mm] f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)
[/mm]
FRED
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> Schonmal vielen Dank für Hilfe/Tipps.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
> Zu 1) Du mußt [mm]f_n[/mm] so nehmen, wie oben definiert ! Zeichne
> Dir mal [mm]f_n[/mm] auf.
>
> Zeigen mußt Du nur, dass [mm]f_n[/mm] in x=1/n stetig ist.
>
Wenn a=1
[mm] f_1(x)=1-x
[/mm]
[mm] f_2(x)=1-2x
[/mm]
[mm] f_3(x)=1-3x
[/mm]
usw.
Es dreht sich um die 1 und nähert sich immer weiter der y-Achse.
Wenn [mm] x=\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] $f(x)=a(1-nx)=a(1-n\frac{1}{n})=0
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |f_n(x)-f(x)|=|a(1-nx)-0|=...$
[/mm]
Ist es so korrekt? Wie muss ich weitermachen?
> Zu 2) Für jedes x [mm]\in[/mm] [0,1] berechne
> [mm]f(x):=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)[/mm]
>
Der Limes von $a(1-nx)$ müsste ja [mm] $-\infty$ [/mm] sein, da [mm] $x\in[0,1]$ [/mm] ist und damit die Klammer immer weiter ins negative geht. Ich weiß nur leider nicht wie ich es ganau zeigen kann :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 04.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die 2 Teile nicht richtig getrennt. für x>1/n ist doch f=0 nur für x<1/n ist es f=a(1-n*x)
was ist f(0), wohin konvergiert es also punktweise?
was ei x=1/n? x=1/2n?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
> Hallo
> du hast die 2 Teile nicht richtig getrennt. für x>1/n ist
> doch f=0 nur für x<1/n ist es f=a(1-n*x)
Ja, für x <= 1/n ist f(x)=a(1-nx). Was stimmt denn da nicht?
> was ist f(0), wohin konvergiert es also punktweise?
f(0)=a
Bedeutet dass, das die Folge nicht punktweise konvergiert da f(0)=a ist und die restlichen Funktionswerte im Intervall [0,1] ungleich a sind?
Irgendwie weiß ich grad überhaupt nicht was ich machen soll. Hab hier leider grad nichts zum nachlesen wie man vorgeht :(
> was ei x=1/n? x=1/2n?
Was genau meinst du damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Mi 04.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
am Punkt x=0 konvergiert [mm] f_n [/mm] punkt weise gegen a
a, Punkt zB. 0.001 konvergiert [mm] f_n(0.001) [/mm] gegen ? für alle x>0 gilt also [mm] f_n(x)konvergiert [/mm] gegen f(x)=?
dann hast du die Grenzfkt.
jetzt die Frage ist f(x) stetig und wo?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Mi 04.04.2012 | | Autor: | Trolli |
> Hallo
> am Punkt x=0 konvergiert [mm]f_n[/mm] punkt weise gegen a
> a, Punkt zB. 0.001 konvergiert [mm]f_n(0.001)[/mm] gegen ? für
> alle x>0 gilt also [mm]f_n(x)konvergiert[/mm] gegen f(x)=?
> dann hast du die Grenzfkt.
> jetzt die Frage ist f(x) stetig und wo?
> Gruss leduart
Für x=0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=a
[/mm]
Für [mm] 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=-\infty
[/mm]
Für [mm] x=\frac{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=0
[/mm]
Meinst du es so? Wie muss ich weiter vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mi 04.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du auf das [mm] -\infty [/mm] für x<1/n
Gruss leduart
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