Stetigkeit Projketion < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Liebes Forum
Folgendes bereitet mir leider Schwierigkeiten:
Sei $\ [mm] f_k: [/mm] X [mm] \to \IR [/mm] $ die Koordinatentransformation auf die $\ k$-te Koordinate, wobei $\ X $ ein endlichdimensionaler Vektorraum ist, also:
$\ [mm] f_k(x) [/mm] := [mm] x_k [/mm] $, wenn $\ x = [mm] \summe_{j=1}^k x_j e_j [/mm] $ wobei $\ [mm] e_j [/mm] $ eine normierte Basis ist, also $\ [mm] \parallel e_j \parallel [/mm] = 1 $.
wieso ist diese Abbildung stetig? Linearität ist klar, daher wollte ich zeigen, dass sie beschränkt ist:
$\ [mm] |f_k(x)| [/mm] = [mm] |x_k| [/mm] $ dies würde ich gerne abschätzen mittels $\ [mm] |x_k| \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] $. Aber wieso gilt dies?
Danke
Marianne88
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Blech |
> $ \ [mm] |f_k(x)| [/mm] = [mm] |x_k| [/mm] $ dies würde ich gerne abschätzen mittels $ \ [mm] |x_k| \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] $. Aber wieso gilt dies?
Es tut's nicht.
Such Dir eine Basis im [mm] $\IR^2$ [/mm] mit einem stumpfen Winkel zwischen den Vektoren.
> $ \ [mm] f_k(x) [/mm] := [mm] x_k [/mm] $
endlich-dimensionaler, linearer Operator, also stetig, oder?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 28.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender Satz:
Ist X ein normierter Raum mit Norm ||*|| und sind [mm] b_1,..., b_n [/mm] linear unabhängige Vektoren aus X, so gibt es ein c>0 mit:
[mm] |x_1|+...+|x_n| \le [/mm] c [mm] ||x_1b_1+...+x_nb_n||
[/mm]
für alle Skalare [mm] x_1,...,x_n.
[/mm]
Vielleicht hattet Ihr diesen Satz. Wenn nicht, so findest Du in in jedem Funktionalanalysis-Buch
FRED
|
|
|
|
