Stetigkeit, Tipp: Abschätzung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei [mm] $f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ [/mm] gegeben durch
[mm] $f\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}=\begin{cases}\dfrac{x^3+xy^2}{x^2+y^6}, & x\neq 0\text{ oder } y\neq 0 \\ 0 & x=0\text{ und } y=0\end{cases}
[/mm]
Prüfen Sie die Funktion $f$ auf Stetigkeit. |
Hallo allerseits,
ich habe hier jetzt mal einen Teil einer Aufgabe gepostet, in der Hoffnung, dass ich den Rest selbst hinbekomme (ansonsten werde ich hier eventuell noch die ganze Aufgabe posten).
Also, ich komme irgendwie bei der Stetigkeit dieser Funktion nicht weiter. Dass $f$ stetig ist für [mm] $(x,y)\neq(0,0)$, [/mm] ist ja offensichtlich, aber die Stetigkeit in $(0,0)$ bereitet mir Kopfzerbrechen. Ich habe mir die Funktion mal plotten lassen, und da sah sie stetig aus, also werde ich wohl auch tatsächlich Stetigkeit nachweisen müssen (außerdem soll in derselben Aufgabe auch noch die totale Differenzierbarkeit in $(0,0)$ untersucht werden, also wird $f$ wohl in $(0,0)$ stetig sein).
Ich habe dann also wie folgt versucht abzuschätzen:
[mm] $\left\lvert \dfrac{x^3+xy^2}{x^2+y^6}\right\rvert [/mm] = [mm] |x|\left\lvert \dfrac{x^2+y^2}{x^2+y^6}\right\rvert \leqslant |x|\left\lvert \dfrac{x^2+y^2}{x^2}\right\rvert\quad\left(=\dfrac{x^2+y^2}{|x|}\right)$ [/mm]
Und hier komme ich schon nicht weiter. Ich ende entweder bei sowas wie [mm] $|x|+\left\lvert\frac{y^2}{x}\right\rvert$, [/mm] oder [mm] $|x|\frac{(x+y)^2}{x^2}+2|y|$ [/mm] , was ja, so wie es aussieht, auch für [mm] $x\to [/mm] 0$ und [mm] $y\to [/mm] 0$ gegen 0 gehen müsste, aber ich bekomme es nicht hin, das vernünftig abzuschätzen, denn das was ich da habe, bringt mich ja nicht weiter. Sollte ich da vielleicht mit Polarkoordinaten arbeiten? (Habe ich, zumindest in diesem Zusammenhang, noch nie getan.) Habe ich schon bei meiner ersten Abschätzung zu grob abgeschätzt?
Für Tipps wäre ich wie immer äußerst dankbar!
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Hi. Ich würd mal sagen, dass deine Abschätzung richtig sind, aber du musst ja auch die Voraussetzung [mm] \parallel (x,y)-(0,0)\parallel <\delta <=>\wurzel{x^2+y^2}<\delta<=> |x^2+y^2|<\delta^2 [/mm] benutzen.
Du brauchst glaub ich noch eine Abschätzung, denn am Ende soll so etwas stehen wie [mm]
Gruß
TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hi. Ich würd mal sagen, dass deine Abschätzung richtig
> sind, aber du musst ja auch die Voraussetzung [mm]\parallel (x,y)-(0,0)\parallel <\delta <=>\wurzel{x^2+y^2}<\delta<=> |x^2+y^2|<\delta^2[/mm]
> benutzen.
> Du brauchst glaub ich noch eine Abschätzung, denn am Ende
> soll so etwas stehen wie [mm]
> irgendwas Konstantes ist und dann kannst du dein [mm]\delta[/mm]
> entsprechend wählen.
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Hi, danke für deine Antwort, aber ich wollte das eigentlich nicht mit dem ε-δ-Kriterium, sondern mit allgemeinen Nullfolgen (das ist ja um einiges handlicher und angenehmer) machen (ich hätte wohl statt $x$ und $y$ lieber [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] schreiben sollen). Aber selbst wenn ich es so machen würde, wie du es vorgeschlagen hast, fehlt mir tatsächlich noch (mindestens) eine Abschätzung, und das ist ja gerade mein Problem. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Stetigkeit ist fast immer einfacher mit [mm] \epsilon, \delta, [/mm] wie BELIEBIGE Nullfolgen ja auch wieder mit [mm] \epsilon, \delta [/mm] zusammengehen. Unstetigkeit dagegen ist oft schnell mit 2 verschiedenen Folgen, die versch GW erzugen zu zeigen.
also hier am einfachsten x=rcost y=rsint dann mit r gegen 0 =0 unabh. von t.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:44 So 03.06.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo
> Stetigkeit ist fast immer einfacher mit [mm]\epsilon, \delta,[/mm]
> wie BELIEBIGE Nullfolgen ja auch wieder mit [mm]\epsilon, \delta[/mm]
> zusammengehen. Unstetigkeit dagegen ist oft schnell mit 2
> verschiedenen Folgen, die versch GW erzugen zu zeigen.
> also hier am einfachsten x=rcost y=rsint dann mit r gegen
> 0 =0 unabh. von t.
> Gruss leduart
Hi leduart,
da das ein Übungsleiter von mir mal so gemacht hat, also beispielsweise [mm] $\left\lvert\frac{x^5-x^3y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right\rvert [/mm] = [mm] |x|\left\lvert\frac{x^4-x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right\rvert\leqslant |x|\left\lvert\frac{x^4+2x^2y^2+y^4}{\left(x^2+y^2\right)^2}\right\rvert=|x|\overset{x\to 0}{\longrightarrow} [/mm] 0$, und daraus dann Stetigkeit gefolgert hat (in diesem Fall in (0,0), aber egal), habe ich mir einfach nur gedacht, ich versuche das hier mal genauso, aber trotzdem danke für deinen Vorschlag.
Ich habe jetzt aber eben mal, leicht frustriert, etwas unmotiviert einfach mal WolframAlpha mit verschiedenen Nullfolgen gefüttert, und habe mal [mm] $(x_n)_n=\frac{1}{n^2}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n=\frac{1}{n}$ [/mm] gesetzt, und das Ganze konvergiert angeblich gegen 1, während es für [mm] $(x_n)_n=\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n=\frac{1}{n}$ [/mm] gegen 0 konvergiert, womit ich ja dann gezeigt hätte, das $f$ in (0,0) unstetig wäre. Das wäre natürlich eine mögliche Erklärung dafür, warum ich keine Abschätzung gefunden habe. Ich werde das morgen (eigentlich heute) früh mal händisch nachprüfen.
Sollte das stimmen, habe ich mich wohl von dem Plot ziemlich verarschen lassen, aber dafür könnte ich es mir dann sparen, die Funktion auf totale Diff'barkeit in (0,0) zu prüfen.
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