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| Aufgabe | Die Abbildung f: X-> Y ist stetig am Punkt x [mm] \in [/mm] X wenn für jedes Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x existiert sodass f(U) [mm] \subset [/mm] V.
Zeige , dass f: X->Y stetig ist genau dann, wenn f stetig am Punkt x [mm] \iN [/mm] X für alle x [mm] \in [/mm] X ist. |
Sei f: X->Y stetig in x [mm] \in [/mm] X
Es gilt nach Vorrausetzung [mm] \forall [/mm] V [mm] \in [/mm] U (f(x)) [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x) sodass f(U) [mm] \subseteq [/mm] V
(U(x) =.. menge der Umgebungen von x mit x [mm] \in [/mm] U(x) und unter bel Vereinigung und endlichen durchschnitten abgeschlosssen)
Sei nun [mm] (x_j)_{j \in \IN} [/mm] eine Folge in X mit [mm] x_j [/mm] -> x [mm] (j->\infty) [/mm]
d.h. [mm] \forall [/mm] U' [mm] \in [/mm] U(x) [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] j [mm] \ge [/mm] N : [mm] x_j \in [/mm] U'
Wähle ich U'= U . Dann gilt [mm] \forall [/mm] j [mm] \ge [/mm] N [mm] f(x_j) \in [/mm] V <=> [mm] f(x_j) [/mm] -> f(x)
Sei f stetig am Punkt x [mm] \in [/mm] X [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
d.h. Wenn für jede Folge [mm] (x_j)_{j \in \IN} [/mm] mit [mm] x_j \in [/mm] X für alle j [mm] \in \IN, [/mm] welche [mm] x_j [/mm] -> [mm] x_0 (j->\infty) [/mm] erfüllt, [mm] f(x_j) [/mm] -> [mm] f(x_0) (j->\infty)
[/mm]
Sei V [mm] \in U(f(x_0)) [/mm] eine Umgebung von [mm] f(x_0). [/mm] Da V eine Umgebung ist existiert eine offene Menge T mit [mm] f(x_0) \in [/mm] T [mm] \subseteq [/mm] V (Nach def. von Umgebung)
Nun komme ich nicht weiter...
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Hallo,
> Die Abbildung f: X-> Y ist stetig am Punkt x [mm]\in[/mm] X wenn
> für jedes Umgebung V von f(x) eine Umgebung U von x
> existiert sodass f(U) [mm]\subset[/mm] V.
>
> Zeige , dass f: X->Y stetig ist genau dann, wenn f stetig
> am Punkt x [mm]\iN[/mm] X für alle x [mm]\in[/mm] X ist.
>
> Sei f: X->Y stetig in x [mm]\in[/mm] X
> Es gilt nach Vorrausetzung [mm]\forall[/mm] V [mm]\in[/mm] U (f(x)) [mm]\exists[/mm]
> U [mm]\in[/mm] U(x) sodass f(U) [mm]\subseteq[/mm] V
> (U(x) =.. menge der Umgebungen von x mit x [mm]\in[/mm] U(x) und
> unter bel Vereinigung und endlichen durchschnitten
> abgeschlosssen)
> Sei nun [mm](x_j)_{j \in \IN}[/mm] eine Folge in X mit [mm]x_j[/mm] -> x
> [mm](j->\infty)[/mm]
> d.h. [mm]\forall[/mm] U' [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] sodass [mm]\forall[/mm] j
> [mm]\ge[/mm] N : [mm]x_j \in[/mm] U'
> Wähle ich U'= U . Dann gilt [mm]\forall[/mm] j [mm]\ge[/mm] N [mm]f(x_j) \in[/mm] V
> <=> [mm]f(x_j)[/mm] -> f(x)
OK.
> Sei f stetig am Punkt x [mm]\in[/mm] X [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X
> d.h. Wenn für jede Folge [mm](x_j)_{j \in \IN}[/mm] mit [mm]x_j \in[/mm] X
> für alle j [mm]\in \IN,[/mm] welche [mm]x_j[/mm] -> [mm]x_0 (j->\infty)[/mm]
> erfüllt, [mm]f(x_j)[/mm] -> [mm]f(x_0) (j->\infty)[/mm]
> Sei V [mm]\in U(f(x_0))[/mm]
> eine Umgebung von [mm]f(x_0).[/mm] Da V eine Umgebung ist existiert
> eine offene Menge T mit [mm]f(x_0) \in[/mm] T [mm]\subseteq[/mm] V (Nach def.
> von Umgebung)
> Nun komme ich nicht weiter...
Versuche es mit einem Widerspruchsbeweis.
Sei $V$ eine offene Umgebung von [mm] $f(x_0)$.
[/mm]
Angenommen, es gäbe keine solche Umgebung U von [mm] $x_0$. [/mm] Insbesondere würden die Umgebungen [mm] $U_n [/mm] = [mm] (x_0 [/mm] - [mm] \frac{1}{n}, x_0 [/mm] + [mm] \frac{1}{n})$ [/mm] jeweils NICHT [mm] $f(U_n) \subset [/mm] V$ erfüllen [mm] ($n\in\IN$). [/mm] Es gibt also für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mindestens ein Element [mm] $x_n \in U_n$ [/mm] mit [mm] $f(x_n) \not\in [/mm] V$.
Es gilt aber [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und wegen der Stetigkeit von $f$:
[mm] $f(x_n) \to f(x_0)$.
[/mm]
Es entsteht ein Widerspruch dazu, dass $V$ offene Umgebung von [mm] $f(x_0)$ [/mm] und [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: f(x_n)\not\in [/mm] V$.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Sa 09.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Ich habe mehrere Einwände:
1. Was ist ? Was ist Y ? Sind das allgemeine topologische Räume ? Oder vielleicht sogar metrische Räume ? Oder einfach X, Y [mm] \subseteq \IR [/mm] ? Oder ....
2. Im allgemeinen sind die Begriffe "Stetigkeit" und "Folgenstetigkeit" nicht gleichbedeutend.
3. Stefans Antwort enthehme ich, dass er von X [mm] \subseteq \IR [/mm] ausgeht.
Klär also, was X und Y sein sollen. Dann sehen wir weitewr.
FRED
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Hallo Fred,
In Anbetracht, dass er schon andere Fragen zu Analysis 1 geschrieben hat, gehe ich bei meiner Antwort von $X, Y [mm] \subset \IR$ [/mm] aus...
Stefan
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1) allgemeine topologische Räume.
2) Genau nur wenn 1 Abzählbarkeitsaxiom gilt
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Hallo,
wenn du von allgemeinen topologischen Räumen ausgehst, funktioniert das was ich oben gemacht habe, natürlich nicht.
Es gibt ja dann gar keine Metrik und somit auch zunächst keine Konvergenz.
Unter diesem Gesichtspunkt müsstest du folgende Äquivalenz für die Funktion $f:X [mm] \to [/mm] Y$ zeigen:
(1) f stetig in x für alle $x [mm] \in [/mm] X$ [mm] \quad \gdw \quad [/mm] (2) f stetig auf $X$
wobei die Definitionen lauten:
(1) Für jede Umgebung V von f(x) existiert eine Umgebung U von x sodass $f(U) [mm] \subset [/mm] V.$
(2) Für jede offene Menge $V [mm] \subset [/mm] Y$ ist [mm] $f^{-1}(V) \subset [/mm] X$ offen.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:09 So 10.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wenn du von allgemeinen topologischen Räumen ausgehst,
> funktioniert das was ich oben gemacht habe, natürlich
> nicht.
>
> Es gibt ja dann gar keine Metrik und somit auch zunächst
> keine Konvergenz.
Das stimmt doch nicht !
In allgemeinen top. Räumen hat man
"Folgenkonvergenz"
"Konvergenz von Netzen (Moore-Smith- Folgen)"
"Filterkonvergenz"
FRED
>
> Unter diesem Gesichtspunkt müsstest du folgende
> Äquivalenz für die Funktion [mm]f:X \to Y[/mm] zeigen:
>
> (1) f stetig in x für alle [mm]x \in X[/mm] [mm]\quad \gdw \quad[/mm] (2) f
> stetig auf [mm]X[/mm]
>
> wobei die Definitionen lauten:
>
> (1) Für jede Umgebung V von f(x) existiert eine Umgebung U
> von x sodass [mm]f(U) \subset V.[/mm]
> (2) Für jede offene Menge [mm]V \subset Y[/mm]
> ist [mm]f^{-1}(V) \subset X[/mm] offen.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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Hallo Fred,
OK sorry, da habe ich mich zu weit aus dem Fenster gelehnt.
Der Beweis kommt aber ohne Einführung von diesem Konzept aus, denke ich.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 So 10.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> OK sorry, da habe ich mich zu weit aus dem Fenster
> gelehnt.
>
> Der Beweis kommt aber ohne Einführung von diesem Konzept
> aus, denke ich.
Ja, das stimmt (ich hab das auch nicht so gemeint)
FRED
>
> Viele Grüße,
> Stefan
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