www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStetigkeitStetigkeit auf abg. Intervall
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit auf abg. Intervall
Stetigkeit auf abg. Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Stetigkeit auf abg. Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Do 17.12.2009
Autor: Ferolei

Aufgabe
Die reellwertigen Funktionen f und g seien auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig. Weiter gelte, dass f(x)=g(x) für alle x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \cap \IQ. [/mm]
Zeigen Sie, dass dann f und g auf [mm] \iR [/mm] identisch sind.

Hallo,

ich habe hier leider bisher noch keine Idee, wie ich anfangen soll.

Ich weiß, dass die 2 Funktionen stetig sind und ihre Bilder identisch sind.
Dabei sind alle x aus dem Intervall alle Zahlen außer der irrationalen,oder?

Aber was muss ich genau machen, um identisch zu zeigen?

lG, Ferolei

        
Bezug
Stetigkeit auf abg. Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:14 Do 17.12.2009
Autor: Leopold_Gast

[mm]\mathbb{Q}[/mm] liegt dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm], jede reelle Zahl läßt sich also beliebig gut durch rationale Zahlen approximieren. Oder anders gesagt: Zu jeder reellen Zahl [mm]x[/mm] gibt es eine Folge [mm]\left( \xi_{\nu} \right)[/mm] rationaler Zahlen mit [mm]\xi_{\nu} \to x[/mm] für [mm]\nu \to \infty[/mm].

Wähle daher zu [mm]x \in [a,b][/mm] eine Folge [mm]\left( \xi_{\nu} \right)[/mm] rationaler Zahlen in [mm][a,b][/mm], die gegen [mm]x[/mm] konvergiert. Nutze jetzt die Gleichheit von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] auf den [mm]\xi_{\nu}[/mm] und die Stetigkeit der beiden Funktionen aus.

Bezug
                
Bezug
Stetigkeit auf abg. Intervall: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 Mo 21.12.2009
Autor: Ferolei

Hallo, hier meine Idee dazu:

Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen mit einem Grenzwert x [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] , oder?

Dann sei [mm] x\in [/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm] r_n [/mm] eine Folge rationaler Zahlen.Wegen der Stetigkeit von f und g gilt dann:
[mm] f(r_n) \to [/mm] x und [mm] g(r_n) \to [/mm] x
Folglich ist [mm] f(r_n)=g(r_n) [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und f(x)=g(x)....
Also sind g und f auf [mm] \IR [/mm] identisch.

Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein entscheidender Schritt?

lG, Ferolei

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit auf abg. Intervall: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Mo 21.12.2009
Autor: fred97


> Hallo, hier meine Idee dazu:
>  
> Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen
> mit einem Grenzwert x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] , oder?

Nein. eine irrationale Zahl ist eine Zahl x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]


>  
> Dann sei [mm]x\in[/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm]r_n[/mm] eine
> Folge rationaler Zahlen.

   ... mit [mm] r_n \to [/mm] x

> Wegen der Stetigkeit von f und g
> gilt dann:
>  [mm]f(r_n) \to[/mm] x und [mm]g(r_n) \to[/mm] x

Nein ! Es gilt dann

[mm]f(r_n) \to[/mm] f(x) und [mm]g(r_n) \to[/mm] g(x)

>  Folglich ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]

Quatsch ! Nach Voraussetzung ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]



> f(x)=g(x)....

Folglich: f(x)=g(x)



> Also sind g und f auf [mm]\IR[/mm] identisch.
>  
> Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein
> entscheidender Schritt?

Siehe oben

FRED

>  
> lG, Ferolei


Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit auf abg. Intervall: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:02 Mo 21.12.2009
Autor: Ferolei


> > Hallo, hier meine Idee dazu:
>  >  
> > Eine irrationale Zahl ist eine Folge von rationalen Zahlen
> > mit einem Grenzwert x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] , oder?
>  
> Nein. eine irrationale Zahl ist eine Zahl x [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
>
>

Ja das auch, aber das wurde uns so gesagt, dass sei eine äquivalente Aussage zu [mm] \IQ [/mm] liegt dicht in [mm] \IR [/mm]

> >  

> > Dann sei [mm]x\in[/mm] [a,b] eine irrationale Zahl und [mm]r_n[/mm] eine
> > Folge rationaler Zahlen.
>  
> ... mit [mm]r_n \to[/mm] x
>  
> > Wegen der Stetigkeit von f und g
> > gilt dann:
>  >  [mm]f(r_n) \to[/mm] x und [mm]g(r_n) \to[/mm] x
>  
> Nein ! Es gilt dann
>  
> [mm]f(r_n) \to[/mm] f(x) und [mm]g(r_n) \to[/mm] g(x)

Sorry, das ist natürlich quatsch, was ich da hatte ! Schreibfehler

>  
> >  Folglich ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]

>
> Quatsch ! Nach Voraussetzung ist [mm]f(r_n)=g(r_n)[/mm] für alle
> [mm]n\in\IN[/mm]
>
>
>
> > f(x)=g(x)....
>
> Folglich: f(x)=g(x)
>  
>
>
> > Also sind g und f auf [mm]\IR[/mm] identisch.
>  >  
> > Kann man das so machen,oder fehlt irgendwie noch ein
> > entscheidender Schritt?
>  
> Siehe oben
>  

Dank dir !

> FRED
>  >  
> > lG, Ferolei  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stetigkeit"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]