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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Guten Morgen, ich hoffe ihr seid gut in den Tag gekommen
Ich verzweifle jetzt schon den ganzen Morgen an folgender Aufgabe:
sei f:[0,1]->[0,1] stetig. Man zeige, dass a Element von [0,1] mit f(a)=a existiert.
Ich soll dazu den Hinweis benutzen, dass g(x)=f(x)-x
Allerdings komme ich nicht weiter, als zu behaupten, dass aufgrund der Stetigkeit ja gilt lim [mm] [0,1]=x_0 [/mm] und lim f[0,1]=lim [1,0] = [mm] x_0
[/mm]
allerdings weiß ich nicht so genau wie ich den gegeben Hinweis mit der Komposition anwenden soll
Kann mir vielleicht jemand von euch weiterhelfen?
LG
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> Guten Morgen, ich hoffe ihr seid gut in den Tag gekommen
> Ich verzweifle jetzt schon den ganzen Morgen an folgender
> Aufgabe:
> sei f:[0,1]->[0,1] stetig. Man zeige, dass a Element von
> [0,1] mit f(a)=a existiert.
> Ich soll dazu den Hinweis benutzen, dass g(x)=f(x)-x
> Allerdings komme ich nicht weiter, als zu behaupten, dass
> aufgrund der Stetigkeit ja gilt lim [mm][0,1]=x_0[/mm] und lim
> f[0,1]=lim [1,0] = [mm]x_0[/mm]
> allerdings weiß ich nicht so genau wie ich den gegeben
> Hinweis mit der Komposition anwenden soll
> Kann mir vielleicht jemand von euch weiterhelfen?
>
> LG
Guten Tag Alex
Was du mit den Limites von Intervallen meinst, ist
mir nicht klar.
Aber betrachte doch einfach wie vorgeschlagen die
Funktion g mit g(x):=f(x)-x.
Welche Eigenschaften hat g ?
Was kann man über g(0) sagen ? Was über g(1) ?
Was kann man daraus über Nullstellen von g schließen ?
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
danke erstmal 
also wenn ich mir g(0) anschaue erhalte ich ja f(0)-0
und für f(0) kommt doch eigentlich nur [0,1] in Frage oder? das heißt ich erhalte entweder g(0)=1-0 oder g(0)=0-0 also g(0)=[1,0]
und für g(1) sieht es ja ähnlich aus g(1)=[0,1]-1= [0,-1]
aber für -1 ist die Funktion ja nicht definiert...ohje
Ich finde es irgendwie schwer die Funktion zu verstehen, wie du wahrscheinlich merkst.Daher tue ich mich auch bei den Nullstellen etwas schwer. Denn für 1-1=0 wird die Funktion =0 aber auch für 0-0
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> Hey
> danke erstmal
> also wenn ich mir g(0) anschaue erhalte ich ja f(0)-0
> und für f(0) kommt doch eigentlich nur [0,1] in Frage
> oder? das heißt ich erhalte entweder g(0)=1-0 oder
> g(0)=0-0 also g(0)=[1,0] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich befürchte da ein in diesem Zusammenhang ziemlich
schlimmes Missverständnis. Und zwar eines, das fast
nicht sein darf ...
Es scheint, dass du unter [0,1] die Menge verstehst,
die nur aus den beiden Elementen 0 und 1 besteht.
Diese Menge würde man normalerweise so schreiben:
[mm] $\{\,0\,,\,1\,\}$
[/mm]
In der vorliegenden Aufgabe soll aber [0,1] bestimmt
für das Intervall $\ [0,1]\ =\ [mm] \{\,x\in\IR\ |\ 0\le x\ \le 1\ \}$ [/mm] stehen !
> und für g(1) sieht es ja ähnlich aus g(1)=[0,1]-1=
> [0,-1]
> aber für -1 ist die Funktion ja nicht definiert...ohje
> Ich finde es irgendwie schwer die Funktion zu verstehen,
> wie du wahrscheinlich merkst.Daher tue ich mich auch bei
> den Nullstellen etwas schwer. Denn für 1-1=0 wird die
> Funktion =0 aber auch für 0-0
Mein Tipp war so zu verstehen: g(0)=f(0) ist eine Zahl
im Intervall [0,1], es gilt also insbesondere [mm] g(0)\ge0 [/mm] .
Zweitens ist g(1)=f(1)-1 eine Zahl, die (weil [mm] 0\le f(1)\le [/mm] 1 und
wegen der Subtraktion von 1 ) im Intervall [-1,0] liegen
muss. Insbesondere gilt also [mm] g(1)\le [/mm] 0 .
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
du hast recht. jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag.
Wenn ich nun den Zwischenwertsatz zur Begründung nehme, kann ich doch eigentlich schlussfolgern, dass wegen [mm] g(0)\ge [/mm] 0 und [mm] g(1)\le [/mm] 0 g eine Nullstelle besitzt. Und daher auf dem gesamten Intervall [0,1] stetig ist. oder? und da g ja eine Komposition von f ist (oder?) kann ich diese Stetigkeit doch auch auf f beziehen oder?
Danke
LG
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Hallo Alex,
> du hast recht. jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag.
> Wenn ich nun den Zwischenwertsatz zur Begründung nehme,
> kann ich doch eigentlich schlussfolgern, dass wegen [mm]g(0)\ge[/mm]
> 0 und [mm]g(1)\le[/mm] 0 g eine Nullstelle besitzt.
Ja.
> Und daher auf
> dem gesamten Intervall [0,1] stetig ist. oder?
Das ist Schwachsinn. Den ZWS darfst Du doch überhaupt nur anwenden, wenn die Funktion stetig ist. Das musst Du also vorher untersuchen.
> und da g ja
> eine Komposition von f ist (oder?) kann ich diese
> Stetigkeit doch auch auf f beziehen oder?
Hmpf. $g$ ist eine Komposition stetiger Funktionen und ohne Definitionslücken. Also ist $g$ stetig.
> Danke
> LG
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
Also verstehe ich das Richtig?:
Ich nehme an, dass f stetig ist und will diese Annahme bestätigen indem ich zeige, dass g eine Komposition stetiger Abbildungen ist und daher auch stetig ist. Nun habe ich ja dank deiner Hilfe gezeigt, dass g stetig ist und kann daraus auch schlussfolgern das f stetig ist?
LG
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Hallo Alex,
> Also verstehe ich das Richtig?:
> Ich nehme an, dass f stetig ist
Das brauchst Du nicht anzunehmen. In der Aufgabenstellung stand: sei f:[0,1]->[0,1] stetig.
> und will diese Annahme
> bestätigen indem ich zeige, dass g eine Komposition
> stetiger Abbildungen ist und daher auch stetig ist.
Da g(x)=f(x)-x ist, brauchst Du für diesen Schluss doch schon, dass f stetig ist!
> Nun
> habe ich ja dank deiner Hilfe gezeigt, dass g stetig ist
Da war doch außer obigem nichts zu zeigen.
> und kann daraus auch schlussfolgern das f stetig ist?
Das wäre ein Ringschluss: wenn f stetig ist, ist auch g stetig, und darum ist f stetig.
Da stimmt logisch etwas nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
hi
okay du hast natürlich recht. Wer lesen kann ist klar im Vorteil
also muss ich ja jetzt zeigen, dass es ein [mm] a\in [/mm] [0,1] gibt mit f(a)=a
aber wie hilft mir die Funktion g dabei?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> hi
> okay du hast natürlich recht. Wer lesen kann ist klar im
> Vorteil
> also muss ich ja jetzt zeigen, dass es ein [mm]a\in[/mm] [0,1] gibt
> mit f(a)=a
> aber wie hilft mir die Funktion g dabei?
f(a)=a [mm] \gdw [/mm] g(a)=0
Zeige also: g hat in [0,1] eine Nullstelle
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 18.01.2014 | | Autor: | Alex1993 |
hey Fred,
das g eine Nullstelle hat, haben wir ja aufgrund von [mm] g(1)\le [/mm] 0 und [mm] g(0)\ge [/mm] 0 schon bewiesen. reicht das an dieser Stelle?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Sa 18.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> hey Fred,
> das g eine Nullstelle hat, haben wir ja aufgrund von
> [mm]g(1)\le[/mm] 0 und [mm]g(0)\ge[/mm] 0 schon bewiesen. reicht das an
> dieser Stelle?
Ja
FRED
>
> LG
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