Stetigkeit bzw. Unstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Di 13.12.2011 | | Autor: | comfee76 |
| Aufgabe | Die Funktion f : [0, 1] [mm] \to \IR [/mm] sei definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
In welchen Stellen des Intervalls [0, 1] ist f stetig und in welchen unstetig? |
Hallo zusammen,
ich muss diese Aufgabe lösen und verstehe sie irgendwie nicht ganz. Eigentlich ist die Funktion doch einerseits stetig in allen rationalen Punkten, und ebenso stetig in allen irrationalen Punkten, da bekanntlich unendlich viele von beiden existieren. Insgesamt wäre die Funktion aber natürlich nicht stetig, weil der Graph immer wieder zwischen 0 und x springen würde.
Was genau schreibe ich dann als Lösung? Möglicherweise habe ich auch den Begriff der Stetigkeit noch nicht ganz kapiert... kann mir jemand ein bisschen weiterhelfen bitte? :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 13.12.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, das so getrennt machen, geht so leider nicht!
Versuche es stattdessen lieber knallhart mit der [mm] \varepsilon-\delta-Definition [/mm] von Stetigkeit.
$f: D [mm] \to \IR$ [/mm] heißt in einem Punkt [mm] $x_0$ [/mm] stetig, falls es für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, sodass für alle $x [mm] \in [/mm] D$ mit [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] gilt: [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon.
[/mm]
Nun nimm dir mal einen Punkt [mm] x_0 [/mm] aus $[0,1]$ und lege eine Epsilon-Umgebung um [mm] f(x_0) [/mm] (die so klein ist, dass [mm] $f(x_0)-\varepsilon>0$ [/mm] ist, das geht aber nicht für alle [mm] x_0. [/mm] Für welche kann mand as nicht machen?). Nun ist es egal, wie groß du dein [mm] \delta [/mm] wählst: in der Delta-Umgebung von [mm] x_0 [/mm] sind immer sowohl rationale als auch irrationale Zahlen. Was heißt das nun?
Zeichne dir vielleicht auch mal alles auf, auch die Sache mit den Umgebungen.
Dann untersuche noch die Punkte, die du bis jetzt außer Acht lassen musstest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mi 14.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. Es ist 0 [mm] \le [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] x für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]. Was bedeutet das für die Frage nach der Stetigkeit in [mm] x_0=0 [/mm] ?
2. Sei [mm] x_0 \in [/mm] (0,1] und rational. Dann gibt es eine Folge [mm] (a_n) [/mm] in [0,1] \ [mm] \IQ [/mm] mit: [mm] a_n \to x_0.
[/mm]
3. Sei [mm] x_0 \in [/mm] [0,1] und irrational. Dann gibt es eine Folge [mm] (b_n) [/mm] in [0,1] [mm] \cap \IQ [/mm] mit: [mm] b_n \to x_0.
[/mm]
FRED
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