Stetigkeit der Komponente < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Ardbeg |
| Aufgabe | | Warum folgt aus partieller Differenzierbarkeit die Stetigkeit der Komponente, aber nicht die Umkehrung? |
Hallo Freunde,
ich wollte mir diese Thematik etwas deutlicher machen, da es mir noch nicht so klar ist.
Also die Definition von partieller Differenzierbarkeit lautet:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und U [mm] \subseteq R^{n}. [/mm] Eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] heißt partiell differenzierbar, wenn für t := [mm] (t_{1};t_{2}; \ldots ;t_{i}) \in [/mm] U mit 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n der Grenzwert:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x_i}(t):=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h}
[/mm]
existiert.
Und die Definition für Stetigkeit der Komponenten lautet:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und U [mm] \subseteq R^{n}. [/mm] Eine Funktion f: U [mm] \to \IR [/mm] heißt stetig in jeder Komponente, wenn für x := [mm] (x_{1};x_{2}; \ldots ;x_{n}) \in [/mm] U und alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n die Funktion:
[mm] g_{i}(t):=f(x+t*e_{i})=f(x_{1}; \ldots ;x_{i-1}; x_{i}+t; \ldots ;x_{i+1}; \ldots ;x_{n})
[/mm]
stetig in t=0 ist [mm] (e_{i}=(0; \ldots [/mm] ;1; [mm] \ldots [/mm] ;0) i-ter Einheitsvektor).
Doch wie kommt man denn dann auf die Folgerung? Ich finde dafür keine Argumentation.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mi 08.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Warum folgt aus partieller Differenzierbarkeit die
> Stetigkeit der Komponente, aber nicht die Umkehrung?
> Hallo Freunde,
>
> ich wollte mir diese Thematik etwas deutlicher machen, da
> es mir noch nicht so klar ist.
> Also die Definition von partieller Differenzierbarkeit
> lautet:
>
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und U [mm]\subseteq R^{n}.[/mm] Eine Funktion f: U [mm]\to \IR[/mm]
> heißt partiell differenzierbar, wenn für t :=
> [mm](t_{1};t_{2}; \ldots ;t_{i}) \in[/mm] U mit 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n der
> Grenzwert:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x_i}(t):=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h}[/mm]
>
> existiert.
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> Und die Definition für Stetigkeit der Komponenten lautet:
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und U [mm]\subseteq R^{n}.[/mm] Eine Funktion f: U
> [mm]\to \IR[/mm] heißt stetig in jeder Komponente, wenn für x :=
> [mm](x_{1};x_{2}; \ldots ;x_{n}) \in[/mm] U und alle 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] n
> die Funktion:
>
> [mm]g_{i}(t):=f(x+t*e_{i})=f(x_{1}; \ldots ;x_{i-1}; x_{i}+t; \ldots ;x_{i+1}; \ldots ;x_{n})[/mm]
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> stetig in t=0 ist [mm](e_{i}=(0; \ldots[/mm] ;1; [mm]\ldots[/mm] ;0) i-ter
> Einheitsvektor).
>
> Doch wie kommt man denn dann auf die Folgerung? Ich finde
> dafür keine Argumentation.
[mm] $g_i(h)-g_i(0)=f(t_{1}; \ldots [/mm] ; [mm] t_{i} [/mm] + h; [mm] \ldots [/mm] ; [mm] t_{n})-f(t_{1}; \ldots [/mm] ; [mm] t_{i} [/mm] ; [mm] \ldots [/mm] ; [mm] t_{n})=\bruch{f(t_{1}; \ldots ; t_{i} + h; \ldots ; t_{n})-f(t_{1}; \ldots ; t_{i} ; \ldots ; t_{n})}{h}*h \to \bruch{\partial f}{\partial x_i}(t)*0=0$ [/mm] für $ h [mm] \to [/mm] 0$
FRED
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