Stetigkeit, differenzierbark., < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:11 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hallo, was bedeutet genau, eine Funktion ist stetig?
Und was bedeutet : für jedes x gilt: lim f(x+h)=f(x)?
h(gegen)0
im Zusammenhang mit der Stetigkeit einer Funktion?
Und was heißt genau Differenzierbarkeit? Ich weiß nur soviel, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist, wenn sie einen Knick hat.
Und was hat dies:
lim [mm] \bruch{f(x0+h)-f(x0)}{h} [/mm] existiert
h(gegen)0
mit der Differenzierbarkeit zu tun?
Dankeschö.
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Hallo Kristien,
eine Menge Fragen, die du da hast, dann wollen wir mal 
> Hallo, was bedeutet genau, eine Funktion ist stetig?
Stetig bedeutet für den Laien, daß du die Funktion mit einem mal, ohne den Stift abzusetzen, zeichnen kannst.
D.h. es kommen keine Sprünge in der Funktion vor.
Mathematisch formuliert, würde das dann so aussehen (ausgehend von der Schulmathematik, an der Uni definiert man Stetigkeit dann ein bisschen allgemeiner):
Eine Funktion ist stetig in einem Punkt [mm] x_0 \gdw
[/mm]
[mm]\forall\varepsilon > 0 \exists\delta > 0 \forall x: |x-x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon[/mm]
Anschaulich gesehen bedeutet das folgendes:
Du legst eine Umgebung auf der y-Achse um dein [mm] f(x_0). [/mm] Stetig ist deine Funktion dann, wenn alle Funktionswerte, die in dieser Umgebung liegen, durch die x erzeugt werden können, die in einer Umgebung um [mm] x_0 [/mm] auf der x-Achse liegen. (mal dir das am besten mal auf)
> Und was bedeutet : für jedes x gilt: [mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x+h)=f(x)[/mm]?
Dies ist eine äquivalente Definition von Stetigkeit, d.h. eine Funktion ist stetig in einem Punkt [mm] x_0, [/mm] wenn gilt:
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}f(x_0+h)=f(x_0)[/mm]
>im Zusammenhang mit der Stetigkeit einer Funktion?
Wenn du eine der beiden Sachen für alle x des Definitionsbereichs der Funktion zeigen kannst, ist die Funktion stetig
> Und was heißt genau Differenzierbarkeit? Ich weiß nur
> soviel, dass eine Funktion nicht differenzierbar ist, >wenn
> sie einen Knick hat.
Anschaulich stimmt das schonmal. 
> Und was hat dies:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] existiert
> mit der Differenzierbarkeit zu tun?
Dies ist die Definition von Differenzierbarkeit an einer Stelle [mm] x_0 [/mm]
D.h. eine Funktion ist differenzierbar an [mm] x_0, [/mm] wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten, also
[mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
existiert.
Anschaulich ist dies der Anstieg der Tangente an dem Punkt [mm] x_0 [/mm] (auch hier gilt: mal das mal ).
Eine Funktion heisst differenzierbar, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereich differenzierbar ist.
Wenn du eine Funktion differenzierst, bekommst du die sogenannte "Ableitung" von f(x), diese wird mit f'(x) bezeichnet, und es gilt:
f'(x) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
Hoffe das reicht dir bis hierhin.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi, danke erstmal für die Antwort!
Das mit der Differenzierbarkeit ist nun klar!
Ich weiß aber immernoch nicht, was das : für jedes x gilt:
[mm] \lim_{h\to\0}f(x+h)=f(x)
[/mm]
mit der Stetigkeit zu tun hat!
2.Frage Was ist hiermit gemeint?: Für jede monotone stetige Funktion gilt:
[mm] O_n-U_n=f(b)-f(a) *\bruch{b-a}{n}
[/mm]
für jedes Intervall [a,b]?
Dankeschön
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Hallo Kristin,
erstmal zum ersten Teil deiner Frage:
Was bedeutet die Aussage [mm]\lim_{h\to\ 0}f(x+h)=f(x)[/mm] bezüglich Stetigkeit?
Die Aussage bezieht sich auf die sogenannte "Folgenstetigkeit", d.h.
Sei [mm] (h_n) [/mm] eine Nullfolge, d.h. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}h_n = 0[/mm], dann gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(x_0 + h_n) = x_0[/mm]
D.h. [mm] x_0 [/mm] ist der Grenzwert der Folge [mm] (x_0 [/mm] + [mm] h_n)
[/mm]
Ich hoffe, soweit ist das klar
Eine Funktion heisst dann stetig, wenn für JEDE Nullfolge [mm] (h_n) [/mm] gilt, daß die Folge von Funktionswerten [mm] f(x_0 [/mm] + [mm] h_n) [/mm] gegen den Funktionswert des Grenzwerts konvergiert.
Ist dies nicht der Fall, so ist die Funktion auch nicht stetig.
Anschaulich mal an einem Beispiel:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Nehmen wir uns mal die Nullfolge [mm] h_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = 0 und sei [mm] x_0 [/mm] = 0.
Somit gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(x_0 [/mm] + [mm] h_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(0 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = 0 = [mm] x_0
[/mm]
Nun gilt: [mm] f(x_0) [/mm] = f(0) = 1
Für die Funktionswerte der Folgeglieder gilt allerdings:
[mm] f(x_0 [/mm] + [mm] h_n) [/mm] = f(0 + [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] = [mm] f(\bruch{1}{n})
[/mm]
Für alle n gilt [mm] \bruch{1}{n} \not= [/mm] 0.
Also: [mm] f(\bruch{1}{n}) [/mm] = 0
Also gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_0 + h_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}f(\bruch{1}{n}) = \limes_{n\rightarrow\infty}0 = 0 \not= 1 = f(x_0)[/mm]
Somit ist diese Funktion an der Stelle [mm] x_0 [/mm] = 0 nicht stetig.
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Anderes Beispiel: Wir wollen zeigen, daß f(x) = [mm] x^2 [/mm] stetig ist für alle x, d.h. wir nehmen uns eine Folge [mm] (h_n) [/mm] für die gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}h_n [/mm] = 0.
Wir betrachten uns erst wieder die Linke Seite:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x+h_n) = \limes_{n\rightarrow\infty}(x + h_n)^2 = \limes_{n\rightarrow\infty}(x^2 + 2xh_n + h_n^2) = \limes_{n\rightarrow\infty}x^2 + 2x\limes_{n\rightarrow\infty}h_n + \limes_{n\rightarrow\infty}h_n^2 = x^2 + 2x*0 + 0 = x^2 = f(x)[/mm]
also gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x+h_n) [/mm] = f(x) für alle x.
Damit ist die Funktion stetig.
Ich hoffe, dir ist das alles jetzt einiges klarer, wenn nicht, einfach nachfragen
Zum zweiten Teil deiner Frage: Wenn du nun noch sagst, wie ihr [mm] O_n [/mm] und [mm] U_n [/mm] festgelegt habt, kann man dir da wahrscheinlich auch helfen.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Kristien |
Hi, ich hab es jetzt eigentlich verstanden. Könntest du das mit der Folgenstetigkeit, etc. noch einmal in Schülersprache ausdrücken? Achso und nocheine Frage:
Was ist [mm] h_n [/mm] eigentlich? ich dachte h wäre [mm] h=x-x_0 [/mm] oder nicht?
Dankeschön
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Hiho,
die Sache mit der Folgenstetigkeit war eigentlich in Schülersprache gehalten. Bestimmt hattet ihr schon Folgen und Grenzwerte.... daher leitet sich die Sache mit der Folgenstetigkeit nämlich ab.
Zu deiner Frage: Das [mm] h_n [/mm] schreibt man meist so, weil du in der Schule wahrscheinlich meist Folgen in Abhängigkeit von n hattest. Das h bei [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f(x+h) [/mm] ist letztendlich nichts anderes, als eine Folge, die gegen 0 konvergiert und das tut die Folge [mm] h_n [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm]
Wenn du das h = x - [mm] x_0 [/mm] setzt, hast eine andere Schreibweise für den gleichen Ausdruck, dann bekommst du nämlich:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}f(x) [/mm] = [mm] f(x_0).
[/mm]
Das ist letztendlich wieder das gleiche:
Für jede Folge [mm] x_n, [/mm] für die gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] muss die Folge der Funktionswerte gegen den Funktionswert des Grenzwerts konvergieren, damit die Funktion stetig ist.
Gruß,
Gono.
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