Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 17.01.2006 | | Autor: | Timowob |
| Aufgabe | | Genau welche Eigenschaft besitzt eine Funktion f:[0;1]->[0;1] mit f(0)=0, wenn für jede Nullfolge [mm] (x_k) [/mm] im Intervall [0;1] gerade [mm] f(x_k) \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] 0 erfüllt ist? |
Ich weiß, daß die Funktion stetig ist (die Lösung liegt mir vor). Meine Begründung, warum die stetig ist:
weil f(0)=0 und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] = 0 ist die Funktion stetig. Denn 0 ist im Defintionsbereich, und [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] f(0)=0 mit f(0)=0 übereinstimmt.
Ist meine Begründung richtig?
Liebe Grüße
Timo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:40 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Timo!
Das muss m.E. "etwas" eingeschränkt werden: die genannte Funktion ist an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ stetig (also nicht zwangsläufig im gesamten Intervall $[0; \ 1]$ .
Bei der Begründung bin ich mir nicht sicher, ob man nicht auch mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] argumentieren muss / sollte.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Thorsten hat die Antwort schon gegeben: Die Funktion ist im Nullpunkt stetig.
Ob das (nach gründlicher Überarbeitung, es haben sich einige Schreibfehler eingeschlichen) als Beweis ausreicht, hängt davon ab, wie ihr die Stetigkeit definiert ab, d.h. in der Tat über das [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] oder über die Folgenstetigkeit und ob ihr dort Sätze zur Verfügung habt.
Das alles können wir von hier aus nicht beurteilen.
Liebe Grüße
Julius
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