Stetigkeit einer Funktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Mathe-87 |
| Aufgabe | Ist die Funktion f:x |--> f(x)=x [mm] \cdot \\sin \left( \bruch{1}{x} \right) [/mm] mit dem Definitionsbereich [mm] D=R\{0} [/mm] an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] stetig zu ergänzen?
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Ich bin da noch ziemlich unsicher wie ich das machen soll! Ich versuche solche Aufgaben immer mit dem rechtsseitigen und linksseitigen Grenzwert zu rechnen aber bei sin-Aufgaben habe ich da so meine Probleme könnt ihr mir dabei helfen? Das heißt mit Folgen zu arbeiten und dann x->0 streben lassen aber bei dieser Aufgabe bin ich durcheinandergekommen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Was auch immer du für [mm]x[/mm] einsetzt, [mm]\sin{\left( \ldots \right)}[/mm] schwankt zwischen [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm]. Daher gilt:
[mm]\left| x \cdot \sin{\frac{1}{x}} \right| = |x| \cdot \left| \sin{\frac{1}{x}} \right| \leq |x|[/mm]
Was passiert also mit [mm]x \cdot \sin{\frac{1}{x}}[/mm] für [mm]x \to 0[/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Mathe-87 |
| Aufgabe | | Je mehr man sich der 0 nähert also das heißt im taschenrechner x gegen 0 streben lässt (z.B.:x=0.0000001) dann konvergiert der Wert gegen 0. |
Wie soll man das aber mit lim und so schreiben oder brauch man das nicht zu tun?
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Daß etwas gegen 0 konvergiert, heißt doch gerade, daß der Grenzwert 0 ist. Dafür gibt es zwei Schreibweisen, die mit Pfeilen und die mit dem [mm]\lim[/mm]-Zeichen. Im konkreten Fall:
[mm]x \cdot \sin{\frac{1}{x}} \to 0 \ \ \mbox{für} \ \ x \to 0[/mm]
oder alternativ:
[mm]\lim_{x \to 0} \left( x \cdot \sin{\frac{1}{x}} \right) = \ 0[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 13.09.2006 | | Autor: | Mathe-87 |
| Aufgabe | Das heißt also auch das die Funktion stetig ist, da es einen Grenzwert gibt und kann ohne abzusetzen gezeichnet werden! Danke dir sehr ich glaube das Prinzip verstanden zu haben! Komme mit der Schreibweise noch ein wenig durcheinander!
MfG |
Frage wurde beantwortet
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 13.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Mathe
> Das heißt also auch das die Funktion stetig ist, da es
> einen Grenzwert gibt und kann ohne abzusetzen gezeichnet
> werden! Danke dir sehr ich glaube das Prinzip verstanden zu
> haben! Komme mit der Schreibweise noch ein wenig
> durcheinander!
1. Die Funktion kann mit f(0)=0 stetig ergaenzt werden. Der GW muss nicht nur existieren, sondern auch gleich dem Funktionswert sein.
2. NICHT jede stetige Funktion kann man ohne abzusetzen zeichnen!Es gibt ziemlich schreckliche stetige Funktionen!
3. bei der Schreibweise kommt es drauf an, ob ihr die Stetigkeit mit [mm] \varepsilon, \delta, [/mm] oder mit Folgen xn definiert habt. Dann musst du entsprechend noch nen Beweis dazu schreiben.
Gruss leduart
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