Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:28 So 08.05.2005 | | Autor: | michagm1 |
Hallo mir ist nicht klar, wie ich den Ansatz bei der Ermittlung folgender Unbekannter angehen soll.
Seien b,c Element R. Die Funktion f:R=>R sei stückweise definiert durch:
f(x):
-6x+1 für x <-2
x*x + bx + c für -2 <=x<4
4x + 3 für 4<=x
Aufgabe: b und c sollen so berechnet werden, dass R auf ganz f stetig ist. Kann es sein, dass es hier mehrere Lösungen gibt?
Ich bin bislang auf folgendes gekommen:
für x = 3
3*3 + 3b + c < 19
3b + c < 10
c < 10 - 3b
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo michagm1,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Seien b,c Element R. Die Funktion f:R=>R sei stückweise
> definiert durch:
> f(x):
> -6x+1 für x <-2
> x*x + bx + c für -2 <=x<4
> 4x + 3 für 4<=x
>
> Aufgabe: b und c sollen so berechnet werden, dass R auf
> ganz f stetig ist. Kann es sein, dass es hier mehrere
> Lösungen gibt?
>
> Ich bin bislang auf folgendes gekommen:
> für x = 3
> 3*3 + 3b + c < 19
> 3b + c < 10
> c < 10 - 3b
Wie kommst Du denn gerade auf den x-Wert x=3 ?? ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
In den jeweiligen Bereichen der stückweisen Funktionen, d.h. innerhalb der vorgegebenen Intervalle sind die Funktionen ja stetig, da sie dort aus ganz-rationalen Funktionsteilen bestehen.
Kritisch sind hier die jeweiligen Intervallgrenzen!
Das wären also [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -2$ sowie [mm] $x_2\ [/mm] = \ 4$.
Damit eine Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, muß gelten:
[mm] [center]$\limes_{x \rightarrow x_0-} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow x_0+} [/mm] f(x) \ = \ [mm] f(x_0)$[/center]
[/mm]
In Worten: Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen und auch gleich sein dem entsprechenden Funktionswert.
Ich zeige Dir das mal an der Stelle [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -2$
Linksseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x \rightarrow -2 -} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow -2 -} [/mm] (-6x+1) \ = \ -6*(-2)+1 \ = \ 13$
Rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $\limes_{x \rightarrow -2 +} [/mm] f(x) \ = \ [mm] \limes_{x \rightarrow -2 +} \left( x^2 + b*x + c\right) [/mm] \ = \ [mm] (-2)^2 [/mm] + b*(-2) + c \ = \ 4 - 2b + c \ = \ f(-2)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $4 - 2b + c \ = \ 13$
Genauso mußt du nun an der Stelle [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +4$ vorgehen und erhältst dann ein Gleichungssystem mit 2 unbekannten und 2 Gleichungen, das Du dann nach $b$ und $c$ auflösen kannst.
Versuche das doch mal, und wenn Du noch Fragen hast, melde Dich einfach nochmal ...
Gruß
Loddar
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