Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathds{R}->\mathds{R} [/mm] differenzierbar. f habe Periode [mm] 2\pi, [/mm] d.h. [mm] f(x+2\pi)=f(x) [/mm] für jedes x [mm] \in\mathds{R} [/mm] . Sei
[mm] g(t):=\begin{cases} \bruch{f(x+t)-f(x)}{2*sin(\bruch{t}{2})}, & t\not\in 2\pi\mathds{Z} \\ f'(x)(-1)^{k}, & (t=2\pi k,k\in\mathds{Z}) \end{cases}
[/mm]
Zeige, dass g überall stetig ist, insbesondere ist also g stetig auf [mm] [-\pi,+\pi] [/mm] und g(0)=f'(x) |
Ich habe mir das folgendermaßen überlegt; Das g(0)=f'(x) ist einfach, ich muss für t nur [mm] 2\pi*k [/mm] einsetzen, und k=t=0 setzen. Daraus sollte man dann doch irgendwie den allgemeinen Fall ableiten können, nur habe ich keine Idee dazu.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 So 27.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
damit g(t) steig in [mm] 2\pi{k} [/mm] ist muss der Grenzwert von
[mm] \bruch{f(x+t)-f(x)}{2\cdot{}sin(\bruch{t}{2})} [/mm] für t-> [mm] 2\pi{k} [/mm] berechnet werden und überprüft werden ob er mit [mm] f'(x)(-1)^k [/mm] übereinstimmt.
Auf den obigen Ausdruck kan man l'Hospital anwenden und dann den Grenzwert berechnen. Also
[mm] \limes_{t\rightarrow{2\pi{k}}}\bruch{f'(x+t)}{cos\left(\bruch{t}{2}\right)}=\bruch{f'(x+2\pi{k})}{(-1)^k}
[/mm]
Da [mm] f'(x+2\pi{k})=f'(x) [/mm] gilt, folgt
[mm] \limes_{t\rightarrow{2\pi{k}}}\bruch{f'(x+t)}{cos\left(\bruch{t}{2}\right)}=f'(x)*(-1)^k
[/mm]
für k=0 folgt dann auch noch g(0)=f'(x)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 So 27.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
das [mm] f'(x+2\pi{k})=f'(x) [/mm] gilt ist aber noch zu beweisen.
|
|
|
| |
|
Ja, aber das folgt ja aus der Voraussetzung [mm] f(x+2\pi)=f(x), 2\pi [/mm] gibt abgeleitet immer 0, daher [mm] f'(x+2\pi)=f(x), [/mm] oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 So 27.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] f'(x+2\pi{k})=\limes_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x+2\pi{k}+h)-f(x+2\pi{k})}{h}=\limes_{h\rightarrow{0}}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)
[/mm]
|
|
|
|
