Stetigkeit einer Funktion < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei durch
[mm] $f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{k}}, & fuer (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & fuer (x,y) = \mbox{(0,0)} \end{cases}
[/mm]
eine Funktion $f: [mm] \IR^{2} \to \IR$ [/mm] gegeben. Untersuchen Sie $f$ für
a) $k = 2$
b) $k = 4$
auf Stetigkeit.
Hinweis zu (b): Zeigen Sie, dass [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}$f(x,y)$ [/mm] nicht existiert, obwohl bei Annäherung entlang aller Ursprungsgeraden der Grenzwert 0 ist. |
Wie fang ich da an?
Gut zuerst setz ich mal $k$ ein.
[mm] \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
Muss ich das mit der Regel von L´Hopital berechnen?
Also so:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] ?
Muss ich hier überhaupt mit Limes rechnen?
Die Funktion ist doch in folgenden Fällen stetig:
$f(0,y) = 0$, $f(x,0) = 0$
Unstetig ist sie also nur im Fall:
$f(0,0)$ da ja eine Division durch 0 gemacht werden soll.
Überprüfe ich das nun mit der Regel von l'hopital?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Es sei durch
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> [mm]$f(x,y)=\begin{cases} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{k}}, & fuer (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\
0, & fuer (x,y) = \mbox{(0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> eine Funktion [mm]f: \IR^{2} \to \IR[/mm] gegeben. Untersuchen Sie [mm]f[/mm]
> für
> a) [mm]k = 2[/mm]
> b) [mm]k = 4[/mm]
> auf Stetigkeit.
>
> Hinweis zu (b): Zeigen Sie, dass [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)}[/mm]
> [mm]f(x,y)[/mm] nicht existiert, obwohl bei Annäherung entlang
> aller Ursprungsgeraden der Grenzwert 0 ist.
> Wie fang ich da an?
>
> Gut zuerst setz ich mal [mm]k[/mm] ein.
>
> [mm]\bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Muss ich das mit der Regel von L´Hopital berechnen?
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Nein, entweder mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Krit. [/mm] oder hier sehr schnell durch Übergang zu Polarkoordinaten!
[mm] $x=r\cos(\varphi), y=r\sin(\varphi)$
[/mm]
Schaue, ob der [mm] $\lim\limits{r\downarrow 0}f(r,\varphi)$ [/mm] unabh. vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] existiert und $=0=f(0,0)$ ist ...
>
> Also so:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} \bruch{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm]
> ?
>
> Muss ich hier überhaupt mit Limes rechnen?
>
> Die Funktion ist doch in folgenden Fällen stetig:
>
> [mm]f(0,y) = 0[/mm], [mm]f(x,0) = 0[/mm]
Nicht nur dort ...
>
> Unstetig ist sie also nur im Fall:
> [mm]f(0,0)[/mm] da ja eine Division durch 0 gemacht werden soll.
Wieso das? $f(0,0)=0$ ist doch Teil der Funktionsdefinition.
>
> Überprüfe ich das nun mit der Regel von l'hopital?
Nein, wozu und was genau willst du überprüfen?
Was bedeutet Stetigkeit??
Für b) nutze das Folgenkrit. der Stetigkeit, um die Stetigkeit zu widerlegen ...
>
> Lg
>
Gruß
schachuzipus
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Sorry das ichs nicht schon in meiner Anfangsfrage erwähnt habe, aber Stetigkeitsberechnung in Polarform haben wir noch nicht durchgemacht und dürfen wir also auch nicht verwenden.
Ich muss bei der Aufgabe ja eigentlich nur schaun, ob die Funktion irgendwo unstetig ist, da ja keine genaue Position ("überprüfen sie die Funktion an der Stelle blabla auf Stetigkeit") angegeben ist oder?
Wie würde das mit dem $ [mm] \varepsilon-\delta [/mm] $ Verfahren funktionieren?
Ich verstehs leider nicht so wirklich. Ich weiß nicht wie man dabei das [mm] \varepsilon [/mm] und das [mm] \delta [/mm] abschätzt.
Stetigkeit bedeutet ja, dass es in einer Funktion keine Sprungstellen gibt.
Danke für deine Antwort!
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:43 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Dass f in (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) stetig ist, dürfte klar sein.
Es geht also um Stetigkeit in (0,0).
a) Zeige: $|f(x,y)| [mm] \le [/mm] |x|$. Daraus folgt die Stetigkeit in (0,0)
b) Schau Dir mal für x>0 an: f(x, [mm] \wurzel{x}). [/mm] was passiert für x [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
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Danke für deine Antwort!
Pardon für die späte Rückmeldung.
Komme im Moment leider nicht dazu, das Bsp zu rechnen. Komme aber später bestimmt darauf zurück.
Lg
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