Stetigkeit einer Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Mo 06.06.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass sich die Funktion g: [mm] \IR^{2} \to \IR
[/mm]
[mm] g(x,y)=\bruch{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
stetig in den Punkt [mm] (0,0)^{T} \in \IR [/mm] fortsetzen lässt. |
Wie zeige ich bei einer Kurve, dass diese stetig ist?
Bei einer "normalen" Funktion hat man geschaut, ob der Grenzwert existiert oder nicht.
Wie geht man denn bei einer Kurve vor?
Kann ich einfach sagen:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} [/mm] g(x,y)= [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} [/mm] = 0 ?
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Hallo zoj,
> Zeigen Sie, dass sich die Funktion g: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm]
>
> [mm]g(x,y)=\bruch{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm]
> (0,0)
> stetig in den Punkt [mm](0,0)^{T} \in \IR[/mm] fortsetzen lässt.
> Wie zeige ich bei einer Kurve, dass diese stetig ist?
> Bei einer "normalen" Funktion hat man geschaut, ob der
> Grenzwert existiert oder nicht.
>
> Wie geht man denn bei einer Kurve vor?
Deine Funktion g ist keine Kurve. Lies mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach.
>
> Kann ich einfach sagen:
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}[/mm] g(x,y)=
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \bruch{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}[/mm] = 0 ?
Das musst du beweisen.
Arbeite am besten mit dem Folgenkriterium. Zeige, dass für beliebiges [mm] a_n=(x_n, y_n)\to(0,0), n\to\infty [/mm] gilt, dass [mm] g(a_n)\to0.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 06.06.2011 | | Autor: | zoj |
Stimmt, in meinen Fall handelt es sich um eine Funktion, denn diese ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu. Bei einer Kurve kann das auch anders sein.
Zu dem Beweis, dass die Funktion im Punkt (0,0) stetig ist:
D.h. ich nehme für x und y zwei Nullfolgen und zeige, dass die Funktion mit diesen Nullfolgen ebenfalls gegen Null geht.
Habe ich das richtig verstanden?
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] , [mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n},y_{n}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{n^{2}}}{\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}} [/mm] = 0
Somit hätte ich zwei Nullfolgen eingesetzt und gezeigt, dass fie Funktion gegen Null geht.
Ist es richtig so?
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Hallo zoj,
> Stimmt, in meinen Fall handelt es sich um eine Funktion,
> denn diese ordnet jedem x-Wert einen y-Wert zu. Bei einer
> Kurve kann das auch anders sein.
>
> Zu dem Beweis, dass die Funktion im Punkt (0,0) stetig
> ist:
>
> D.h. ich nehme für x und y zwei Nullfolgen und zeige, dass
> die Funktion mit diesen Nullfolgen ebenfalls gegen Null
> geht.
> Habe ich das richtig verstanden?
Nicht ganz, das muss für jede Nullfolge gelten, da kannst du dir nicht einfach eine spezielle wie hier aussuchen!
Was, wenn es mit einer anderen Nullfolge nicht klappt?
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] , [mm]y_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(x_{n},y_{n}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{n^{2}}*\bruch{1}{n^{2}}}{\bruch{1}{n^{2}}+\bruch{1}{n^{2}}}[/mm]
> = 0
>
> Somit hätte ich zwei Nullfolgen eingesetzt und gezeigt,
> dass fie Funktion gegen Null geht.
>
> Ist es richtig so?
Nee, alternativ zum Folgenkriterium (das sich eher zur Widerlegung von Stetigkeit eignet) kannst du zu Polarkoordinaten übergehen und siehst schnell ein, dass [mm]g(r,\varphi)\to 0[/mm] für [mm]r\to 0^+[/mm] unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gilt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 06.06.2011 | | Autor: | zoj |
Ich wandle nun die Gunktion in Polarkoordinaten um:
x= [mm] r*cos(\varphi)
[/mm]
x= [mm] r*sin(\varphi)
[/mm]
[mm] g(r,\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{(r*cos(\varphi))^{2} * (r*sin(\varphi))^{2}}{(r*cos(\varphi))^{2}+(r*sin(\varphi))^{2}} [/mm] = [mm] r^{2}cos^{2}(\varphi)*sin^{2}(\varphi)
[/mm]
Nun sehe ich, dass für [mm] \limes_{r\rightarrow 0} g(r,\varphi) [/mm] gegen Null geht.
Häte ich somit gezeigt, dass g in Punkt (0,0) stetig ist?
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> Ich wandle nun die Gunktion in Polarkoordinaten um:
>
> x= [mm]r*cos(\varphi)[/mm]
> [mm] \red{y}=[/mm] [mm]r*sin(\varphi)[/mm]
>
> [mm]g\red{'}(r,\varphi)[/mm] = [mm]\bruch{(r*cos(\varphi))^{2} * (r*sin(\varphi))^{2}}{(r*cos(\varphi))^{2}+(r*sin(\varphi))^{2}}[/mm]
> = [mm]r^{2}cos^{2}(\varphi)*sin^{2}(\varphi)[/mm]
>
> Nun sehe ich, dass für [mm]\limes_{r\rightarrow 0} g\red{'}(r,\varphi)[/mm]
> gegen Null geht.
>
> Häte ich somit gezeigt, dass g in Punkt (0,0) stetig ist?
Ja.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mo 06.06.2011 | | Autor: | zoj |
Juhu, wieder ein Stückchen weitergekommen und was dazugelernt!
Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 06.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo schachuzipus,
> Nee, alternativ zum Folgenkriterium (das sich eher zur
> Widerlegung von Stetigkeit eignet) kannst du zu
> Polarkoordinaten übergehen und siehst schnell ein, dass
> [mm]g(r,\varphi)\to 0[/mm] für [mm]r\to 0^+[/mm] unabh. vom Winkel [mm]\varphi[/mm] gilt.
Das mit den Polarkoordinaten ist eine schöne Idee, die mir noch gar nicht so bewusst war. Aber auch das Folgenkriterium kann hier ganz gut angewendet werden:
[mm] |g(a_n)|=\left|\frac{x_n^2y_n^2}{x_n^2+y_n^2}\right|=\begin{cases} 0, y_n=0 \\ x_n^2/(1+x_n^2/y_n^2), y_n\neq0 \end{cases}\leq x_n^2\to0
[/mm]
LG
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