Stetigkeit f^-1 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 03.04.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Es sei $X,Y$ metrischer Räume und $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine stetige und bijektive Abbildung.
Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$ [/mm] stetig ist, falls Kompakt ist. |
Meine Idee:
das Bild f(K) jeder kompakten Menge $K [mm] \subset [/mm] X $ist kompakt in Y .
Das Bild ist Kompakt, also auch abgeschlossen.
Z.z ist [mm] $y_n \to y_0 \Rightarrow f^{-1}(y_n) \to f^{-1} y_0 [/mm] $
Da das Bild Y Kompakt ist, existieren solche Folgen [mm] $y_n \to y_0 [/mm] $
Nun da f stetig ist, gilt:
[mm] $x_n\to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)$ [/mm] wegen f bijektiv folgt für [mm] $y_n \to y_0 \Rightarrow [/mm] $ [mm] $(f^{-1}(f(x_n)=y_n)=x_n) \to (f^{-1}(f(x_0)=y_0)=x_0) [/mm] $
Freue mich auf jede Hilfe von euch.
Lg
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:18 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Nadia,
> Es sei [mm]X,Y[/mm] metrischer Räume und [mm]f:X \to Y[/mm] eine stetige und
> bijektive Abbildung.
> Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] stetig ist,
> falls Kompakt ist.
> Meine Idee:
>
> das Bild f(K) jeder kompakten Menge [mm]K \subset X [/mm]ist kompakt
> in Y .
> Das Bild ist Kompakt, also auch abgeschlossen.
> Z.z ist [mm]y_n \to y_0 \Rightarrow f^{-1}(y_n) \to f^{-1} y_0[/mm]
>
> Da das Bild Y Kompakt ist, existieren solche Folgen [mm]y_n \to y_0[/mm]
>
> Nun da f stetig ist, gilt:
> [mm]x_n\to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0)[/mm] wegen f bijektiv
> folgt für [mm]y_n \to y_0 \Rightarrow[/mm] [mm](f^{-1}(f(x_n)=y_n)=x_n) \to (f^{-1}(f(x_0)=y_0)=x_0)[/mm]
>
>
> Freue mich auf jede Hilfe von euch.
>
>
> Lg
>
>
> Nadia
Du musst schon genauer schreiben, was Du da machst:
Zu zeigen ist: Ist [mm] $(y_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $Y\,$ [/mm] mit [mm] $y_n \to y_0 \in Y\,,$ [/mm] so gilt auch [mm] $f^{-1}(y_n) \to f^{-1}(y_0)\,.$
[/mm]
Das ergibt sich so:
Mit [mm] $x_n:=f^{-1}(y_n)$ [/mm] (für alle [mm] $n\,$) [/mm] ist (wegen der Bijektivität) eine Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] in [mm] $X\,$ [/mm] gegeben. Es ist nun erstmal keineswegs klar, dass diese Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] konvergiert. Wegen der Kompaktheit von [mm] $X\,$ [/mm] gibt es aber eine konvergente Teilfolge [mm] $(x_{n_k})_k$ [/mm] von [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] die gegen ein [mm] $x_0 \in [/mm] X$ konvergiert. Wegen [mm] $f^{-1}(y_{n_{k}})=x_{n_k}$ [/mm] (für alle [mm] $k\,$) [/mm] ist also [mm] $(f^{-1}(y_{n_k}))_k$ [/mm] eine konvergente Teilfolge von [mm] $(f^{-1}(y_n))_n$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}(y_{n_k}) \to x_0$ [/mm] ($k [mm] \to \infty$). [/mm] Damit kannst Du nun das gewünschte erhalten.
(Ich schreibe es mal in Worten: Weil [mm] $x_{n_k}=f^{-1}(y_{n_k}) \to x_0$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$ [/mm] gilt, liefert die Stetigkeit von [mm] $f\,,$ [/mm] dass [mm] $f(x_{n_k})$ [/mm] gegen [mm] $f(x_0)$ [/mm] strebt bei $k [mm] \to \infty\,.$ [/mm] Es war aber [mm] $y_n=f(x_n) \to y_0\,.$ [/mm] Nun ein kurzes Argument: Weil Teilfolgen einer jeden konvergenten Folge gegen den gleichen Grenzwert konvergieren (jedenfalls in einem metrischen Raum), muss also [mm] $y_0=f(x_0)$ [/mm] gelten. Fazit?)
Grüße und nun wirklich gute N8,
Marcel
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