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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Sa 02.05.2009 | | Autor: | nina1 |
| Aufgabe | Es sei die Fkt. f durch [mm] f:R^2 [/mm] \ [mm] \{ \vektor{0 \\ 0} \} [/mm] -> R
[mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{(xy)^2}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] definiert.
Untersuchen sie ob f stetig auf ganz [mm] R^2 [/mm] fortgesetzt werden kann.
Hinweis: Es gilt für alle x,y [mm] \in [/mm] R: 2xy [mm] \le x^2+y^2 [/mm] |
Hallo,
leider habe ich hier überhaupt keinen Plan wie ich die Aufgabe lösen könnte.
Kann es sein, dass, da f bei x=0 und y=0 nicht stetig ist, f hier auch nicht stetig fortgesetzt werden kann?
Kann mir jemand einen Ansatz sagen, wie man hier ansonsten vorgehen könnte?
Viele Grüße
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Hallo nina1,
> Es sei die Fkt. f durch [mm]f:R^2[/mm] \ [mm]\{ \vektor{0 \\ 0} \}[/mm] -> R
> [mm]\vektor{x \\ y} \mapsto \bruch{(xy)^2}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> definiert.
> Untersuchen sie ob f stetig auf ganz [mm]R^2[/mm] fortgesetzt
> werden kann.
> Hinweis: Es gilt für alle x,y [mm]\in[/mm] R: 2xy [mm]\le x^2+y^2[/mm]
>
> Hallo,
>
> leider habe ich hier überhaupt keinen Plan wie ich die
> Aufgabe lösen könnte.
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> Kann es sein, dass, da f bei x=0 und y=0 nicht stetig ist,
> f hier auch nicht stetig fortgesetzt werden kann?
Hmm, Begründung?
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> Kann mir jemand einen Ansatz sagen, wie man hier ansonsten
> vorgehen könnte?
Schnell geht es, wenn du zu Polarkoordinaten übergehst.
Schreibe [mm] $x=r\cdot{}\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=r\cdot{}\sin(\varphi)$ [/mm] mit $r$ die Länge des Vektors $(x,y)$ und [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den die x-Achse mit $(x,y)$ einschließt.
Schreibe das mal hin, fasse zusammen und betrachte den GW für [mm] $r\downarrow [/mm] 0$
Wenn der unabhängig von [mm] $\varphi$ [/mm] existiert, setze $f(0,0)=$ diesen GW
Alternativ kannst du den angegebenen Hinweis für eine Abschätzung in einem [mm] $\varepsilon/\delta$-Stetigkeitsbeweis [/mm] benutzen ...
>
> Viele Grüße
LG
schachuzipus
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