Stetigkeit im Nullpunkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=\bruch{x^3}{x^2+y^2} [/mm] genau dann, wenn [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] ist, und f(x,y)=0 genau dann, wenn (x,y)=(0,0) ist, im Nullpunkt stetig ist, aber im Nullpunkt nicht vollständig differenzierbar. |
Mir geht es in erster Linie bei dieser Aufgabe um den Beweis der Stetigkeit im Nullpunkt. Ich habe gedacht, dass es reicht zu zeigen, dass der Grenzwert [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y) [/mm] existiert und dass dieser eben gleich dem Funktionswert f(0,0)=0 ist.
Dass der oben genannte Grenzwert existiert, wollte ich mittels [mm] \limes_{x\rightarrow0}(\limes_{y\rightarrow0}f(x,y))=\limes_{x\rightarrow0}x=0 [/mm] und [mm] \limes_{y\rightarrow0}(\limes_{x\rightarrow0}f(x,y))=\limes_{y\rightarrow0}0=0 [/mm] nachweisen.
Die Aufgabe habe ich so eingereicht und ohne Kommentar lediglich mit einem großen roten F und 0 Punkten wiederbekommen. Daher lautet meine Frage nun, wie ich diese Aufgabe zu bearbeiten habe und was an meinen Ausführungen denn genau falsch ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f:\IR^2\to\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=\bruch{x^3}{x^2+y^2}[/mm] genau dann, wenn
> [mm](x,y)\not=(0,0)[/mm] ist, und f(x,y)=0 genau dann, wenn
> (x,y)=(0,0) ist, im Nullpunkt stetig ist, aber im Nullpunkt
> nicht vollständig differenzierbar.
> Mir geht es in erster Linie bei dieser Aufgabe um den
> Beweis der Stetigkeit im Nullpunkt. Ich habe gedacht, dass
> es reicht zu zeigen, dass der Grenzwert
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)[/mm] existiert und dass
> dieser eben gleich dem Funktionswert f(0,0)=0 ist.
Jo
> Dass der oben genannte Grenzwert existiert, wollte ich
> mittels
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(\limes_{y\rightarrow0}f(x,y))=\limes_{x\rightarrow0}x=0[/mm]
> und
> [mm]\limes_{y\rightarrow0}(\limes_{x\rightarrow0}f(x,y))=\limes_{y\rightarrow0}0=0[/mm]
> nachweisen.
> Die Aufgabe habe ich so eingereicht und ohne Kommentar
> lediglich mit einem großen roten F und 0 Punkten
> wiederbekommen. Daher lautet meine Frage nun, wie ich diese
> Aufgabe zu bearbeiten habe
Gehe mal zu Polarkoordinaten über ...
Dann ist es ganz einfach!
Oder gehe über die Definition mit [mm]\varepsilon, \delta[/mm] und schaue dir mal [mm]\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|[/mm] an.
Es ist [mm]y^2>0[/mm], fällt dir da eine Abschätzung ein ?
> und was an meinen Ausführungen
> denn genau falsch ist.
Du musst dich auf jedem erdenklichen Weg der Stelle [mm](0,0)[/mm] nähern ...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Vielen Dank für die schnelle Antwort - ich entscheide mich für die Polarkoordinaten, da mir die mehr zusagen, als Abschätzungen.
Wenn ich zu Polarkoordinaten übergehe, dann erhalte ich [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\limes_{r\rightarrow0}f(r*cos\phi,r*sin\phi)=\limes_{r\rightarrow0}r*cos^3\phi=0, [/mm] wenn ich mich des Additionstheorems bediene.
Ist damit jetzt schon die Stetigkeit im Nullpunkt gesichert oder muss ich noch etwas anderes zeigen?
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die schnelle Antwort - ich entscheide mich
> für die Polarkoordinaten, da mir die mehr zusagen, als
> Abschätzungen.
>
> Wenn ich zu Polarkoordinaten übergehe, dann erhalte ich
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}f(x,y)=\limes_{r\rightarrow0}f(r*cos\phi,r*sin\phi)=\limes_{r\rightarrow0}r*cos^3\phi=0,[/mm]
> wenn ich mich des Additionstheorems bediene.
Jo, stimmt!
Und zwar unabhängig vom Winkel [mm] $\phi$
[/mm]
> Ist damit jetzt schon die Stetigkeit im Nullpunkt gesichert
> oder muss ich noch etwas anderes zeigen?
Ja!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mo 01.09.2014 | | Autor: | Chaoticus |
Achso, jetzt verstehe ich das endlich mal: Weil der Grenzwert unabhängig von [mm] \phi [/mm] null ist, betrachte ich damit auch jede erdenkliche Richtung, mit der ich mich dem Nullpunkt nähere.
Vielen Dank! Jetzt ergibt das für mich auch endlich einen Sinn :)
Ein weiterer Aufgabenteil ist ja, dass ich zeigen soll, dass es nicht vollständig differenzierbar ist. Betrachte ich wieder Polarkoordinaten, dann erhalte ich, wenn ich das Differential betrachte, [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-f_x(0,0)*x-f_y(0,0)*y}{\wurzel{x^2+y^2}}=\limes_{r\rightarrow0}cos^3\phi-cos\phi. [/mm] Damit ist dieser Grenzwert ja nun sehr wohl von [mm] \phi [/mm] abhängig. Kann ich daraus schon schließen, dass die gegebene Funktion nicht vollständig differenzierbar ist?
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Hallo nochmal,
vllt. ein Wort zu der Abschätzung, die ich im Sinn hatte ...
[mm]\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right|=\frac{|x|^3}{x^2+y^2}[/mm]
Nun ist [mm]y^2>0[/mm], also [mm]x^2+y^2>x^2[/mm], mithin [mm]\frac{1}{x^2+y^2}<\frac{1}{x^2}[/mm]
Also
[mm]\frac{|x|^3}{x^2+y^2} \ < \ \frac{|x|^3}{x^2} \ = \ |x|[/mm]
Und was treibt das für [mm]x\to 0[/mm] ?
Geht offensichtlich gegen 0, man kriegt es also kleiner als jedes [mm]\varepsilon[/mm]
Du kannst ja zur Übung mal ein passendes [mm]\delta[/mm] konstruieren zu beliebig, aber fest vorgelegtem [mm]\varepsilon[/mm] ...
Gruß
schachuzipus
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