Stetigkeit im Punkt x=0 < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | geg: [mm] f:[-1,1]\to\IR [/mm] mit [mm] f(x):=\summe_{n=1}^{\infty}x^n/n^2
[/mm]
Untersuchen Sie f auf Stetigkeit im Punkt [mm] x_0=0. [/mm] |
In der Uni hatten wir die "normale" Definition der Stetigkeit, die Lipschitz-Stetigkeit und die Gleichmäßige Stetigkeit. Wenn ich nun die Def. der Stetigkeit anwende muss gelten:
[mm] \forall\epsilon>0\exists\delta>0 \forall y\in D:|y-x_0|<\delta ->|f(y)-f(x_0|<\epsilon
[/mm]
Nach Anwenden von f und einsetzen von [mm] x_0=0 [/mm] erhalte ich dann:
[mm] \forall\epsilon>0\exists\delta>0 \forall y\in D:|y|<\delta ->|\summe_{n=1}^{\infty}y^n/n^2|<\epsilon
[/mm]
Wenn ich das jetzt richtig verstehe muss ich also ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so dass die Funktionswerte von |f(y)| beliebig klein werden [mm] (|f(x)|<\epsilon) [/mm] mit [mm] |y|<\delta. [/mm] Wie gehe ich da nun ran? Oder sollte ich es eher mit der Lipschitz- oder der Gleichmäßigen Stetigkeit versuchen? Uns wurde noch der Tipp gegeben, dass wir den Wert nach oben abschätzen sollen und dann eine Majorante finden müssen, die in 0 auch 0 ist, und dann halt nur noch [mm] \epsilon [/mm] und [mm] \delta [/mm] finden, nur wie das helfen soll weiß ich nicht. Habt ihr da vielleicht eine Idee oder einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 So 21.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> geg: [mm]f:[-1,1]\to\IR[/mm] mit [mm]f(x):=\summe_{n=1}^{\infty}x^n/n^2[/mm]
> Untersuchen Sie f auf Stetigkeit im Punkt [mm]x_0=0.[/mm]
> In der Uni hatten wir die "normale" Definition der
> Stetigkeit, die Lipschitz-Stetigkeit und die Gleichmäßige
> Stetigkeit. Wenn ich nun die Def. der Stetigkeit anwende
> muss gelten:
> [mm]\forall\epsilon>0\exists\delta>0 \forall y\in D:|y-x_0|<\delta ->|f(y)-f(x_0|<\epsilon[/mm]
>
> Nach Anwenden von f und einsetzen von [mm]x_0=0[/mm] erhalte ich
> dann:
> [mm]\forall\epsilon>0\exists\delta>0 \forall y\in D:|y|<\delta ->|\summe_{n=1}^{\infty}y^n/n^2|<\epsilon[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt richtig verstehe muss ich also ein
> [mm]\delta>0[/mm] finden, so dass die Funktionswerte von |f(y)|
> beliebig klein werden [mm](|f(x)|<\epsilon)[/mm] mit [mm]|y|<\delta.[/mm] Wie
> gehe ich da nun ran? Oder sollte ich es eher mit der
> Lipschitz- oder der Gleichmäßigen Stetigkeit versuchen? Uns
> wurde noch der Tipp gegeben, dass wir den Wert nach oben
> abschätzen sollen und dann eine Majorante finden müssen,
> die in 0 auch 0 ist, und dann halt nur noch [mm]\epsilon[/mm] und
> [mm]\delta[/mm] finden, nur wie das helfen soll weiß ich nicht. Habt
> ihr da vielleicht eine Idee oder einen Tipp für mich?
Ueberleg dir doch mal folgendes: fuer $|x| [mm] \le [/mm] 1$ gilt $|f(x)| [mm] \le [/mm] |x| [mm] \cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$, [/mm] und letztere Reihe konvergiert gegen einen festen Wert (welcher ist erstmal egal).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 22.12.2008 | | Autor: | Blaze |
Ok, aber wie hilft mir das jetzt weiter? Mein größtes Problem bei der Aufgabe ist, dass ich nicht wirklich verstanden habe wie ich nun mit der Def beweise dass f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] stetig ist. Wie zeige ich denn dass f(x) beliebig klein wird wenn man nur nah genug an 0 geht?
Übrigens habe ich dieselbe auch hier gesehen: https://matheraum.de/read?t=486285, sorry dass ich da ein neues Thema gemacht habe. Die Antwort von Marcel habe ich auch verstanden, aber wir hatten den Limes mit x gegen 0 noch nicht definiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 Mo 22.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}=g [/mm] weil es konvergiert. wie musst du jetzt |x| wählen, damit [mm] |x|*g<\epsilon?
[/mm]
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Di 23.12.2008 | | Autor: | Blaze |
Also dann einfach [mm] \delta:=\bruch{\epsilon}{g} [/mm] bzw. [mm] \delta:=\bruch{\epsilon}{ \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}} [/mm] und dann wird ja |f(x)| beliebig klein, nach Abhängigkeit von [mm] \epsilon. [/mm] Also läuft die ganz Sache bei der Untersuchung auf Stetigkeit darauf hinaus, dass ich immer das, was ich gegeben habe, so umforme, dass ich einen Ausdruck für [mm] \delta [/mm] erhalte sodass dann der rechte Teil der Implikation [mm] (|f(x)-f(y)|<\epsilon) [/mm] immer wahr ist. Kann man das so sagen oder wie sollte man da allgemein rangehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:04 Di 23.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Also läuft die ganz Sache bei der
> Untersuchung auf Stetigkeit darauf hinaus, dass ich immer
> das, was ich gegeben habe, so umforme, dass ich einen
> Ausdruck für [mm]\delta[/mm] erhalte sodass dann der rechte Teil der
> Implikation [mm](|f(x)-f(y)|<\epsilon)[/mm] immer wahr ist. Kann
> man das so sagen oder wie sollte man da allgemein rangehen?
Ja, das kann man schon so sagen. Du musst halt so umformen/abschätzen, dass "x" nur noch als [mm] "$|x-x_0|$" [/mm] auftritt. Bei gleichmäßiger Stetigkeit müssen außerdem alle [mm] $x_0$ [/mm] verschwinden und bei Lipschitzstetigkeit brauchst du eine Abschätzung der Form [mm] $|f(x)-f(x_0)|\le ...\le C\cdot|x-x_0|$ [/mm] für eine Konstante [mm] $C\in\IR$.
[/mm]
Überlege dir, warum [mm] $\text{lipschitz-stetig}\Rightarrow\text{glm. stetig}\Rightarrow\text{stetig}$ [/mm] gilt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 23.12.2008 | | Autor: | Blaze |
Dass aus gleichm. Stetigkeit Stetigkeit folgt ist klar auf Grund der Definition. Der Beweis, dass Lipschtiz stetige Funktionen auch gleichm. stetig sind sah bei uns so aus:
Seien r>0 und L>0, und [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig vorgegeben.
[mm] \delta:=min(r,\bruch{\epsilon}{L}).
[/mm]
Dann folgt aus [mm] y\in [/mm] D, [mm] |y-x|<\delta \le [/mm] r
[mm] \Rightarrow y\in [/mm] (x-r,x+r)
[mm] \Rightarrow |f(x)-f(y)|\le L|x-y|
Aber warum muss ich da am Anfang [mm] \delta:=min(r,\bruch{\epsilon}{L}). [/mm] setzen? Würde da nicht auch einfach [mm] \delta :=\bruch{\epsilon}{L} [/mm] reichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Di 23.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> Dass aus gleichm. Stetigkeit Stetigkeit folgt ist klar auf
> Grund der Definition. Der Beweis, dass Lipschtiz stetige
> Funktionen auch gleichm. stetig sind sah bei uns so aus:
> Seien r>0 und L>0, und [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig vorgegeben.
> [mm]\delta:=min(r,\bruch{\epsilon}{L}).[/mm]
> Dann folgt aus [mm]y\in[/mm] D, [mm]|y-x|<\delta \le[/mm] r
> [mm]\Rightarrow y\in[/mm] (x-r,x+r)
> [mm]\Rightarrow |f(x)-f(y)|\le L|x-y|
>
> Aber warum muss ich da am Anfang
> [mm]\delta:=min(r,\bruch{\epsilon}{L}).[/mm] setzen? Würde da nicht
> auch einfach [mm]\delta :=\bruch{\epsilon}{L}[/mm] reichen?
Das r ist, wie mir scheint, in diesem Beweis nur ein technisches Hilfsmittel, um auch sicherzustellen, dass der Ausdruck $f(y)$ überhaupt wohldefiniert ist, d.h. dass y noch im Definitionsbereich von f liegt. Die wesentliche Idee ist natürlich, dass [mm] $|x-y|\le\frac{\varepsilon}{L}$ [/mm] ist.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:05 Do 25.12.2008 | | Autor: | Blaze |
Alles klar dankeschön^^. Eine Frage habe ich aber trotzdem noch, kannst du mir nicht einen Tipp geben wann ich am Besten mit der Gleichmäßigen Stetigkeit, mit der Lipschitzstetigkeit oder mit der normalen Definition der Stetigkeit rangehen sollte bzw. gibt es da irgendwelche Merkmale oder Besonderheiten? Wo kann ich denn zur Stetigkeit noch Beispielaufgaben mit Lösungen finden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Do 25.12.2008 | | Autor: | pelzig |
> kannst du mir nicht einen Tipp geben wann ich am
> Besten mit der Gleichmäßigen Stetigkeit, mit der
> Lipschitzstetigkeit oder mit der normalen Definition der
> Stetigkeit rangehen sollte bzw. gibt es da irgendwelche
> Merkmale oder Besonderheiten?
Ich versteh die Frage nicht ganz. Wenn nach gleichmäßiger Stetigkeit gefragt wird, reicht es eben nicht, nur Stetigkeit zu zeigen... Lipschitzstetigkeit ist einfach die "stärkste" Stetigkeit von diesen dreien. Funktionen, die auf einem kompakten Menge (für Teilmengen der reellen Zahlen ist dies gleichbedeutend mit abgeschlossen und beschränkt) stetig sind, sind z.B. automatisch gleichmäßig stetig. und Funktionen, deren Ableitung beschränkt sind, sind automatisch Lipschitzstetig.
> Wo kann ich denn zur
> Stetigkeit noch Beispielaufgaben mit Lösungen finden?
In jedem Lehrbuch zur Analysis... Überlege dir Beispiele für Funktionen, die stetig, aber nicht gleichmäßig stetig sind, oder glm. stetig, aber nicht lipschitzstetig usw.
Gruß, Robert
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