Stetigkeit im R^2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen oder widerlegen Sie: Die durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{|x|^{1/3}y^{3}}{|x|^{1/2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = 0} \end{cases}
[/mm]
definierte Abbildung $f:$ [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] ist überall stetig. |
Hallo zusammen,
habe hier meine erste Stetigkeitsaufgabe im [mm] \IR^{2} [/mm] zu beweisen und komme damit leider nicht wirklich klar. Sich mit verschiedenen Geraden an die Stelle (0,0) anzunähern, hilft mir wohl nur um Unstetigkeit zu beweisen. Ich schätze aber, hier handelt es sich um Stetigkeit.
Sprich ich will den Epsilon-Delta-Beweis aus Ana1 anwenden, bzw. habe den Tipp das Ganze mittels Folgenstetigkeit zu zeigen.
Glaube aber, dass ich für beides eine sinnvolle Abschätzung des komplizierten Bruchs brauche und da hänge ich leider.
Kann mir irgendjemand helfen, auch wenn meine Überlegungen in eine ganz falsche Richtung gehen?
Merci und Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Fr 17.05.2013 | | Autor: | Salamence |
Tipp: Versuchs mal mit $ [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] < x,y < [mm] \varepsilon [/mm] $
So sollte man das eigentlich abschätzen können.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:40 Sa 18.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Salamence,
> Tipp: Versuchs mal mit [mm]\frac{\varepsilon}{2} < x,y < \varepsilon[/mm]
> So sollte man das eigentlich abschätzen können.
Ausschließlich durch Betrachtung von [mm] $x,y>\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] lässt sich keine Stetigkeit von $f$ im Nullpunkt nachweisen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:29 Sa 18.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo kaykay,
> Zeigen oder widerlegen Sie: Die durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{|x|^{1/3}y^{3}}{|x|^{1/2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> definierte Abbildung [mm]f:[/mm] [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] ist überall
> stetig.
> habe hier meine erste Stetigkeitsaufgabe im [mm]\IR^{2}[/mm] zu
> beweisen und komme damit leider nicht wirklich klar. Sich
> mit verschiedenen Geraden an die Stelle (0,0) anzunähern,
> hilft mir wohl nur um Unstetigkeit zu beweisen.
Genau.
> Ich
> schätze aber, hier handelt es sich um Stetigkeit.
Ja.
> Sprich ich will den Epsilon-Delta-Beweis aus Ana1
> anwenden, bzw. habe den Tipp das Ganze mittels
> Folgenstetigkeit zu zeigen.
> Glaube aber, dass ich für beides eine sinnvolle
> Abschätzung des komplizierten Bruchs brauche und da hänge
> ich leider.
Der Nenner des Bruches aus der Definition von $f$ ist [mm] $\ge y^2$. [/mm] Nutze dies für eine Abschätzung (zunächst im Falle [mm] $y\not=0$)!
[/mm]
(Warum ist $f$ auch in allen Punkten außer dem Nullpunkt stetig?)
Viele Grüße
Tobias
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Danke für die Antwort.
Habe jetzt den Bruch abgeschätzt und komme auf:
Bruch <= |x|^(1/3) y
Nur wie mache ich damit weiter und welchen GW muss ich jetzt bilden? Soll ich jetzt irgendwas mit der Folgenstetigkeit mache, also sagen: "Seien [mm] x_n, y_n [/mm] Nullfolgen..." oder benutze ich den Epsilon-Delta-Beweis?
Antworten heute Abend wären super. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort.
>
> Habe jetzt den Bruch abgeschätzt und komme auf:
> Bruch <= |x|^(1/3) y
>
> Nur wie mache ich damit weiter und welchen GW muss ich
> jetzt bilden?
Du musst doch [mm] $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x,y)=0$ [/mm] nachrechnen!
Beachte dazu auch ![[]](/images/popup.gif) Bemerkung 8.17.
> Soll ich jetzt irgendwas mit der
> Folgenstetigkeit mache, also sagen: "Seien [mm]x_n, y_n[/mm]
> Nullfolgen..." oder benutze ich den Epsilon-Delta-Beweis?
>
> Antworten heute Abend wären super. Vielen Dank!
Du kannst alles benutzen, was Dir zur Verfügung steht. Ich selbst würde es
so machen:
Es gilt [mm] $\|(x,y)-(0,0)\|_2 \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] genau dann, wenn simultan $x [mm] \to 0\,$ [/mm] und $y [mm] \to 0\,.$
[/mm]
Sei also [mm] ${((x_n,y_n))}_n$ [/mm] irgendeine Folge des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die bzgl. der durch [mm] $\|.\|_2$ [/mm] induzierten
Metrik gegen $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] konvergiert.
Dann sind [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] reelle Nullfolgen (die Null ist hier die reelle Null)
und es gilt
[mm] $$\lim_{n \to \infty}|f(x_n,y_n)|=...$$
[/mm]
Damit kommt man relativ schnell zum Ziel!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:39 Di 21.05.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Habe jetzt den Bruch abgeschätzt und komme auf:
> Bruch <= |x|^(1/3) y
Das stimmt für [mm] $y\ge [/mm] 0$, aber nicht für $y<0$.
In jedem Fall ist jedoch der BETRAG des Bruches aus der Definition der Funktion [mm] $\le|x|^\frac13|y|$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Di 21.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> > Habe jetzt den Bruch abgeschätzt und komme auf:
> > Bruch <= |x|^(1/3) y
> Das stimmt für [mm]y\ge 0[/mm], aber nicht für [mm]y<0[/mm].
>
> In jedem Fall ist jedoch der BETRAG des Bruches aus der
> Definition der Funktion [mm]\le|x|^\frac13|y|[/mm].
gutes Adlerauge. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo kaykay,
>
>
> > Zeigen oder widerlegen Sie: Die durch
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{|x|^{1/3}y^{3}}{|x|^{1/2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > definierte Abbildung [mm]f:[/mm] [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] ist überall
> > stetig.
>
>
> > habe hier meine erste Stetigkeitsaufgabe im [mm]\IR^{2}[/mm] zu
> > beweisen und komme damit leider nicht wirklich klar. Sich
> > mit verschiedenen Geraden an die Stelle (0,0) anzunähern,
> > hilft mir wohl nur um Unstetigkeit zu beweisen.
> Genau.
nur mal ergänzend: Man muss sich nicht unbedingt entlang Geraden nähern.
Eigentlich bedeutet Stetigkeit hier: Egal, welchen "Weg ich im [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] der
in $(0,0)$ 'endet'" (das müßte man nun strenger mathematisieren) entlanglaufe,
es muss so sein, dass die zugehörigen Funktionswerte dann auch auf den
Funktionswert von [mm] $(0,0)\,$ [/mm] zulaufen, wenn ich den Weg entlang auf [mm] $(0,0)\,$
[/mm]
zulaufe. Stetigkeit kann man also beweisen, indem man sagt: 'Sei irgendein
"solcher Weg" gegeben, dann gilt...'
Im Endeffekt wird das ganze handlicher/vorstellbarer, wenn man einfach
"Stetigkeit=Folgenstetigkeit" benutzt...
Und ein einfaches Beispiel:
Man kann ja auch mit [mm] $(x,x^2)\,$ [/mm] ($x [mm] \to [/mm] 0$) oder [mm] $(x,3*y*\sin(y))$ [/mm] ($x [mm] \to [/mm] 0$ und $y [mm] \to [/mm] 0$)
zur [mm] $(0,0)\,$ [/mm] hin laufen...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen oder widerlegen Sie: Die durch
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{|x|^{1/3}y^{3}}{|x|^{1/2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich 0} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = 0} \end{cases}[/mm]
>
> definierte Abbildung [mm]f:[/mm] [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] ist überall
> stetig.
die Aufgabe gab's vor kurzem schonmal:
https://matheraum.de/read?i=967596
Gruß,
Marcel
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