Stetigkeit in einem Punkt < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei:
[mm] \gamma(x)=\begin{cases} (x,x^2\cos(\frac{\pi}{x^2})), & \mbox{für } x\not=0 \\ (0,0), & \mbox{für } x=0\end{cases}
[/mm]
Zeige, dass [mm] \gamma' [/mm] an der Stelle x=0 nicht stetig ist. |
Hallo,
ich habe zunächst (naja wollte, die Ableitung bei x=0 ist mir nicht klar) [mm] \gamma' [/mm] berechnet:
[mm] \gamma'(x)=\begin{cases} (1,2x\cos(\frac{\pi}{x^2})+\frac{2\pi\sin(\frac{\pi}{x^2})}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ (?,?), & \mbox{für } x=0\end{cases}
[/mm]
Ich würde die Stetigkeit gerne komponentenweise zeige:
erste Komponente:
1 ist sicher stetig, auch in x=0.
zweite Komponente:
zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] sollte ein [mm] \delta>0 [/mm] existieren, sodass für alle x mit [mm] |x-0|<\delta [/mm] gilt:
[mm] |\gamma'(x)-\gamma'(0)|<\epsilon
[/mm]
Hier komme ich jedoch nichtmehr weiter, da ich [mm] \gamma'(0) [/mm] nicht kenne.
Gruß,
HansP
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> Gegeben sei:
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> [mm]\gamma(x)=\begin{cases} (x,x^2\cos(\frac{\pi}{x^2})), & \mbox{für } x\not=0 \\ (0,0), & \mbox{für } x=0\end{cases}[/mm]
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> Zeige, dass [mm]\gamma'[/mm] an der Stelle x=0 nicht stetig ist.
> Hallo,
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> ich habe zunächst (naja wollte, die Ableitung bei x=0 ist
> mir nicht klar) [mm]\gamma'[/mm] berechnet:
>
> [mm]\gamma'(x)=\begin{cases} (1,2x\cos(\frac{\pi}{x^2})+\frac{2\pi\sin(\frac{\pi}{x^2})}{x}), & \mbox{für } x\not=0 \\ (?,?), & \mbox{für } x=0\end{cases}[/mm]
Hallo,
die Ableitung an der Stelle 0 mußt Du mit dem limes des Differenzenquotienten berechnen.
Gruß v. Angela
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> Ich würde die Stetigkeit gerne komponentenweise zeige:
>
> erste Komponente:
> 1 ist sicher stetig, auch in x=0.
>
> zweite Komponente:
> zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] sollte ein [mm]\delta>0[/mm] existieren, sodass
> für alle x mit [mm]|x-0|<\delta[/mm] gilt:
> [mm]|\gamma'(x)-\gamma'(0)|<\epsilon[/mm]
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> Hier komme ich jedoch nichtmehr weiter, da ich [mm]\gamma'(0)[/mm]
> nicht kenne.
>
> Gruß,
> HansP
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Ah,
ich soll also folgendes berechnen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(x+h)^2*\cos(\frac{\pi}{(x+h)^2})-0}{h}
[/mm]
Aber das ist doch garnicht so ohne weiters möglich, oder?
Gruß,
HansP
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(x+h)^2*\cos(\frac{\pi}{(x+h)^2})-0}{h}[/mm]
Anmerkung:
wobei hier das [mm] x=x_0=0 [/mm] ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 10.03.2009 | | Autor: | Marcel |
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(x+h)^2*\cos(\frac{\pi}{(x+h)^2})-0}{h}[/mm]
>
> Anmerkung:
> wobei hier das [mm]x=x_0=0[/mm] ist.
Anmerkung zur Anmerkung:
Dennoch sollte dann $n [mm] \to \infty$ [/mm] durch $h [mm] \to [/mm] 0$ ersetzt werden 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:28 Di 10.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Hans,
> Ah,
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> ich soll also folgendes berechnen?
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{(x+h)^2*\cos(\frac{\pi}{(x+h)^2})-0}{h}[/mm]
>
> Aber das ist doch garnicht so ohne weiters möglich, oder?
Deine Formel ist ziemlich unsinnig, achte mal auf alle Variablen (welches [mm] $n\,$ [/mm] läuft da? Wieso läuft es gegen [mm] $\infty$? [/mm] Wieso taucht da [mm] $x\,$ [/mm] noch als Variable auf?...).
In dem obigen speziellen Fall handelt es sich ja um eine Funktion [mm] $\gamma: \IR \to \IR^2\,.$ [/mm] Dass diese diff'bar in jedem Punkt $x [mm] \not=0$ [/mm] ist, hast Du Dir schon selbst klargemacht, wenn es jemanden unklar ist, so schlage man einfach in Heuser, Lehrbuch der Analysis II, 11. Auflage, Satz 164.5 nach bzw. die vorhergehenden Bemerkungen (im Heuser geht der Beweis dem Satz voran).
(Grob gesagt: Eine Funktion [mm] $\IR \to \IR^n$ [/mm] ist genau dann diff'bar an einem Punkt [mm] $\xi \in \IR\,,$ [/mm] wenn jede der Komponentenfunktionen diff'bar an dem Punkt [mm] $\xi \in \IR$ [/mm] ist und die Ableitung läßt sich dann auch Komponentenweise hinschreiben, also für [mm] $f=(f_1,...,f_n)$ [/mm] gilt, falls [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar an [mm] $\xi$ [/mm] ist, dann auch [mm] $f'(\xi)=(f_1'(\xi),...,f_n'(\xi))\,.$ [/mm] Umgekehrt gilt, falls [mm] $f=(f_1,...,f_n)$ [/mm] so ist, dass [mm] $f_1'(\xi)\,,$ [/mm] ..., [mm] $f_n'(\xi)$ [/mm] alle (in [mm] $\IR$) [/mm] existieren, dann ist auch [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar an [mm] $\xi$ [/mm] mit [mm] $f'(\xi)=(f_1'(\xi),...,f_n'(\xi))\,.$)
[/mm]
Um zu sehen, dass deine Funktion [mm] $\gamma$ [/mm] an $x=0$ diff'bar ist, ist also nur nachzuprüfen, dass mit [mm] $\gamma(x)=(\gamma_1(x),\gamma_2(x))$ [/mm] auch jede der beiden Funktion [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] an $x=0$ diff'bar ist. Für [mm] $\gamma_1$ [/mm] gilt für denn Diff'quotienten an $x=0$ (beachte: es ist [mm] $\gamma_1(0)=0$ [/mm] nach Definition von [mm] $\gamma$)
[/mm]
[mm] $$\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{\gamma_1(0+h)-\gamma_1(0)}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0}(h-0)/h=\lim_{0 \not=h \to 0} 1=1\,,$$
[/mm]
d.h. [mm] $\gamma_1$ [/mm] ist an $x=0$ diff'bar mit [mm] $\gamma_1'(0)=1\,.$
[/mm]
Für [mm] $\gamma_2$ [/mm] gilt an $x=0$ (beachte: es ist [mm] $\gamma_2(0)=0$ [/mm] nach Definition von [mm] $\gamma$)
[/mm]
[mm] $$\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{\gamma_2(0+h)-\gamma_2(0)}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0} \frac{h^2 \cos(\pi/h^2)-0}{h}=\lim_{0 \not=h \to 0} [/mm] h [mm] \cos(\pi/h^2)\,.$$
[/mm]
Beachtest Du nun, dass [mm] $|\cos(r)| \le [/mm] 1$ für alle $r [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so solltest Du erkennen, dass [mm] $\gamma_2'(0)=0$ [/mm] gilt. (Das folgt dann aus $0 [mm] \le [/mm] |h [mm] \cos(\pi/h^2)| \le |h|\,.$)
[/mm]
Offenbar ist [mm] $\gamma_1'$ [/mm] stetig an [mm] $x=0\,,$ [/mm] und da [mm] $\gamma'$ [/mm] ja nicht stetig an [mm] $x=0\,$ [/mm] sein soll, sollte es Dir nun gelingen, zu zeigen, dass
[mm] $$\lim_{h \to 0} \gamma_2'(h) \not [/mm] = [mm] \gamma_2'(0)=0$$
[/mm]
gilt.
Dazu:
Du hattest
[mm] $$\gamma_2'(x)=2x\cos(\pi/x^2)+2\frac{\pi\sin(\pi/x^2)}{x}\;\;(x \not=0)$$
[/mm]
berechnet.
Nun ein Tipp:
Such mal nach einer Nullfolge [mm] $(x_n)_n\,,$ [/mm] so dass [mm] $\sin(\pi/x_n^2)=1$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. (Beachte: es ist [mm] $\sin(y)=1$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $y=\frac{\pi}{2}+n*2\pi=\frac{\pi+4n \pi}{2}$ [/mm] mit einem $n [mm] \in \IZ\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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