Stetigkeit in isoliertem Punkt < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Sa 09.12.2006 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und a [mm] \in [/mm] X ein isolierter Punkt von X, d.h. es gibt eine [mm] \delta-Umgebung [/mm] U von a, die als einziges Element a enthält.
Dann ist jede Funktion [mm] f:X\to\IR [/mm] in a stetig. Dies ist zu beweisen |
Hallo alle miteinander.
Ich bin mir total unsicher was meinen Beweis angeht.
Ich habe es so gemacht und wollte fragen ob es richtig ist:
Von der Metrik wissen wir:
d(x,y)=|x-y| , da d eine Metrik in X ist.
Zu zeigen ist nun:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists\delta>0 [/mm] mit [mm] U:=\{x\inX; |x-a|<\delta\} [/mm] und [mm] U:=\{a\}: [/mm] | [mm] f(a)-f(x)|<\varepsilon
[/mm]
Nach Vorraussetzung gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
[mm] |x-a|<\delta [/mm] mit x=a gilt: [mm] |x-a|=0<\delta.
[/mm]
Für Funktionen gilt weiterhin: f(a)=f(b) [mm] \gdw [/mm] a=b
Damit existiert auch ein [mm] \varepsilon [/mm] mit:
[mm] |f(x)-f(a)|=0<\varepsilon
[/mm]
Ist das ganze richtig?
Geht es auch besser?
Wäre nett wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.
Gruß, Max.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Max,
> Sei (X,d) ein metrischer Raum und a [mm]\in[/mm] X ein isolierter
> Punkt von X, d.h. es gibt eine [mm]\delta-Umgebung[/mm] U von a, die
> als einziges Element a enthält.
> Dann ist jede Funktion [mm]f:X\to\IR[/mm] in a stetig. Dies ist zu
> beweisen
> Hallo alle miteinander.
> Ich bin mir total unsicher was meinen Beweis angeht.
>
> Ich habe es so gemacht und wollte fragen ob es richtig
> ist:
>
> Von der Metrik wissen wir:
> d(x,y)=|x-y| , da d eine Metrik in X ist.
>
> Zu zeigen ist nun:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0[/mm] mit [mm]U:=\{x\inX; |x-a|<\delta\}[/mm]
> und [mm]U:=\{a\}:[/mm] | [mm]f(a)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
>
> Nach Vorraussetzung gibt es ein [mm]\delta>0[/mm] mit:
>
> [mm]|x-a|<\delta[/mm] mit x=a gilt: [mm]|x-a|=0<\delta.[/mm]
>
> Für Funktionen gilt weiterhin: f(a)=f(b) [mm]\gdw[/mm] a=b
>
> Damit existiert auch ein [mm]\varepsilon[/mm] mit:
>
> [mm]|f(x)-f(a)|=0<\varepsilon[/mm]
>
> Ist das ganze richtig?
Nein, so geht das nicht.
> Geht es auch besser?
>
> Wäre nett wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte.
>
Mache dir einmal klar, was stetigkeit bedeutet, jenseits von epsilon-delta-frickelei. Es bedeutet, dass wenn ich am argument einer funktion nur ein wenig 'wackele' auch der funktionswert nur wenig wackelt, beliebig wenig. Wenn wir nun einen isolierten punkt haben, heisst das , dass es umgebungen gibt, die nur den punkt selbst enthalten. Es gibt also auch nur einen zugehoerigen funktionswert. Das heisst wiederum, in dieser kleinen umgebung wackelt der funktionswert gar nicht mehr, ich kann sie also fuer beliebige epsilon-werte waehlen.
Etwas klarer?
> Gruß, Max.
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 11.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Das verstehe ich.
Da kann ich ja also schon an dieser Stelle aufhören:
[mm] |x-a|=0<\delta
[/mm]
Ist das richtig?
Vielen Dank für die Antwort
|
|
|
| |
|
hmmm, du musst einfach sauber argumentieren. stetigkeit formal ist ja, 'für alle eps gibt es ein delta, so dass blabla...'. was ich oben erklärt habe, ist dass wenn du als delta das delta aus der aufgabenstellung wählst, dieses für beliebig kleine eps-werte gewählt werden kann. damit bist du fertig.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Mo 11.12.2006 | | Autor: | max3000 |
Das Problem ist ja daran das ganze Mathematisch zu beweisen. So ist das ja auch ganz logisch für mich.
Ich habe jetzt aber in einem Buch einen kurzen Beweis dazu gefunden (Wolfgang Walter: "Grundwissen Mathematik 3 - Analysis I", Springer Verlag).
Da steht:
[...] in a ist f immer stetig, denn die Ungleichung
[mm] |f(x)-f(a)|<\varepsilon [/mm] für x=a, also für alle [mm] x\inD [/mm] mit [mm] |x-a|<\delta. [/mm] [...]
Danke für deine Hilfe. Das war glaub ich auch das was du meintest oder?
Gruß,
Max!
|
|
|
| |
|
> Das Problem ist ja daran das ganze Mathematisch zu
> beweisen. So ist das ja auch ganz logisch für mich.
>
> Ich habe jetzt aber in einem Buch einen kurzen Beweis dazu
> gefunden (Wolfgang Walter: "Grundwissen Mathematik 3 -
> Analysis I", Springer Verlag).
>
> Da steht:
>
> [...] in a ist f immer stetig, denn die Ungleichung
> [mm]|f(x)-f(a)|<\varepsilon[/mm] für x=a, also für alle [mm]x\inD[/mm] mit
> [mm]|x-a|<\delta.[/mm] [...]
>
> Danke für deine Hilfe. Das war glaub ich auch das was du
> meintest oder?
jep. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Gruß,
> Max!
>
>
>
|
|
|
|
