Stetigkeit, keine Diff'barkeit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 So 21.01.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Definiere f: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch:
f(x) [mm] =\begin{cases} x*\sin (1/x) , &\mbox {für }x \not= 0 \\ 0 , &\mbox{ sonst } \end{cases}
[/mm]
Zeige dass f an der Stelle 0 stetig aber nicht differenzierbar ist. |
Hallo,
die Klausur kommt immer näher, und ich bin mir noch unsicher mit der korrekten aufschriebweise, besonders mit "kurzen Sätzen der Begründung" die mein Tutor gerne hören würde, und für die er gerne mal Punkte abzieht.
Als erstes habe ich die Stetigkeit an der Stelle 0 mit folgender Definition überprüft:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_{n} [/mm] = [mm] x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{0})
[/mm]
Behauptung:
Die Funktion ist an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = = stetig.
Beweis:
[mm] \limes_{x_{n}\rightarrow\infty} x_{n}sin\bruch{1}{x_{n}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] f(0)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0=0
bloß wenn ich ehrlich bin, habe ich den grenzwert von dem ersten Teil = 0 durch einsetzen einer großen Zahl herausbekommen.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Nun zum 2. Teil: Differenzierbarkeit!
Das habe ich mit der Definition von lim h -> 0 [mm] \bruch{f(a+h)-f(a)}{h} [/mm] = f'(a)
durch rechnen habe ich heraus, dass das das gleiche ist wie sin [mm] \bruch{1}{h}
[/mm]
und da weiß ich, dass das nicht differenzierbar ist.. wie soll ich das jedoch aufschreiben?
Bin über jede Hilfe sehr dankbar.
Liebe Grüße Juthe
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> Definiere f: [mm]\IR \to \IR[/mm] durch:
>
> f(x) [mm]=\begin{cases} x*\sin (1/x) , &\mbox {für }x \not= 0 \\ 0 , &\mbox{ sonst } \end{cases}[/mm]
>
> Zeige dass f an der Stelle 0 stetig aber nicht
> differenzierbar ist.
> Als erstes habe ich die Stetigkeit an der Stelle 0 mit
> folgender Definition überprüft:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_{n}[/mm] = [mm]x_{0} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{0})[/mm]
>
> Behauptung:
> Die Funktion ist an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] = = stetig.
Stetigkeit an der Stelle a bedeutet ja: [mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)
[/mm]
Und dies würde ich hier ganz direkt ausrechnen: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}x*\sin [/mm] (1/x)=???
Es ist -|x| [mm] \le x*\sin [/mm] (1/x) [mm] \le [/mm] |x| , denn -1 [mm] \le [/mm] sin(1/x) [mm] \le [/mm] 1.
Nun hierauf den [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] loslassen, und es steht da, was dastehen soll.
>
> Nun zum 2. Teil: Differenzierbarkeit!
> Das habe ich mit der Definition von lim h -> 0
> [mm]\bruch{f(a+h)-f(a)}{h}[/mm] = f'(a)
> durch rechnen habe ich heraus, dass das das gleiche ist
> wie sin [mm]\bruch{1}{h}[/mm]
> und da weiß ich, dass das nicht differenzierbar ist.. wie
> soll ich das jedoch aufschreiben?
Du hast jetzt dastehen [mm] \limes_{h\rightarrow 0}sin(1/h) [/mm] und die Frage lautet: existiert dieser Grenzwert, und wenn ja, wie groß ist er.
Jetzt überleg Dir, was mit sin (1/h) passiert, wenn h gegen 0 geht. Es geht dann doch 1/h gegen [mm] \infty, [/mm] und sin(1/h) oszilliert fröhlich.
Also kein Grenzwert.
Wie kannst Du das zeigen?
Du gibtst zwei Folgen [mm] (x_n) [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] an, die beide gegen 0 konvergieren, für die jedoch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sin(1/x_n)=1 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sin(1/y_n)=0 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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