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| Aufgabe | | Kann man die auf [mm] \IC \backslash \{0\} [/mm] definierte Funktion f(z) = Re(z)/z bei z = 0 so definieren, dass sie dort stetig ist? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Habe keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Habe versucht 1/2-1/2i als stetige Fortsetzung zu wählen. Dann klappt aber die Epsilon-Delta-Defintion nicht.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
LG
Katja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Mi 14.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Kann man die auf [mm]\IC \backslash \{0\}[/mm] definierte Funktion
> f(z) = Re(z)/z bei z = 0 so definieren, dass sie dort
> stetig ist?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Habe keine Ahnung wie ich das anstellen soll. Habe versucht
> 1/2-1/2i als stetige Fortsetzung zu wählen. Dann klappt
> aber die Epsilon-Delta-Defintion nicht.
>
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
>
> LG
> Katja
Hallo,
bilde doch mal den Grenzwert, wenn du dich der Stelle z=0 auf verschiedenen Wegen näherst:
a) auf der reellen Achse
Dort ist Re(z)=z, also Re(z)/z=1
b) auf der imaginären Achse
Dort ist Re(z)=0 und z etwas rein imaginäres. Der Quotient Re(z)/z ist für [mm] z\ne [/mm] 0 immer gleich Null.
Du kannst die Lücke nicht so stopfen, dass sie gleichzeitig Null ud 1 ist.
Viele Grüße
Abakus
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Super!!!!! Vielen Dank für die Antwort.
Hätte da noch ne Frage zu der obigen Aufgabe. Mir ist selber noch was eingefallen, weiss aber nicht ob das richtig ist, vllt. kann mir das jemand berichtigen oder bestätigen.
Habe zwei Folgen hergenommen [mm] x_{n}:= [/mm] (a+ib)/n und [mm] z_{n}:=(na+ib)/n^2.
[/mm]
Beide Folgen streben ja für n nach Unendlich gegen 0.
Es ist aber [mm] f(x_{n})=a/(a+ib) [/mm] und [mm] f(z_{n})=1 [/mm] für n nach Unendlich.
Geht das so? Kann man die Folgen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] z_{n} [/mm] so wählen?
Lg
Katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 15.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Hätte da noch ne Frage zu der obigen Aufgabe. Mir ist
> selber noch was eingefallen, weiss aber nicht ob das
> richtig ist, vllt. kann mir das jemand berichtigen oder
> bestätigen.
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> Habe zwei Folgen hergenommen [mm]x_{n}:=[/mm] (a+ib)/n und
> [mm]z_{n}:=(na+ib)/n^2.[/mm]
> Beide Folgen streben ja für n nach Unendlich gegen 0.
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> Es ist aber [mm]f(x_{n})=a/(a+ib)[/mm] und [mm]f(z_{n})=1[/mm] für n nach
> Unendlich.
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> Geht das so? Kann man die Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]z_{n}[/mm] so
> wählen?
im prinzip passt das, so lange man $b [mm] \not= [/mm] 0$ wählt erhält man dann auch verschiedene grenzwerte für $n [mm] \to \infty$ [/mm] (um die stetigkeit zu widerlegen gib also am besten eine konkrete wahl für $a + ib$ an). einfacher wäre es aber natürlich mit den folgen [mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $y_n [/mm] = [mm] \frac{i}{n}$.
[/mm]
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Do 15.05.2008 | | Autor: | katja1234 |
Vielen, vielen Dank. Hat mir super viel geholfen.
Grüße
Katja
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