Stetigkeit komplexer zahlen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 19.01.2008 | | Autor: | hundert |
| Aufgabe | Es sei M ein metrischer Raum. Zeigen sie:
(a) Eine Funktion f: u+iv : M-> [mm] \IC [/mm] mit u,v : M-> [mm] \IR [/mm] ist genau dann stetig in x [mm] \in [/mm] M, wenn der Realteil u= Re f und ihr Imaginärteil v= Im f stetig in x sind.
(b) seien f,g : [mm] M->\IC [/mm] stetig bei x [mm] \in [/mm] M und g(x) [mm] \not= [/mm] 0, dann ist [mm] \bruch{f}{g} [/mm] : [mm] M\backslash g^-1(\{0\}) [/mm] -> [mm] \IC [/mm] stetig bei x |
bei a kann man ja den realteil und den imaginärteil getrennt voneinander betrachten, aber wie muss ich zeigen, das derrealteil u stetig ist, und auch der imaginärteil v und das man daraus folgern kann, dass dann die funktion f stetig ist
zu b hab ich leider noch nichst rausgefunden und wäre um jeden tipp froh,..
vielen dank schonmal im vorraus
lg
diese frage habe ich in keinem anderen forum gestellt.
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> Es sei M ein metrischer Raum. Zeigen sie:
> (a) Eine Funktion f: u+iv : M-> [mm]\IC[/mm] mit u,v : M-> [mm]\IR[/mm] ist
> genau dann stetig in x [mm]\in[/mm] M, wenn der Realteil u= Re f und
> ihr Imaginärteil v= Im f stetig in x sind.
>
> (b) seien f,g : [mm]M->\IC[/mm] stetig bei x [mm]\in[/mm] M und g(x) [mm]\not=[/mm] 0,
> dann ist [mm]\bruch{f}{g}[/mm] : [mm]M\backslash g^-1(\{0\})[/mm] -> [mm]\IC[/mm]
> stetig bei x
> bei a kann man ja den realteil und den imaginärteil
> getrennt voneinander betrachten, aber wie muss ich zeigen,
> das derrealteil u stetig ist, und auch der imaginärteil v
> und das man daraus folgern kann, dass dann die funktion f
> stetig ist
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Schema F): Sei also $f$ stetig an der Stelle $x$. Zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] existiert daher ein [mm] $\delta [/mm] >0$, so dass [mm] $|f(y)-f(x)|<\varepsilon$, [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$. [/mm] Also gilt auch
[mm]|u(y)-u(x)|\leq |f(y)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
d.h. $u$ ist stetig an der Stelle $x$, sowie
[mm]|v(y)-v(x)|\leq |f(y)-f(x)|<\varepsilon[/mm]
d.h. $v$ ist stetig an der Stelle $x$.
[mm] $\Leftarrow$ [/mm] (Schema F): Sei also [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $u,v:M\rightarrow \IR$ [/mm] stetig. Dann gibt es jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ wegen der Stetigkeit von $u$ von zu ein [mm] $\delta_u>0$, [/mm] so dass [mm] $|u(y)-u(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta_u$, [/mm] und wegen der Stetigkeit von $v$ ein [mm] $\delta_v>0$, [/mm] so dass [mm] $|v(y)-v(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta_v$.
[/mm]
Setzen wir nun [mm] $\delta:=\min(\delta_u,\delta_v)>0$, [/mm] dann gilt für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$, [/mm] dass
[mm]|f(y)-f(x)|\leq |u(y)-u(x)|+|v(y)-v(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
also ist $f$ stetig an der Stelle $x$.
>
> zu b hab ich leider noch nichst rausgefunden und wäre um
> jeden tipp froh,..
Zu zeigen: zu jedem vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta [/mm] >0$, so dass für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$ [/mm] gilt:
[mm]\Big|\frac{f(y)}{g(y)}-\frac{f(x)}{g(x)}\Big|<\varepsilon[/mm]
Man kann sich natürlich fragen, ob vielleicht a) zur Lösung von b) von Nutzen sein könnte.
Als allgemeiner Tipp gilt hier: Schau mal nach, wie man den entsprechenden Satz für [mm] $\IR\rightarrow \IR$ [/mm] Funktionen bewiesen hat...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 20.01.2008 | | Autor: | hundert |
okay die a hab ich jetzt verstanden vielen dank für die gute erklärumg,..
aber bei der b bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehn muss. kann ich realteil als funktion f und imainärteil als funktion g aufassen? oder muss ich f und g jeweils zusammen für realteil und im weitern schrtitt für den imaginärteil betrachten?
mfg
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> okay die a hab ich jetzt verstanden vielen dank für die
> gute erklärumg,..
>
> aber bei der b bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehn
> muss. kann ich realteil als funktion f und imainärteil als
> funktion g aufassen?
> oder muss ich f und g jeweils zusammen für realteil und
> im weitern schrtitt für den imaginärteil betrachten?
Ich habe mich das auch gefragt, einfach, weil b) nach a) zu beantworten ist. Aber ich denke, es ist einfach genug, direkt vorzugehen: ohne jede Unterscheidung von Real- und Imaginärteil. Die entscheidende Umformung beim Abschätzen ist diese
[mm]\Big|\frac{f(y)}{g(y)}-\frac{f(x)}{g(x)}\Big| = \Big|\frac{f(y)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(y)}{g(y)\cdot g(x)}\Big|\red{=}\frac{\big|f(y)\cdot \big(g(x)-g(y)\big)+\big(f(y)-f(x)\big)\cdot g(y)\big|}{|g(y)|\cdot |g(x)|}\leq \frac{|f(y)|\cdot |g(x)-g(y)|+|f(y)-f(x)|\cdot |g(y)|}{|g(y)|\cdot|g(x)|}[/mm]
Nun musst Du versuchen, mittels der vorausgesetzten Stetigkeit von $f$ und $g$ an der Stelle $x$, sowie [mm] $|g(x)|\neq [/mm] 0$ ein [mm] $\delta [/mm] >0$ anzugeben, so dass die rechte Seite der obigen Ungleichung kleiner als ein vorgegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird: und zwar für alle [mm] $y\in [/mm] M$ mit [mm] $d(x,y)<\delta$.
[/mm]
Dies gelingt, weil Du sowohl die Differenzen $|g(x)-g(y)|$ und $|f(y)-f(x)|$ als auch die Abweichung von $|f(y)|$ von $|f(x)|$ bzw. von $|g(y)|$ von $|g(x)|$ beliebig klein machen kannst: es ist ja z.B. [mm] $|f(y)|=\big|\big(f(y)-f(x)\big)+f(x)\big|\leq|f(y)-f(x)|+|f(x)|$.
[/mm]
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