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Stetigkeit, linker rechter GW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 Do 14.12.2006
Autor: wieZzZel

Aufgabe
Seien f : (a,b) [mm] \rightarrow \IR [/mm] und [mm] \gamma \in [/mm] (a,b) gegeben. Zeigen Sie, dass f genau dann stetig in [mm] \gamma [/mm] ist, wenn [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{+}} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{-}} [/mm] f(x) existieren und mit [mm] f(\gamma) [/mm] übereinstimmen.

Hallo Ihr.

Ich habe 2 Richtungen zu zeigen

" [mm] \Rightarrow [/mm] "

sei f stetig in [mm] \gamma [/mm]

[mm] x_n \rightarrow \gamma \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(\gamma) [/mm]

also ist der [mm] GW=\gamma [/mm] somit wäre das gezeigt, wie geht die Rückrichtung???

Danke für eure Hilfe

tchüß sagt Röby

        
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Fr 15.12.2006
Autor: angela.h.b.

Editiert v. Angela
Bezug
                
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 Fr 15.12.2006
Autor: wieZzZel

Hallo Angela.

Danke für deine Antwort, habe aber mal eine andere Idee

[mm] "\Rightarrow" [/mm]
sei f stetig in [mm] \gamma [/mm]

Sei [mm] \epsilon=\br{1}{n}>0 [/mm] für [mm] n\rightarrow \infty [/mm]

also auch stetig in [mm] U:=(\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon) [/mm]

[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\gamma+\br{\epsilon}{2} \in [/mm] U

[mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_-}=\gamma-\br{\epsilon}{2} \in [/mm] U

[mm] "\Leftarrow" [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}=f(\gamma) [/mm]

links und rechtsseitiger GW an der Stelle [mm] \gamma [/mm] = [mm] f(\gamma) [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] f stetig in [mm] \gamma [/mm]

Was hältst du davon???
Was meintest du mit deiner Lösung???

Danke für deine Hilfe und ein ruhiges Wochenende.

Tschüß sagt Röby


Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Fr 15.12.2006
Autor: angela.h.b.


>  Was meintest du mit deiner Lösung???

Genau das frage ich mich inzwischen auch...
Das war zwischen überflüssig und sinnlos, ich mach's weg.


>  habe aber mal eine andere Idee
>  
> [mm]"\Rightarrow"[/mm]
> sei f stetig in [mm]\gamma[/mm]
>  
> Sei [mm]\epsilon=\br{1}{n}>0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
>  
> also auch stetig in [mm]U:=(\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_+}=\gamma+\br{\epsilon}{2} \in[/mm]
> U
>  
> [mm]\Rightarrow \limes_{x\rightarrow\gamma_-}=\gamma-\br{\epsilon}{2} \in[/mm]
> U
>  

Nee Du, das ist ziemlich vermurkst. Ich sehe nicht, was Du damit zeigen willst. Du wolltest wohl irgendwas mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] machen.
AmEnde müßte jedenfalls $ [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{+}} [/mm] $ f(x)=$ [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma_{-}} [/mm] $ f(x) = [mm] f(\gamma) [/mm] herauskommen, und das ist auch nicht der Fall.

Deine erste Idee führt eher zum Ziel:

>" $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ "

>sei f stetig in $ [mm] \gamma [/mm] $

>$ [mm] x_n \rightarrow \gamma \Rightarrow f(x_{n}) \rightarrow f(\gamma) [/mm] $

>also ist der $ [mm] GW=\gamma [/mm] $ somit wäre das gezeigt.

Allerdings muß das ganze noch etwas präzisiert werden...

Sei f stetig in [mm] \gamma. [/mm]

Dann ist [mm] \limes_{x \rightarrow \gamma}f(x)=??? [/mm]

D.h. für jede Folge [mm] (x_n) [/mm] aus (a,b) mit [mm] x_n \to \gamma [/mm] gilt   [mm] \limes_{n \rightarrow \infty}f(x_n)=??? [/mm]

Insbesondere gilt das für jede Folge "von rechts" bzw. "von links", und somit ist ...


> [mm]"\Leftarrow"[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm]
>  
> links und rechtsseitiger GW an der Stelle [mm]\gamma[/mm] =
> [mm]f(\gamma)[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] f stetig in [mm]\gamma[/mm]
>  
> Was hältst du davon???

Insofern viel, als daß Du aufgeschrieben hast, was zu beweisen ist. Bewiesen hast Du allerdings nichts.

Sei [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].

Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm] x_n \to \gamma. [/mm]

Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten durch [mm] \gamma [/mm] beschränkt werden:

[mm] x_n^+=max\{x_n, \gamma\} [/mm]
[mm] x_n^-=min\{x_n, \gamma\} [/mm]

Beide Folgen konvergieren gegen [mm] \gamma. [/mm] (Warum?)

Nach Voraussetzung ist also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-) [/mm]

d.h. für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt:
... [mm] <\varepsilon [/mm]   und [mm] ...<\varepsilon. [/mm]

Beh.: [mm] f(x_n) \to f(\gamma) [/mm]
Betrachte hierfür [mm] |f(x_n)-f(\gamma)| [/mm]

Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm] f(\gamma) [/mm] konvergiert, so ist [mm] \limes_{x\rightarrow\gamma}= [/mm] ???
und somit f stetig.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Fr 15.12.2006
Autor: wieZzZel

Hallo Angela.

Die "Hinrichtung" passt jetzt, hier komme ich auch mit, bis zur letzten Zeile

> Insofern viel, als daß Du aufgeschrieben hast, was zu
> beweisen ist. Bewiesen hast Du allerdings nichts.
>  
> Sei
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
>  
> Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
>  
> Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  
> [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  
> Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>  
> Nach Voraussetzung ist also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
>  
> d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:
>  ... [mm]<\varepsilon[/mm]   und [mm]...<\varepsilon.[/mm]


[mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm]   und [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]


> Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
>  Betrachte hierfür
> [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
>  
> Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm]f(\gamma)[/mm] konvergiert, so
> ist [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}=[/mm] ???

konvergiert auch [mm] f(x_n) [/mm] gegen [mm] f(\gamma) [/mm]

[mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(y)[/mm]

also [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(\gamma)[/mm]

>  und somit f stetig.
>  
> Gruß v. Angela

SO und jetzt müsste es doch passen oder???

Danke, tschüüß und noch einen schönen Abend

Röby

Bezug
                                        
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Sa 16.12.2006
Autor: angela.h.b.


>
> > Sei
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
>  >  
> > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
>  >  
> > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  >  
> > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  
> > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)

Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung "greift"?


>  >  
> > Nach Voraussetzung ist also
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
>  >  
> > d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> > alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:

  

> [mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm]   und
> [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]
>  
>
> > Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
>  >  Betrachte hierfür
> > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]

Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als Aufforderung gemeint!)


>  >  
> > Wenn nun jede dieser Folgen gegen [mm]f(\gamma)[/mm] konvergiert, so
> > ist


> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(y)[/mm]
>  

>  
> >  und somit f stetig.


> SO und jetzt müsste es doch passen oder???

Wie Du siehst: nahezu.

Gruß v. Angela

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Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Sa 16.12.2006
Autor: wieZzZel

Hallo Angela.


> > > Sei
> > >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma_+}f(x)=\limes_{x\rightarrow\gamma_-}f(x)=f(\gamma)[/mm].
>  >  >  
> > > Sei [mm](x_n)[/mm] eine Folge in (a,b) mit [mm]x_n \to \gamma.[/mm]
>  >  >

>  
> > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  >  >  
> > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  >  [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  
> >  >  

> > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>  
> Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
>  Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> "greift"?

also [mm] x_n^+ [/mm] ist nach unten durch [mm] \gamma [/mm] beschränkt, da [mm] x_n^+ [/mm] immer mindestens den Wert [mm] \gamma [/mm] annimmt, außer [mm] x_n [/mm] ist größer [mm] \Rightarrow x_n^+\ge\gamma [/mm]

analog [mm] x_n^- \Rightarrow x_n^-\le\gamma [/mm]



> > > Nach Voraussetzung ist also
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-)[/mm]
>  >  >  
> > > d.h. für alle [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]N_0,[/mm] so daß für
> > > alle [mm]n>N_0[/mm] gilt:
>    
>
> > [mm]|x_n^+-\gamma|<\varepsilon[/mm]   und
> > [mm]|x_n^--\gamma|<\varepsilon.[/mm]
>  >  
> >
> > > Beh.: [mm]f(x_n) \to f(\gamma)[/mm]
>  >  >  Betrachte hierfür
> > > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
>  
> Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als
> Aufforderung gemeint!)

also es gilt [mm] |f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm]
und [mm] |f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm]

[mm] \Rightarrow[/mm]  [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(\gamma)[/mm]

^^Dieser Schluss ist mir klar, aber wie drücke ich das mathematisch am Besten aus???


Dank dir für deine Hilfe.

Tschüß sagt Röby

> >  

> > >  und somit f stetig.

>  
>
> > SO und jetzt müsste es doch passen oder???
>  
> Wie Du siehst: nahezu.
>  
> Gruß v. Angela


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Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:01 Sa 16.12.2006
Autor: angela.h.b.


> > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  >  >  >  
> > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  >  >  [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  
> >  

> > >  >  

> > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>  >  
> > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
>  >  Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > "greift"?
>  
> also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]

Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine Konvergenz. Die von [mm] \gamma [/mm] verschiedenen Folgenglieder könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.


>  >  >  >  Betrachte
> hierfür
> > > > [mm]|f(x_n)-f(\gamma)|[/mm]
>  >  
> > Du hast es noch nicht betrachtet... (Ich hatte das als
> > Aufforderung gemeint!)
>  
> also es gilt [mm]|f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon[/mm]
>  und [mm]|f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]  [mm]\limes_{x\rightarrow\gamma}f(x)=f(\gamma)[/mm]
>  
> ^^Dieser Schluss ist mir klar, aber wie drücke ich das
> mathematisch am Besten aus???

Ob's die beste Möglichkeit istm, weiß ich nicht, aber es ist eine Möglichkeit:


Beh.: Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt: [mm] |f(x_n)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm]
Bew.: N.V. ist $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^+)=f(\gamma)=\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n^-) [/mm] $

Daher gibt es für  [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0, [/mm] so daß für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt
[mm] |f(x_n^+)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm] und
[mm] |f(x_n^-)-f(\gamma)|<\epsilon [/mm]

Nun ist [mm] x_n=x_n^+ [/mm] oder [mm] x_n=x_n^-, [/mm]

==> [mm] |f(x_n)-f(\gamma)|<\varepsilon. [/mm]

Gruß v. Angela




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Stetigkeit, linker rechter GW: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Sa 16.12.2006
Autor: wieZzZel


> > > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  >  >  >  >  
> > > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  >  >  >  
> [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  
> > >  

> > > >  >  

> > > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>  >  >  
> > > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
>  >  >  Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > > "greift"?
>  >  
> > also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> > immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> > größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]
>  
> Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine
> Konvergenz. Die von [mm]\gamma[/mm] verschiedenen Folgenglieder
> könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.


So meine letzt Frage hierzu, warum sie konvergieren,

Beides Sind ja Teilfolgen von [mm] (x_n), [/mm] aber sauber ausgedrückt kann ich die Konvergenz nicht begründen.

Bitte helfe mir noch ein letztes mal.

Ich schätze deine Mühen sehr hoch ein!!!

Tschüß sagt Röby

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Stetigkeit, linker rechter GW: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Sa 16.12.2006
Autor: angela.h.b.


> > > > > > Bilde hieraus zwei neue Folgen, welche nach oben bzw. unten
> > > > > > durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt werden:
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > [mm]x_n^+=max\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  >  >  >  >  
> > [mm]x_n^-=min\{x_n, \gamma\}[/mm]
>  >  >  
> > > >  

> > > > >  >  

> > > > > > Beide Folgen konvergieren gegen [mm]\gamma.[/mm] (Warum?)
>  >  >  >  
> > > > Warum??? Oder anders: sind Dir diese Folgen klar?
>  >  >  >  Ist Dir klar, warum bei diesen die Voraussetzung
> > > > "greift"?
>  >  >  
> > > also [mm]x_n^+[/mm] ist nach unten durch [mm]\gamma[/mm] beschränkt, da [mm]x_n^+[/mm]
> > > immer mindestens den Wert [mm]\gamma[/mm] annimmt, außer [mm]x_n[/mm] ist
> > > größer [mm]\Rightarrow x_n^+\ge\gamma[/mm]
>  >  
> > Die Beschränkung der Folge allein sichert Dir keine
> > Konvergenz. Die von [mm]\gamma[/mm] verschiedenen Folgenglieder
> > könnten sich ja wer weiß wie verrückt gebärden.
>  
>
> So meine letzt Frage hierzu, warum sie konvergieren,
>  
> Beides Sind ja Teilfolgen von [mm](x_n),[/mm]

Da ist nicht ganz richtig. In beiden Folgen kommt ja u.U. ständig [mm] \gamma [/mm] vor, was in (x-n) nicht der Fall sein muß.

Aber ich glaube schon, daß Du richtig erfaßt hast, woran es liegt.
[mm] (x_n) [/mm] konvergiert gegen [mm] \gamma. [/mm]

Also gibt es für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] N_0 [/mm] mit [mm] |x_n-\gamma|<\varepsilon [/mm] für alle n>N.

Wegen [mm] x_n^+=x_n [/mm] oder [mm] x_n^+=\gamma [/mm]
ist [mm] |x_n-\gamma| [/mm] in jedem Fall [mm] <\varepsilon. [/mm]

Gruß v. Angela




Bezug
                                                                                
Bezug
Stetigkeit, linker rechter GW: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 Sa 16.12.2006
Autor: wieZzZel

DANK DIR.

Warst mir echt eine große Hilfe, zu den anderen Thema melde ich mich nochmal.


Alles Gute und noch ein schönes Wochenende

Tschüß sagt Röby

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