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| Aufgabe | | Die Funktion f: [a,b] ----> IR sei stetig und es gelte f([a,b]) Teilmenge von [a,b]. Zeigen sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, d.h. es gibt ein x0 aus [a,b] mit f(x0)=x0. Hinweis: Führen sie eine neue Funktion F:[a,b] ----> IR mit F(x):=f(x)-x ein und benutzen sie anschließend den Zwischenwertsatz! |
Hi!
Hab hier eine Aufgabe bekommen die ich super kompliziert finde, vielleicht kann mir von euch jemand helfen??
Die Funktion f: [a,b] ----> IR sei stetig und es gelte f([a,b]) Teilmenge von [a,b]. Zeigen sie, dass f einen Fixpunkt besitzt, d.h. es gibt ein x0 aus [a,b] mit f(x0)=x0. Hinweis: Führen sie eine neue Funktion F:[a,b] ----> IR mit F(x):=f(x)-x ein und benutzen sie anschließend den Zwischenwertsatz!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Di 17.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jonas!
Das eingeführte $F$ ist stetig auf $[a,b]$, und es gilt:
$F(a) = f(a) - a [mm] \ge [/mm] 0$ (wegen $f(a) [mm] \ge [/mm] a$, da $f([a,b]) [mm] \subset [/mm] [a,b]$)
und
$F(b) = f(b) - b [mm] \le [/mm] 0$ (wegen $f(b) [mm] \le [/mm] b$, da $f([a,b]) [mm] \subset [/mm] [a,b]$).
Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $F(x_0)=0$.
[/mm]
Was bedeutet das für $f$?
Liebe Grüße
Stefan
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Augenblick, muss erstmal verstehen warum f(a) größer gleich a ist und f(b) kleiner gleich b. Wenn beide größer wären würde ich es ja verstehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:51 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jonas!
Was bedeutet denn $f(b) [mm] \in [/mm] [a,b]$?
Es bedeutet: $a [mm] \le [/mm] f(b) [mm] \blue{\le b}$.
[/mm]
Jetzt klar? 
Liebe Grüße
Stefan
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Aja, aber wie geht es jetzt weiter. Wie führe ich jetzt diese neue Funktion ein usw..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 18.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Jonas!
Das habe ich doch bereits erläutert. Definiere:
$F(x) = f(x) - x$.
$F$ ist eine auf $[a,b]$ stetige Funktion mit
$F(a) = f(a) - a [mm] \ge [/mm] 0$
und
$F(b) = f(b) - a [mm] \le [/mm] 0$.
Nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen, angewendet auf $F$, muss es ein [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ geben mit [mm] $F(x_0)=0$, [/mm] also mit [mm] $f(x_0) [/mm] = [mm] x_0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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