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| Aufgabe | Die Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] sei gegeben durch
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{x^2-x}{x^2-3x+2}, & \mbox{für } x \not\in\IN \\ \bruch{4x-6}{x+1}, & \mbox{für } x \in\IN \end{cases}
[/mm]
Bestimme alle [mm] x\in\IR [/mm] in denen f stetig ist. |
Hallo,
die Funktion dürfte ja nur an den Schnittpunkten stetig sein, also bei x=1 und x=4.
Ich habe mir überlegt wie ich das zeigen könnte und wollte gern einen großen Bogen um die [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] Methode machen wenn es denn geht. Wenn ich also argumentiere, dass eine beliebige Folge mit Folgengliedern aus [mm] \IR \setminus \IN [/mm] mit dem Grenzwert a [mm] \in \IN [/mm] existiert und dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n) [/mm] in die Funktion für [mm] x\not\in\IN [/mm] setze und den Grenzwert a in die Funktion für [mm] x\in\IN, [/mm] kann ich die beiden Gleichsetzen und erhalte auch meine Punkte an denen die Funktion stetig ist. Wäre das soweit richtig?
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Hallo helicopter,
hm.
> Die Funktion f: [mm]\IR\to\IR[/mm] sei gegeben durch
> [mm]f(n)=\begin{cases} \bruch{x^2-x}{x^2-3x+2}, & \mbox{für } x \not\in\IN \\
\bruch{4x-6}{x+1}, & \mbox{für } x \in\IN \end{cases}[/mm]
>
> Bestimme alle [mm]x\in\IR[/mm] in denen f stetig ist.
> Hallo,
>
> die Funktion dürfte ja nur an den Schnittpunkten stetig
> sein, also bei x=1 und x=4.
Wieso? Was ist z.B. bei [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] ?
> Ich habe mir überlegt wie ich das zeigen könnte und
> wollte gern einen großen Bogen um die [mm]\delta[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm]
> Methode machen wenn es denn geht. Wenn ich also
> argumentiere, dass eine beliebige Folge mit Folgengliedern
> aus [mm]\IR \setminus \IN[/mm] mit dem Grenzwert a [mm]\in \IN[/mm] existiert
> und dann [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(a_n)[/mm] in die Funktion
> für [mm]x\not\in\IN[/mm] setze und den Grenzwert a in die Funktion
> für [mm]x\in\IN,[/mm] kann ich die beiden Gleichsetzen und erhalte
> auch meine Punkte an denen die Funktion stetig ist. Wäre
> das soweit richtig?
Klingt ein bisschen kraus in der Formulierung, aber die Idee an sich ist richtig.
Mir scheint es leichter, die Punkte zu bestimmen, an denen die Funktion nicht stetig ist. Da müsste man "nur" x=-1, x=+1 und x=+2 wegen des Nenners untersuchen, x=1 und x=4 wegen der Schnittstellen und alle anderen [mm] x\in\IN [/mm] gesammelt. x=1 kommt da zwar zweimal vor, muss aber eigentlich gar nicht untersucht werden - Definitionslücke...
Und ja, ich weiß, dass [mm] -1\not\in\IN. [/mm] 
Grüße
reverend
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Wenn ich das richtig sehe ist die Funktion in fast allen [mm] n\in\IN [/mm] nicht stetig da sie ja "Sprünge" macht, oder habe ich die Definition falsch verstanden?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das richtig sehe ist die Funktion in fast allen
> [mm]n\in\IN[/mm] nicht stetig da sie ja "Sprünge" macht,
Das stimmt.
FRED
> oder habe
> ich die Definition falsch verstanden?
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OK, also wenn ich das richtig sehe, ist sie für x < 0 stetig (was ist eigentlich an der Nullstelle -1?).
Für x > 0 ist sie nur stetig an den Schnittpunkten der beiden Funktionen, und an Punkten die nicht in [mm] \IN [/mm] liegen ?
Aber wenn ich mir die Definition der Stetigkeit mit diesen [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] anschaue, ist für x>0 die Funktion nicht mal in [mm] x\not\in\IN [/mm] stetig wenn ich mir zum Beispiel [mm] x_0=1,9999 [/mm] anschaue dann macht die Funktion wenn ich ein wenig nach rechts gehe wieder einen Sprung, was sie nicht dürfte?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 Mo 18.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du bei 1.9999 bist musst du eben [mm] \delta<0.00005 [/mm] machen! für jeden Wert [mm] x\ne [/mm] n findest du so ein [mm] \delta.
[/mm]
Stetigkeit ist punktweise bestimmt. deine Vorstellung also falsch. sieh dir in gedanken die fkt um 1.999 unter einem mikroskop an dann sieht sie da auch für dich gan stetig aus. bei 1.9999999999 nimmst du einfach ein stärkeres Mikroskop -;)
aber du siehst, dass du offensichtlich die stetigkeit ausser in [mm] n\in \IN [/mm] zeigen solltest.
gruss leduart
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OK, leuchtet ein Danke.
bleibt also nur zu zeigen das die Funktion an den Schnittpunkten stetig ist, das kriege ich mit der Folge glaube ich hin.
Alles andere folgt da wir in der Vorlesung hatten das f(x)=x stetig ist, und das auch Produkte und Summen von stetigen Funktionen wieder stetig sind.
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mo 18.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist die Frage?
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mo 18.06.2012 | | Autor: | helicopter |
Sorry habe statt auf Mitteilung wieder auf Frage geklickt.
Ich habs jetz mal aufgeschrieben und denke mal das es hinhauen sollte.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Mo 18.06.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
und was ist jetzt bei x=-1 ? 
Grüße
reverend
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Was ist denn bei -1 ?
Nullstellen im Zähler sind 0,1
im Nenner 1,2
oder hab ich mich verrechnet?
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Hallo,
> Was ist denn bei -1 ?
> Nullstellen im Zähler sind 0,1
> im Nenner 1,2
>
> oder hab ich mich verrechnet?
Nee, alles gut. Wenn Du deinen Definitionsbereich klar hast, gibts überhaupt kein Problem bei x=-1.
Deine Nennernullstellen sind schon richtig. Es ist ja die andere (Teil-)Funktion, die so aussieht, als müsste man x=-1 noch testen. Muss man aber nicht, weil eben [mm] -1\not\in\IN.
[/mm]
lg
rev
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