Stetigkeit nachweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:39 Mo 16.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Hi,
ich wollte ganz gerne die Stetigkeit von $f : [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^2 [/mm] + 1$ zeigen.
Hier mal mein Ansatz. Bin mir aber nicht sicher ob der so korrekt ist (insbesondere die Wahl des [mm] \delta [/mm] ).
Sei $f : [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^2 [/mm] + 1$.
Vorraussetzung zur Stetigkeit: [mm] $\forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta>0 [/mm] : |x - y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x) - f(y)| < [mm] \epsilon$
[/mm]
Nun ist:
$|f(x) - f(y)| = [mm] |x^2+1 [/mm] - [mm] (y^2+1)| [/mm] = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] y^2 +1\!\!\!/ -1\!\!\!/|$
[/mm]
$= [mm] \frac{(x^2 - y^2)(x - y)}{(x - y)} [/mm] = [mm] \frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x - y)}$
[/mm]
Wähle nun [mm] $\delta [/mm] = [mm] (x^3 [/mm] - x^2y - y^2x + [mm] y^3)\frac{2}{\epsilon}$
[/mm]
Dann ist:
[mm] $\frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x - y)} \le \frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)\frac{2}{\epsilon}}$
[/mm]
$= [mm] \frac{\epsilon}{2} [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Somit ist f stetig.
Wäre das so in Ordnung?
Würde mich über Antwort freuen.
Schönen Gruß,
MHOOO
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Hallo MHOO,
> Hi,
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> ich wollte ganz gerne die Stetigkeit von [mm]f : \IR \rightarrow \IR, x \mapsto x^2 + 1[/mm]
> zeigen.
> Hier mal mein Ansatz. Bin mir aber nicht sicher ob der so
> korrekt ist (insbesondere die Wahl des [mm]\delta[/mm] ).
> Sei [mm]f : \IR \rightarrow \IR, x \mapsto x^2 + 1[/mm].
>
> Vorraussetzung
Bitte nur ein "r" !!
> zur Stetigkeit: [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta>0 : |x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \epsilon[/mm]
>
> Nun ist:
> [mm]|f(x) - f(y)| = |x^2+1 - (y^2+1)| = |x^2 - y^2 +1\!\!\!/ -1\!\!\!/|[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]= \frac{(x^2 - y^2)(x - y)}{(x - y)} = \frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x - y)}[/mm]
Puh, mache es dir doch nicht schwerer als nötig.
Wie wär's mit der 3. binomischen Formel?
[mm] $|x^2-y^2|=|(x-y)\cdot{}(x+y)|=|x-y|\cdot{}|x+y|=|x-y|\cdot{}|x-y+2y|\le|x-y|\cdot{}(|x-y|+2\cdot{}|y|)$ [/mm] nach der [mm] $\triangle$-Ungleichung
[/mm]
>
> Wähle nun [mm]\delta = (x^3 - x^2y - y^2x + y^3)\frac{2}{\epsilon}[/mm]
Obacht, das [mm] $\delta$ [/mm] darf von [mm] $\varepsilon [/mm] $ und $y$ abhängen, keinesfalls jedoch von x !
>
> Dann ist:
> [mm]\frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x - y)} \le \frac{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)}{(x^3 - x^2y - y^2x + y^3)\frac{2}{\epsilon}}[/mm]
>
> [mm]= \frac{\epsilon}{2} < \epsilon[/mm]
> Somit ist f stetig.
>
> Wäre das so in Ordnung?
Nee, du hast es dir zu kompliziert gemacht, siehe oben die Anmerkung zur Wahl von [mm] $\delta$
[/mm]
Kannst du mit meiner Umformung [mm] $|f(x)-f(y)|\le|x-y|\cdot{}(|x-y|+2\cdot{}|y|)$ [/mm] nun ein [mm] $\delta$ [/mm] ( in Abh. von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und/oder $y$), so dass für [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] schließlich [mm] $|f(x)-f(y)|<..<\varepsilon$ [/mm] rausspringt?
>
> Würde mich über Antwort freuen.
>
> Schönen Gruß,
> MHOOO
Dir auch und nun ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 16.03.2009 | | Autor: | MHOOO |
Hallo schachuzipus,
erst einmal vielen Dank für die Antwort. Dass man das [mm] \delta [/mm] nicht in Abhängigkeit vom x wählen darf war mir neu - demnach habe ich das bisher immer falsch gemacht :(
Ich habe deinen Ansatz mit [mm] $\delta \in \{\frac{yk}{2}, -2y\sqrt{\epsilon}, \frac{\sqrt{\epsilon}}{\sqrt[4]{\epsilon}}, \frac{\sqrt{\epsilon}}{2|y|}, ...\}$
[/mm]
versucht zu lösen (man beachte das diese Werte willkürlich aus dem Bauch her gewählt sind) - und dabei auch zugesehen dass ich nach oben hin abschätze. Allerdings schätze ich dann oft über [mm] \epsilon [/mm] hinaus auf, sodass eine falsche Aussage entsteht. Gibt es vielleicht einen Trick dazu wie man das [mm] \delta [/mm] einfach bestimmen kann?
Würde mich über Antwort freuen.
Schönen Gruß,
MHOOO
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Mo 16.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Du willst also die Stetigkeit von f in y nachweisen. Dazu kannst Du annehmen, dass |y-x| < 1 ist und somit |x|< 1+|y|
Dann:
$|f(x) -f(y)| = |x+y| |x-y| [mm] \le [/mm] (|x|+|y|)|x-y| [mm] \le [/mm] (1+2|y|)|x-y|$
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0
Nebenrechnung: $(1+2|y|)|x-y|$ < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] |x-y| < [mm] \bruch{\varepsilon }{1+2|y|}
[/mm]
Jetzt siehst Du, dass Du [mm] \delta [/mm] = min { 1, [mm] \bruch{\varepsilon }{1+2|y|} [/mm] } wählen kannst
FRED
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