Stetigkeit nachweisen(Epsilon) < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 So 02.12.2007 | | Autor: | BenRen |
Hallo,
ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei dem folgenden Problem helfen könnte. Die Aufgabenstellung ist recht einfach, welche lautet
"Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion [mm] f_{1}(x)=\wurzel{x} [/mm] in jedem Punkt [mm] f_{0}>0,"
[/mm]
Was mich jetzt jedoch total aus dem Konzept bringt, ist die Fortführung des Satzes, nämlich WIE ich die Stetigkeit zeigen soll, und damit jetzt die ganze Aufgabentellung:
"Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion [mm] f_{1}(x)=\wurzel{x} [/mm] in jedem Punkt [mm] f_{0}>0, [/mm] indem Sie nachweisen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] existiert, so dass aus [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] die Ungleichung [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon [/mm] folgt."
Ich habe mich natürlich auch schon damit beschäftigt und meine Gedanken dazu einmal grafisch dargestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich hoffe, die Grafik ist verständlich - bzw. überhaupt richtig?
Ich würde mich über Hilfe wirklich sehr freuen, denn ich weiß nicht, wie ich die Stetigkeit hier nachweisen soll.
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
Dein Bildchen ist nicht ganz richtig, leider kann ich keins einstellen, daher will ich es Dir beschreiben:
Wenn da steht: [mm] |f(x_0)-f(x)|<\varepsilon,
[/mm]
kommen für f(x) sämtliche Werte infrage, die nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] f(x_0) [/mm] entfernt sind, also solche oberhalb und unterhalb v. [mm] f(x_0).
[/mm]
Für [mm] |x_0 -x|<\delta [/mm] entsprechend.
An dem Bild siehst Du aber schon, daß es Dir wohl gelingen wird, zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein passendes [mm] \delta [/mm] zu finden.
Beweisen tut man das so:
Sei [mm] x_0>0.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0. [/mm] Für alle [mm] \delta:=... [/mm] (diese Lücke füllst Du später)
gilt, sofern [mm] |x_0-x|<\delta:
[/mm]
[mm] |f(x_0)-f(x)|=|\wurzel{x_0}- \wurzel{x}|=\bruch{|(\wurzel{x_0}- \wurzel{x})(\wurzel{x_0}+\wurzel{x})|}{|(\wurzel{x_0}+ \wurzel{x})|}
[/mm]
(Diese Multiplikation so, daß man die 3. binomimsche Formel verwenden kann, ist ein häufig verwendeter Trick)
[mm] =\bruch{|x_0-x|}{|(\wurzel{x_0}+ \wurzel{x})|}<...
[/mm]
Jetzt versuch das mal so abzuschätzen, daß im Nenner nur noch [mm] x_0 [/mm] vorkommt und nicht mehr x, und dann überlege Dir auf einem Schmierzettel, wie Du das [mm] \delta [/mm] wählen mußt.
Gruß v. Angela
> ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei dem
> folgenden Problem helfen könnte. Die Aufgabenstellung ist
> recht einfach, welche lautet
>
> "Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion [mm]f_{1}(x)=\wurzel{x}[/mm]
> in jedem Punkt [mm]f_{0}>0,"[/mm]
>
> Was mich jetzt jedoch total aus dem Konzept bringt, ist die
> Fortführung des Satzes, nämlich WIE ich die Stetigkeit
> zeigen soll, und damit jetzt die ganze Aufgabentellung:
>
> "Zeigen Sie die Stetigkeit der Funktion [mm]f_{1}(x)=\wurzel{x}[/mm]
> in jedem Punkt [mm]f_{0}>0,[/mm] indem Sie nachweisen, dass für
> jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] existiert, so dass aus
> [mm]|x-x_{0}|<\delta[/mm] die Ungleichung
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon[/mm] folgt."
>
>
> Ich habe mich natürlich auch schon damit beschäftigt und
> meine Gedanken dazu einmal grafisch dargestellt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Ich hoffe, die Grafik ist verständlich - bzw. überhaupt
> richtig?
>
> Ich würde mich über Hilfe wirklich sehr freuen, denn ich
> weiß nicht, wie ich die Stetigkeit hier nachweisen soll.
>
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Mo 03.12.2007 | | Autor: | BenRen |
Vielen Dank für Deine Hilfe.
Bitte halte mich nicht für doof :) aber so ganz verstehe ich die Sache noch nicht. Vor allem der Teil mit "(diese Lücke füllst Du später)" - ich weiß, das muss natürlich meine Aufgabe sein, aber ich finde die Thematik gerade noch sehr abstrakt. Ich kann mir unter der Sache einfach nichts wirkliches vorstellen, zumal Du ja sagtest dass meine Grafik nicht richtig sei. Und auch die Abschätzung macht mir Schwierigkeiten, ich verstehe gar nicht so recht, was ich da eigentlich abschätzen soll (was hat denn eine Abschätzung mit dem Zeigen einer Stetigkeit zu tun?).
Ich würde mich über jede weitere Hilfe wirklich sehr freuen. Vielleicht einfach ein paar allgemeine Worte zu der Thematik, wieso ich das überhaupt auf diesem Wege zeigen muss (was lernt man dabei, was gibt es zu verstehen?), und was ich mir unter den epsilons und deltas vorstellen muss.
Vielen vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 Mo 03.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
SOO falsch ist deine Graphik nicht, nur dass du von [mm] x_0 [/mm] nicht nach 2 Seiten bist ist nicht ganz richtig!
Die Idee, dass die Funktionswerte beliebig [mm] (\beliebig [/mm] vorgegebenes [mm] \epsilon) [/mm] nahe aneinander liegen müssen, wenn man die x Werte genügend aneinander Wählt ist schon richtig. jetzt sollst du (abhängig von [mm] x_0) [/mm] ein [mm] \delta [/mm] angeben, inerhalb dessen die x-werte liegen, so dass das gilt.
d.h. dein elta hängt von [mm] \epsilo [/mm] aab (je kleiner [mm] \epsilon, [/mm] dest kleiner auch [mm] \delta, [/mm] aber auch von der Stelle. in deiner Graphik siehst du, je näher an 0 du bist, desto kleiner ist das mögliche x Intervall, damit das f Intervall klein er [mm] \epsilon [/mm] bleibt.
Wie du vorgehst, hat dir zur Hälfte angela schon gezeigt.
wenn [mm] |x-x_0| [/mm] klein ist ist x höchstens [mm] \delta+x0 [/mm] also kannst du den Nenner abschätzen!
Gruss leduart
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