Stetigkeit topologischen Räume < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Defintion von Stetigkeit in topologsichen Räumen:
Seien (X,T),(Y,T') topologische Räume.
Eine Funktion f:X->Y heißt stetig in x [mm] \in [/mm] X: [mm] \gdw
[/mm]
[mm] \forall [/mm] O' [mm] \in [/mm] T' : (f(x) [mm] \in [/mm] O' [mm] \Rightarrow \exists [/mm] O [mm] \in [/mm] T : x [mm] \in [/mm] O [mm] \subseteq f^{-1} [/mm] (O') |
Heißt dass übersetzt dass für alle offenen Mengen O' in T' gilt:
Wenn f(x) in einer offenen Menge liegt dass gibt es eine offene Menge im Urbild sodass gilt: x ist Element dieser offenen Menge und zugleich Teilmenge des inversen Funktion.
Daneben hab ich mir dazugeschriebn: Das Urbild offener Mengen ist offen...
Was hat also der dazugeschriebene Satz mit der Definition zu tun?
Sind in einem topologischen Raum eigentlich alle Mengen offen?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 06.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Defintion von Stetigkeit in topologsichen Räumen:
> Seien (X,T),(Y,T') topologische Räume.
> Eine Funktion f:X->Y heißt stetig in x [mm]\in[/mm] X: [mm]\gdw[/mm]
> [mm]\forall[/mm] O' [mm]\in[/mm] T' : (f(x) [mm]\in[/mm] O' [mm]\Rightarrow \exists[/mm] O
> [mm]\in[/mm] T : x [mm]\in[/mm] O [mm]\subseteq f^{-1}[/mm] (O')
> Heißt dass übersetzt dass für alle offenen Mengen O' in T'
> gilt:
> Wenn f(x) in einer offenen Menge liegt dass gibt es eine
> offene Menge im Urbild sodass gilt: x ist Element dieser
> offenen Menge und zugleich Teilmenge des inversen
> Funktion.
Vorsicht! Du verstehst das Symbol [mm] $f^{-1}$ [/mm] hier wohl falsch! Mit [mm] $f^{-1}$ [/mm] ist nicht die inverse Funktion gemeint, sondern die Urbildfunktion! [mm] $f^{-1}(O')$ [/mm] ist hier das Urbild von $O'$ unter $f$, also alle Punkte $x' [mm] \in [/mm] X$ mit $f(x') [mm] \in [/mm] O'$.
Eine bessere Uebersetzung ist: Fuer alle offenen Mengen $O'$ in $Y$ gilt: Ist $f(x) [mm] \in [/mm] O'$, so gibt es eine offene Menge $O$ in $X$, die $x$ umfasst und deren Bild unter $f$ in $O'$ liegt (also $f(O) [mm] \subseteq [/mm] O'$, oder aequivalent $O [mm] \subseteq f^{-1}(O')$). [/mm] Anders ausgedrueckt: [mm] $f^{-1}(O')$ [/mm] ist fuer jedes in $Y$ offene und $f(x)$ enthaltende $O'$ eine Umgebung von $x$.
> Daneben hab ich mir dazugeschriebn: Das Urbild offener
> Mengen ist offen...
>
> Was hat also der dazugeschriebene Satz mit der Definition
> zu tun?
Nun, das ist aequivalent dazu, dass die Aussage fuer alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt.
Hier gilt nur eine abgespeckte Version: Die Urbilder offener Mengen, die $f(x)$ enthalten, sind Umgebungen von $x$.
Findest du selber heraus, warum das aequivalent ist?
> Sind in einem topologischen Raum eigentlich alle Mengen
> offen?
Nein. Es werden genau die Mengen mit 'offen' bezeichnet, die in der Topologie enthalten sind. Alle anderen Mengen werden als 'nicht offen' bezeichnet.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
> Sind in einem topologischen Raum eigentlich alle Mengen
> offen?
Nein. Es werden genau die Mengen mit 'offen' bezeichnet, die in der Topologie enthalten sind. Alle anderen Mengen werden als 'nicht offen' bezeichnet.
Also in einem topologischen Raum (X,T) sind alle Mengen offen die [mm] \in [/mm] T sind oder?
mfg,
Hannes
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Hallo.
> > Sind in einem topologischen Raum eigentlich alle Mengen
> > offen?
>
> Nein. Es werden genau die Mengen mit 'offen' bezeichnet,
> die in der Topologie enthalten sind. Alle anderen Mengen
> werden als 'nicht offen' bezeichnet.
> Also in einem topologischen Raum (X,T) sind alle Mengen
> offen die [mm]\in[/mm] T sind oder?
>
> mfg,
> Hannes
Jap. Es gilt sogar vielmehr: (Definition Topologie)
Sei [mm] $(X,\mathcal [/mm] T)$ topologischer Raum.
[mm] $M\subset [/mm] X$ offen [mm] $\gdw M\in\mathcal{T}$
[/mm]
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Aber dann sind ja doch alle Mengen offen denn was bleibt mir denn da noch übrig wenn ganz X eine Topolgie ist?
mfg,
Hannes
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> Aber dann sind ja doch alle Mengen offen denn was bleibt
> mir denn da noch übrig wenn ganz X eine Topolgie ist?
>
Nein! Warum sollten denn alle Mengen offen sein?!?
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Nein...ich meine alle Mengen in topologischen Räumen sind offen....nicht grundsätliche alle Mengen.
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Sa 07.01.2006 | | Autor: | SEcki |
> Nein...ich meine alle Mengen in topologischen Räumen sind
> offen....nicht grundsätliche alle Mengen.
So war die Antwort auch wohl nicht gemeint. Es sind nur die Teilmengen von X offen, die in der Topologie sind. Eine Topologie ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X - eine Menge von Teilmengen von X, der Elemente (dh Teilmengen von X) offen genannt werden. Diese Topologie gehorcht auch noch gewissen Gesetzen.
Aber wie kommst du denn auf deine Aussage?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Tja...ich hab da irgendwas mit der diskreten Toplogie verwechselt,wo ja alle Mengen offen sind...jetzt ists mir klar...danke..
mfg,
Hannes
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