Stetigkeit und Diff.barkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Do 26.09.2013 | | Autor: | x0n3 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Funktion f an der Stelle x0
a) stetig
b) differenzierbar ist.
1.) f(x)= x²+2x für x>-1 und x=-1
-x²-2x-2 für x<-1 |
Hallo,
ich verzweifle gerade völlig in Mathe. Woher weiß ich bei diesem Beispiel was der rechtsseitige und was der linksseitige Grenzwert ist? Welche von beiden ist der Funktionswert?
Ich habe zur Überprüfung der Stetigkeit folgende Methode gelernt:
linksseitiger Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitiger Grenzwert
Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind ist die Funktion stetig, das ist mir klar. :D Aber wenn man nicht weiß was die beiden Begriffe bedeuten sieht es düster aus.
Wie geht es dann weiter mit der Differenzierbarkeit? Ich kenne die Formel dafür aber irgendwie versteh ich auch hier nicht welche von den beiden Gleichungen ich einsetzen muss. Wenn ich sie nacheinander einsetze kommen auch nur komische Brüche raus und die beiden Ergebnisse sind nicht die gleichen, also komm ich immer auf nicht differenzierbar obwohl sie es ja bei gegebenem Beispiel sind.^^
Hier mal wie ich rechne:
lim (-1)² + 2*(-1) = f(-1)(-1)²+ 2*(-1) = lim -(-1)²-2(-1)-2
x->-1- x->1+
Ich komm bei beiden auf -1 also sind sie stetig. Aber stimmt das was ich als Funktionswert benutzt habe?
Dann kommt die Differenzierbarkeit:
x²+2x-(-1)²+2*(-1) / x -(-1) = x²+2x-3/x+1
Keine Ahnung was mir das aussagt. Dann mach ich das gleiche mit der zweiten:
-x²-2x-2-1²-2*(-1)-2 / x -(-1) = -x²-2x-3/x+1
Sehen ja ähnlich aus aber das Vorzeichen ist anders. Ist es jetzt differenzierbar oder nicht? Bitte helft mir weiter, bin schon verzweifelt. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Untersuchen Sie, ob die Funktion f an der Stelle x0
>
> a) stetig
> b) differenzierbar ist.
>
> 1.) f(x)= x²+2x für x>-1 und x=-1
> -x²-2x-2 für x<-1
> Hallo,
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> ich verzweifle gerade völlig in Mathe. Woher weiß ich bei
> diesem Beispiel was der rechtsseitige und was der
> linksseitige Grenzwert ist? Welche von beiden ist der
> Funktionswert?
Der Funktionswert ist der Wert desjenigen Terms, für den die Funktion an der fraglichen Stelle definiert ist. Ich schreibe das mal nochmal in LaTeX, damit es besser verständlich wird (du kannst darauf klicken, um die Syntax zu studieren):
[mm]f(x)=\begin{cases} -x^2-2x-2, & \textrm{für } x<-1\\ x^2+2x, & \textrm{für } x\ge{-1} \end{cases}[/mm]
An der Stelle x=-1 ist somit der untere Term (bei dir der erste) zuständig und stellt somit auch den rechtsseitigen Grenzwert dar. Den linksseitigen Grenzwert bekommst du hier, indem du ganz einfach die -1 in den oberen Term einsetzt.
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> Ich habe zur Überprüfung der Stetigkeit folgende Methode
> gelernt:
>
> linksseitiger Grenzwert = Funktionswert = rechtsseitiger
> Grenzwert
>
> Wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert
> gleich sind ist die Funktion stetig, das ist mir klar. :D
> Aber wenn man nicht weiß was die beiden Begriffe bedeuten
> sieht es düster aus.
Naja, das solltest du dir aber selbst nochmal anschauen, das kann man nachlesen und es ist nicht wirklich schwer zu verstehen. Beim linksseitigen Grenzwert nähert sich die Variable von unten her an die fragliche Stelle, beim rechtsseitigen von oben.
>
> Wie geht es dann weiter mit der Differenzierbarkeit? Ich
> kenne die Formel dafür aber irgendwie versteh ich auch
> hier nicht welche von den beiden Gleichungen ich einsetzen
> muss. Wenn ich sie nacheinander einsetze kommen auch nur
> komische Brüche raus und die beiden Ergebnisse sind nicht
> die gleichen, also komm ich immer auf nicht differenzierbar
> obwohl sie es ja bei gegebenem Beispiel sind.^^
>
> Hier mal wie ich rechne:
>
> lim (-1)² + 2*(-1) = f(-1)(-1)²+ 2*(-1) = lim
> -(-1)²-2(-1)-2
> x->-1- x->1+
>
> Ich komm bei beiden auf -1 also sind sie stetig. Aber
> stimmt das was ich als Funktionswert benutzt habe?
Das ist katastrophal notiert (bitte schaue dir irgendwo einfach mal eine Grenzwertberechnung an, dann siehst du ein weshalb), es ist aber soweit richtig. Und nicht 'sie sind stetig' sondern 'sie ist stetig' denn wir sprechen über eine einzige Funktion!
>
> Dann kommt die Differenzierbarkeit:
>
> x²+2x-(-1)²+2*(-1) / x -(-1) = x²+2x-3/x+1
>
> Keine Ahnung was mir das aussagt. Dann mach ich das gleiche
> mit der zweiten:
>
> -x²-2x-2-1²-2*(-1)-2 / x -(-1) = -x²-2x-3/x+1
>
Was das nun soll kann man schwerlich nachvollziehen. Vermutlich hast du irgendwie versucht, den Differenzenquotienten zu betrachten. Das brauchst du hier nicht, es genügt die Grenzwerte der Ableitungen der beiden Funktionsterme an der Stelle x=-1 zu betrachten. Wenn sie auch übereinstimmen, ist die Funktion auch differenzierbar. Aber: das ist nur so, weil sie auch stetig ist!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Do 26.09.2013 | | Autor: | x0n3 |
Hallo,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort! Das mit dem links- und rechtsseitigen Grenzwert habe ich nun verstanden. Dass meine Schreibweise teilweise hier recht katastrophal ist, ist mir im Nachhinein dann auch aufgefallen. Jedoch war es auch das erste Mal, dass ich versucht habe eine Rechnung per Tastatur aufzuschreiben und zu lösen. Mit einem Stift und einem Blatt Papier gehts immer noch am Besten. 
Sie haben bei der Differenzierbarkeit das Wort "Ableitung" in den Raum geworfen und damit haben Sie bei mir erfolgreich den Schalter umgelegt! Nun verstehe ich es auch und komme auf das richtige Ergebnis.
Vielen Dank für die Hilfe!
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